Propiedad de intersección finita

En topología general , una rama de las matemáticas , se dice que una familia A no vacía de subconjuntos de un conjunto tiene la propiedad de intersección finita (FIP) si la intersección sobre cualquier subcolección finita de no está vacía . Tiene la propiedad de intersección finita fuerte (SFIP) si la intersección sobre cualquier subcolección finita de es infinita. Los conjuntos con la propiedad de intersección finita también se denominan sistemas centrados y subbases de filtro . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

La propiedad de intersección finita se puede utilizar para reformular la compacidad topológica en términos de conjuntos cerrados ; esta es su aplicación más destacada. Otras aplicaciones incluyen demostrar que ciertos conjuntos perfectos son incontables y la construcción de ultrafiltros .

Definición

Sea un conjunto y una familia no vacía de subconjuntos de ; es decir, es un subconjunto del conjunto potencia de . Entonces se dice que tiene la propiedad de intersección finita si cada subfamilia finita no vacía tiene una intersección no vacía; se dice que tiene la propiedad de intersección finita fuerte si esa intersección es siempre infinita. ^[1] ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

En símbolos, tiene el FIP si, para cualquier elección de un subconjunto finito no vacío de , debe existir un punto ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {B}}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle x\in \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}{B}{\text{.}}}$$

,. ^[1] ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {B}}}$ ${\textstyle x}$

En el estudio de los filtros , la intersección común de una familia de conjuntos se llama núcleo, de la misma etimología que el girasol . Las familias con núcleo vacío se denominan libres ; aquellos con kernel no vacío, arreglados. ^[2]

Familias de ejemplos y no ejemplos.

El conjunto vacío no puede pertenecer a ninguna colección con la propiedad de intersección finita.

Una condición suficiente para la propiedad de intersección FIP es un núcleo no vacío. Lo contrario es generalmente falso, pero es válido para familias finitas; es decir, si es finito, entonces tiene la propiedad de intersección finita si y sólo si es fijo. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Intersección por pares

La propiedad de la intersección finita es estrictamente más fuerte que la intersección por pares; la familia tiene intersecciones por pares, pero no el FIP. ${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\}}$

De manera más general, sea un número entero positivo mayor que la unidad , y . Entonces, cualquier subconjunto de con menos de elementos tiene una intersección no vacía, pero carece del FIP. ${\textstyle n\in \mathbb {N} \setminus \{1\}}$ ${\textstyle [n]=\{1,\dots ,n\}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}=\{[n]\setminus \{j\}:j\in [n]\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

Construcciones de tipo final

Si es una secuencia decreciente de conjuntos no vacíos, entonces la familia tiene la propiedad de intersección finita (e incluso es un sistema π ). Si las inclusiones son estrictas , entonces también se admite la propiedad de intersección finita fuerte. ${\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\cdots }$ ${\textstyle {\mathcal {A}}=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\cdots }$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

De manera más general, cualquiera que esté totalmente ordenado por inclusión tiene el FIP. ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

Al mismo tiempo, el núcleo de puede estar vacío: si , entonces el núcleo de es el conjunto vacío . De manera similar, la familia de intervalos también tiene el (S)FIP, pero el núcleo está vacío. ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle A_{j}=\{j,j+1,j+2,\dots \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \right\}}$

Conjuntos y propiedades "genéricos"

La familia de todos los subconjuntos de Borel con medida de Lebesgue tiene el FIP, al igual que la familia de conjuntos de comeagre . Si es un conjunto infinito, entonces el filtro de Fréchet (la familia ) tiene el FIP. Todos estos son filtros gratuitos ; están cerrados hacia arriba y tienen una intersección infinitaria vacía. ^{[3] [4]} ${\displaystyle [0,1]}$ ${\textstyle 1}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle \{X\setminus C:C{\text{ finite}}\}}$

Si y, para cada número entero positivo, el subconjunto son precisamente todos los elementos que tienen un dígito en el ^ésimo lugar decimal , entonces cualquier intersección finita de no está vacía; solo tome esos un número finito de lugares y el resto. Pero la intersección de for all está vacía, ya que ningún elemento de tiene todos los dígitos cero. ${\displaystyle X=(0,1)}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 1}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Ampliación del conjunto de terreno.

