Límite inverso

Construcción en teoría de categorías

En matemáticas , el límite inverso (también llamado límite proyectivo ) es una construcción que permite "unir" varios objetos relacionados , siendo especificado el proceso preciso de unión por morfismos entre los objetos. Así, los límites inversos pueden definirse en cualquier categoría, aunque su existencia depende de la categoría que se considere. Son un caso especial del concepto de límite en la teoría de categorías.

Trabajando en la categoría dual , es decir invirtiendo las flechas, un límite inverso se convierte en un límite directo o límite inductivo , y un límite se convierte en un colimite .

Definición formal

Objetos algebraicos

Comenzamos con la definición de un sistema inverso (o sistema proyectivo) de grupos y homomorfismos . Sea un conjunto parcial dirigido (no todos los autores exigen que I sea dirigido). Sea ( A _i ) _{i ∈ I} una familia de grupos y supongamos que tenemos una familia de homomorfismos para todos (nótese el orden) con las siguientes propiedades: ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle f_{ij}:A_{j}\to A_{i}}$ ${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}}$¿La identidad está en ? ${\displaystyle A_{i}}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}\quad {\text{for all }}i\leq j\leq k.}$

Entonces el par se llama sistema inverso de grupos y morfismos sobre , y los morfismos se llaman morfismos de transición del sistema. ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{ij}}$

Definimos el límite inverso del sistema inverso como un subgrupo particular del producto directo de los : ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$ ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ for all }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}.}$

El límite inverso viene equipado con proyecciones naturales π _i : A → A _i que seleccionan el i ésimo componente del producto directo para cada en . El límite inverso y las proyecciones naturales satisfacen una propiedad universal descrita en la siguiente sección. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

Esta misma construcción puede realizarse si los son conjuntos , ^[1] semigrupos , ^[1] espacios topológicos , ^[1] anillos , módulos (sobre un anillo fijo), álgebras (sobre un anillo fijo), etc., y los homomorfismos son morfismos de la categoría correspondiente . El límite inverso también pertenecerá a esa categoría. ${\displaystyle A_{i}}$

Definición general

El límite inverso puede definirse de forma abstracta en una categoría arbitraria por medio de una propiedad universal . Sea un sistema inverso de objetos y morfismos en una categoría C (misma definición que la anterior). El límite inverso de este sistema es un objeto X en C junto con morfismos π _i : X → X _i (llamados proyecciones ) que satisfacen π _i = ∘ π _j para todo i ≤ j . El par ( X , π _i ) debe ser universal en el sentido de que para cualquier otro par de este tipo ( Y , ψ _i ) existe un único morfismo u : Y → X tal que el diagrama ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$ ${\displaystyle f_{ij}}$

conmuta para todo i ≤ j . El límite inverso se suele denotar

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$

con el sistema inverso entendido. ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$

En algunas categorías, el límite inverso de ciertos sistemas inversos no existe. Sin embargo, si existe, es único en un sentido fuerte: dados dos límites inversos X y X' de un sistema inverso, existe un isomorfismo único X ′ → X que conmuta con las funciones de proyección.

Los sistemas inversos y límites inversos en una categoría C admiten una descripción alternativa en términos de funtores . Cualquier conjunto parcialmente ordenado I puede considerarse como una pequeña categoría donde los morfismos consisten en flechas i → j si y solo si i ≤ j . Un sistema inverso es entonces solo un funtor contravariante I → C . Sea la categoría de estos funtores (con transformaciones naturales como morfismos). Un objeto X de C puede considerarse un sistema inverso trivial, donde todos los objetos son iguales a X y todas las flechas son la identidad de X . Esto define un "funtor trivial" de C a El límite inverso, si existe, se define como un adjunto derecho de este funtor trivial. ${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}}$ ${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}.}$

Ejemplos

• El anillo de los números enteros p -ádicos es el límite inverso de los anillos (véase aritmética modular ) siendo el conjunto índice los números naturales con el orden usual, y siendo los morfismos "tomar resto". Es decir, se consideran sucesiones de números enteros tales que cada elemento de la sucesión "se proyecta" hacia abajo a los anteriores, es decir, que siempre que La topología natural de los números enteros p -ádicos es la implicada aquí, es decir, la topología del producto con conjuntos cilíndricos como conjuntos abiertos. ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (n_{1},n_{2},\dots )}$ ${\displaystyle n_{i}\equiv n_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$ ${\displaystyle i<j.}$
• El solenoide p -ádico es el límite inverso de los grupos topológicos con el conjunto índice siendo los números naturales con el orden usual, y los morfismos siendo "toman resto". Es decir, se consideran sucesiones de números reales tales que cada elemento de la sucesión "se proyecta" hacia abajo a los anteriores, es decir, que siempre que sus elementos sean exactamente de la forma , donde es un entero p-ádico, y es el "resto". ${\displaystyle \mathbb {R} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$ ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$ ${\displaystyle i<j.}$ ${\displaystyle n+r}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r\in [0,1)}$
• El anillo de series de potencias formales sobre un anillo conmutativo R puede considerarse como el límite inverso de los anillos , indexados por los números naturales como se ordenan habitualmente, con los morfismos de a dados por la proyección natural. ${\displaystyle \textstyle R[[t]]}$ ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$ ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]}$ ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$
• Los grupos pro-finitos se definen como límites inversos de grupos finitos (discretos).
• Sea el conjunto de índices I de un sistema inverso ( X _i , ) el que tiene como elemento máximo m . Entonces la proyección natural π _m : X → X _m es un isomorfismo. ${\displaystyle f_{ij}}$
• En la categoría de conjuntos , todo sistema inverso tiene un límite inverso, que puede construirse de manera elemental como un subconjunto del producto de los conjuntos que forman el sistema inverso. El límite inverso de cualquier sistema inverso de conjuntos finitos no vacíos es no vacío. Esta es una generalización del lema de König en teoría de grafos y puede demostrarse con el teorema de Tichonoff , considerando los conjuntos finitos como espacios discretos compactos y luego aplicando la caracterización de la propiedad de intersección finita de la compacidad.
• En la categoría de espacios topológicos , todo sistema inverso tiene un límite inverso. Se construye colocando la topología inicial sobre el límite inverso teórico de conjuntos subyacente. Esto se conoce como topología límite .
  • El conjunto de cadenas infinitas es el límite inverso del conjunto de cadenas finitas, y por tanto está dotado de la topología límite. Como los espacios originales son discretos , el espacio límite está totalmente desconectado . Esta es una forma de realizar los números p -ádicos y el conjunto de Cantor (como cadenas infinitas).

Functores derivados del límite inverso

Para una categoría abeliana C , el funtor límite inverso

${\displaystyle \varprojlim :C^{I}\rightarrow C}$

es exacto a la izquierda . Si I está ordenado (no simplemente parcialmente ordenado) y es contable , y C es la categoría Ab de los grupos abelianos, la condición de Mittag-Leffler es una condición sobre los morfismos de transición f _ij que asegura la exactitud de . Específicamente, Eilenberg construyó un funtor ${\displaystyle \varprojlim }$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I}\rightarrow \operatorname {Ab} }$

(pronunciado "lim one") tal que si ( A _i , f _ij ), ( B _i , g _ij ) y ( C _i , h _ij ) son tres sistemas inversos de grupos abelianos, y

${\displaystyle 0\rightarrow A_{i}\rightarrow B_{i}\rightarrow C_{i}\rightarrow 0}$

es una secuencia corta y exacta de sistemas inversos, entonces

${\displaystyle 0\rightarrow \varprojlim A_{i}\rightarrow \varprojlim B_{i}\rightarrow \varprojlim C_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i}}$

es una secuencia exacta en Ab .

Condición de Mittag-Leffler

Si los rangos de los morfismos de un sistema inverso de grupos abelianos ( A _i , f _ij ) son estacionarios , es decir, para todo k existe j ≥ k tal que para todo i ≥ j  : se dice que el sistema satisface la condición de Mittag-Leffler . ${\displaystyle f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})}$

El nombre "Mittag-Leffler" para esta condición fue dado por Bourbaki en su capítulo sobre estructuras uniformes para un resultado similar sobre límites inversos de espacios uniformes de Hausdorff completos. Mittag-Leffler utilizó un argumento similar en la prueba del teorema de Mittag-Leffler .