La propiedad de intersección finita (fuerte) es una característica de la familia , no del conjunto de bases . Si una familia en el set admite (S)FIP y , entonces también es una familia en el set con FIP (resp. SFIP). ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle X\subseteq Y}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle Y}$

Filtros y topologías generados.

Si son conjuntos con entonces la familia tiene el FIP; esta familia se llama filtro principal generado por . El subconjunto tiene el FIP por la misma razón: los núcleos contienen el conjunto no vacío . Si es un intervalo abierto, entonces el conjunto es de hecho igual a los núcleos de o , y también lo es un elemento de cada filtro. Pero, en general, el núcleo de un filtro no tiene por qué ser un elemento del filtro. ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{S\subseteq X:K\subseteq S\}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{I\subseteq \mathbb {R} :K\subseteq I{\text{ and }}I{\text{ an open interval}}\}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {B}}}$

Un filtro adecuado en un conjunto tiene la propiedad de intersección finita. Cada subbase de vecindad en un punto en un espacio topológico tiene el FIP, y lo mismo ocurre con cada base de vecindad y cada filtro de vecindad en un punto (porque cada uno es, en particular, también una subbase de vecindad).

Relación con π -sistemas y filtros

Un sistema π es una familia de conjuntos no vacía que está cerrada bajo intersecciones finitas. El conjunto

$${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})=\left\{A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}:1\leq n<\infty {\text{ and }}A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}\right\}}$$

sistema π,π más pequeño ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

El cierre hacia arriba de in es el conjunto ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$ ${\textstyle X}$

$${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}=\left\{S\subseteq X:P\subseteq S{\text{ for some }}P\in \pi ({\mathcal {A}})\right\}{\text{.}}}$$

Para cualquier familia , la propiedad de intersección finita es equivalente a cualquiera de las siguientes: ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

• El sistema π generado por no tiene el conjunto vacío como elemento; eso es, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \varnothing \notin \pi ({\mathcal {A}}).}$
• El conjunto tiene la propiedad de intersección finita. ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$
• El conjunto es un prefiltro (adecuado) ^{[nota 1]} . ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$
• La familia es un subconjunto de algún prefiltro (adecuado) . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• El cierre hacia arriba es un filtro (adecuado) . En este caso, se llama filtro generado por , porque es el filtro mínimo (con respecto a ) que contiene como subconjunto. ${\textstyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es un subconjunto de algún filtro (adecuado) ^{[nota 1]} . ^[1]

Aplicaciones

Compacidad

La propiedad de intersección finita es útil para formular una definición alternativa de compacidad :

Teorema  :  un espacio es compacto si y solo si cada familia de subconjuntos cerrados que tienen la propiedad de intersección finita tienen una intersección no vacía. ^{[5] [6]}

Esta formulación de compacidad se utiliza en algunas demostraciones del teorema de Tychonoff .

Incontabilidad de espacios perfectos

Otra aplicación común es demostrar que los números reales son incontables .

Teorema  :  Sea un espacio de Hausdorff compacto no vacío que satisfaga la propiedad de que ningún conjunto de un punto es abierto . Entonces es incontable . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Todas las condiciones del enunciado del teorema son necesarias:

1. No podemos eliminar la condición de Hausdorff; un conjunto contable (con al menos dos puntos) con topología indiscreta es compacto, tiene más de un punto y satisface la propiedad de que ningún conjunto de puntos es abierto, pero no es incontable.
2. No podemos eliminar la condición de compacidad, como muestra el conjunto de números racionales .
3. No podemos eliminar la condición de que los conjuntos de un punto no puedan ser abiertos, como lo muestra cualquier espacio finito con topología discreta .

Prueba

Demostraremos que if no está vacío y está abierto, y if es un punto de entonces hay una vecindad cuyo cierre no contiene ( ' puede o no estar en ). Elija diferente de (si entonces debe existir tal for, de lo contrario sería un conjunto abierto de un punto; si esto es posible, ya que no está vacío). Luego, según la condición de Hausdorff, elija barrios disjuntos y de y respectivamente. Entonces habrá un vecindario de contenido cuyo cierre no contiene como se desea. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V\subset U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle y\in U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\notin U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle K\cap U}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$

Ahora supongamos que es una biyección y denotemos la imagen de Sea el primer conjunto abierto y elija un vecindario cuyo cierre no contenga En segundo lugar, elija un vecindario cuyo cierre no contenga Continúe este proceso eligiendo un vecindario cuyo cierre no contenga Entonces la colección satisface la propiedad de intersección finita y, por lo tanto, la intersección de sus cierres no está vacía por la compacidad de Por lo tanto, hay un punto en esta intersección. No puede pertenecer a esta intersección porque no pertenece al cierre de Esto significa que no es igual para todos y no es sobreyectivo ; una contradicción. Por tanto, es incontable. ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle \left\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1}\subset X}$ ${\displaystyle x_{1}.}$ ${\displaystyle U_{2}\subset U_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}.}$ ${\displaystyle U_{n+1}\subset U_{n}}$ ${\displaystyle x_{n+1}.}$ ${\displaystyle \left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Corolario  :  todo intervalo cerrado con es incontable. Por tanto, es incontable. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Corolario  :  Todo espacio Hausdorff perfecto y localmente compacto es incontable.

Prueba

Sea un espacio de Hausdorff perfecto y compacto, entonces el teorema implica inmediatamente que es incontable. Si es un espacio de Hausdorff perfecto y localmente compacto que no es compacto, entonces la compactación en un punto es un espacio de Hausdorff perfecto y compacto. Por lo tanto, la compactación de un punto es incontable. Dado que eliminar un punto de un conjunto incontable aún deja un conjunto incontable, también es incontable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ultrafiltros

Sea no vacío y tenga la propiedad de intersección finita. Entonces existe un ultrafiltro (in ) tal que este resultado se conoce como lema del ultrafiltro . ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\subseteq 2^{X}.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle F\subseteq U.}$

Ver también

• Filtro (teoría de conjuntos)  : familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Sistema de vecindarios  : (para un punto x) colección de todos los vecindarios para el punto xPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ultrafiltro (teoría de conjuntos)  : filtro máximo adecuadoPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

Notas

1. Un filtro o prefiltro en un conjunto esadecuado ono degenerado si no contiene el conjunto vacío como elemento. Como muchos autores, pero no todos, este artículo requerirá la no degeneración como parte de las definiciones de "prefiltro" y "filtro".

Citas

1. Joshi 1983, págs. 242-248.
2. Dolecki y Mynard 2016, págs. 27–29, 33–35.
3. Bourbaki 1987, págs. 57–68.
4. Wilansky 2013, págs. 44-46.
5. Munkres 2000, pag. 169.
6. Un espacio es compacto si cualquier familia de conjuntos cerrados que tengan fip tiene una intersección no vacía en PlanetMath .
7. Csirmaz, László; Hajnal, András (1994), Matematikai logika (en húngaro) , Budapest: Universidad Eötvös Loránd.

fuentes generales

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Confort, William Wistar; Negrepontis, Stylianos (1974). La teoría de los ultrafiltros . vol. 211. Berlín Heidelberg Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-06604-2. OCLC  1205452.
• Császár, Ákos (1978). Topología general . Traducido por Császár, Klára. Bristol Inglaterra: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: Compañía Mundial de Publicaciones Científicas. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Joshi, KD (1983). Introducción a la Topología General . Nueva York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750.
• Koutras, Costas D.; Moyzes, Christos; Nomikos, Christos; Tsaprounis, Konstantinos; Zikos, Yorgos (20 de octubre de 2021). "Sobre filtros débiles y ultrafiltros: teoría de conjuntos desde (y para) la representación del conocimiento". Revista Lógica del IGPL . doi : 10.1093/jigpal/jzab030.
• MacIver R., David (1 de julio de 2004). «Filtros en Análisis y Topología» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 9 de octubre de 2007.(Proporciona una revisión introductoria de los filtros en topología y espacios métricos).
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para el análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899.

enlaces externos

• "Propiedad de intersección finita". PlanetMath .