Las siguientes situaciones son ejemplos en los que se cumple la condición de Mittag-Leffler:

• un sistema en el que los morfismos f _ij son sobreyectivos
• un sistema de espacios vectoriales de dimensión finita o grupos abelianos finitos o módulos de longitud finita o módulos artinianos.

Un ejemplo donde es distinto de cero se obtiene tomando I como los enteros no negativos , siendo A _i = p ⁱ Z , B _i = Z y C _i = B _i / A _i = Z / p ⁱ Z . Entonces ${\displaystyle \varprojlim {}^{1}}$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z} }$

donde Z _p denota los números enteros p-ádicos .

Resultados adicionales

De manera más general, si C es una categoría abeliana arbitraria que tiene suficientes inyectivos , entonces C ^I también los tiene , y por lo tanto se pueden definir los funtores derivados por la derecha del funtor límite inverso. El n- ésimo funtor derivado por la derecha se denota

${\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I}\rightarrow C.}$

En el caso en que C satisface el axioma de Grothendieck (AB4*) , Jan-Erik Roos generalizó el funtor lim ¹ en Ab ^I a series de funtores lim ⁿ tales que

${\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .}$

Durante casi 40 años se creyó que Roos había demostrado (en Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications. ) que lim ¹ A _i = 0 para ( A _i , f _ij ) un sistema inverso con morfismos de transición sobreyectivos e I el conjunto de enteros no negativos (tales sistemas inversos se denominan a menudo " secuencias de Mittag-Leffler "). Sin embargo, en 2002, Amnon Neeman y Pierre Deligne construyeron un ejemplo de un sistema de este tipo en una categoría que satisface (AB4) (además de (AB4*)) con lim ¹ A _i ≠ 0. Desde entonces, Roos ha demostrado (en "Revisitando los funtores derivados de límites inversos") que su resultado es correcto si C tiene un conjunto de generadores (además de satisfacer (AB3) y (AB4*)).

Barry Mitchell ha demostrado (en "La dimensión cohomológica de un conjunto dirigido") que si I tiene cardinalidad (el d ésimo cardinal infinito ), entonces R ⁿ lim es cero para todo n ≥ d + 2. Esto se aplica a los diagramas indexados por I en la categoría de R -módulos, con R un anillo conmutativo; no es necesariamente cierto en una categoría abeliana arbitraria (ver "Functores derivados de límites inversos revisitados" de Roos para ejemplos de categorías abelianas en las que lim ⁿ , en diagramas indexados por un conjunto contable, es distinto de cero para  n  > 1). ${\displaystyle \aleph _{d}}$

Conceptos relacionados y generalizaciones

El dual categórico de un límite inverso es un límite directo (o límite inductivo). Los conceptos más generales son los límites y colímites de la teoría de categorías. La terminología es algo confusa: los límites inversos son una clase de límites, mientras que los límites directos son una clase de colímites.

Notas

1. John Rhodes y Benjamin Steinberg. La teoría q de semigrupos finitos. pág. 133. ISBN  978-0-387-09780-0 .

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1989), Álgebra I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC  40551484
• Bourbaki, Nicolas (1989), Topología general: Capítulos 1-4 , Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC  40551485
• Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998), Categorías para el matemático en activo (2.ª ed.), Springer, ISBN 0-387-98403-8
• Mitchell, Barry (1972), "Anillos con varios objetos", Advances in Mathematics , 8 : 1–161, doi : 10.1016/0001-8708(72)90002-3 , MR  0294454
• Neeman, Amnon (2002), "Un contraejemplo de un" teorema "de 1961 en álgebra homológica (con apéndice de Pierre Deligne)", Inventiones Mathematicae , 148 (2): 397–420, doi :10.1007/s002220100197, MR  1906154
• Roos, Jan-Erik (1961), "Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications", CR Acad. Ciencia. París , 252 : 3702–3704, SEÑOR  0132091
• Roos, Jan-Erik (2006), "Functores derivados de límites inversos revisados", J. London Math. Soc. , Serie 2, 73 (1): 65–83, doi :10.1112/S0024610705022416, MR  2197371
• Sección 3.5 de Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. Sr.  1269324. OCLC  36131259.