sistema pi

Familia de conjuntos cerrados bajo intersección.

En matemáticas , un sistema π (o sistema pi ) en un conjunto es una colección de ciertos subconjuntos de tales que ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle P}$no está vacío .
• si entonces ${\displaystyle A,B\in P}$ ${\displaystyle A\cap B\in P.}$

Es decir, es una familia de subconjuntos no vacía que está cerrada bajo intersecciones finitas no vacías . ^{[nb 1]} La importancia de los π -sistemas surge del hecho de que si dos medidas de probabilidad concuerdan en un π -sistema, entonces concuerdan en el 𝜎-álgebra generada por ese π -sistema. Además, si otras propiedades, como la igualdad de integrales, se cumplen para el sistema π , entonces también se cumplen para el álgebra 𝜎 generada. Este es el caso siempre que la colección de subconjuntos para los cuales se cumple la propiedad es un sistema 𝜆 . Los sistemas π también son útiles para comprobar la independencia de variables aleatorias. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega }$

Esto es deseable porque, en la práctica, los sistemas π suelen ser más sencillos de trabajar que las álgebras 𝜎. Por ejemplo, puede resultar incómodo trabajar con 𝜎-álgebras generadas por un número finito de conjuntos. Entonces, en su lugar, podemos examinar la unión de todas las 𝜎-álgebras generadas por un número finito de conjuntos. Esto forma un sistema π que genera el 𝜎-álgebra deseado. Otro ejemplo es la colección de todos los intervalos de la recta real , junto con el conjunto vacío, que es un sistema π que genera la muy importante álgebra 𝜎 de Borel de subconjuntos de la recta real. ${\displaystyle \sigma (E_{1},E_{2},\ldots ).}$ ${\textstyle \bigcup _{n}\sigma (E_{1},\ldots ,E_{n}).}$

Definiciones

Un sistema π es una colección de conjuntos no vacía que está cerrada bajo intersecciones finitas no vacías, lo que equivale a contener la intersección de dos de sus elementos cualesquiera. Si cada conjunto en este sistema π es un subconjunto de entonces se llama sistema π en ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega .}$

Para cualquier familia de subconjuntos no vacía de existe un sistema π llamado sistema π generado por , que es el único sistema π más pequeño que contiene cada elemento de Es igual a la intersección de todos los sistemas π que contienen y pueden describirse explícitamente como el conjunto de todas las posibles intersecciones finitas no vacías de elementos de ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Sigma },}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varSigma }}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle \Sigma :}$

$${\displaystyle \left\{E_{1}\cap \cdots \cap E_{n}~:~1\leq n\in \mathbb {N} {\text{ and }}E_{1},\ldots ,E_{n}\in \Sigma \right\}.}$$

Una familia de conjuntos no vacía tiene la propiedad de intersección finita si y sólo si el sistema π que genera no contiene el conjunto vacío como elemento.

Ejemplos

• Para cualquier número real y los intervalos forman un π -sistema, y ​​los intervalos forman un π -sistema si también se incluye el conjunto vacío. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle (-\infty ,a]}$ ${\displaystyle (a,b]}$
• La topología (colección de subconjuntos abiertos ) de cualquier espacio topológico es un π -sistema.
• Cada filtro es un π -sistema. Cada sistema π que no contiene el conjunto vacío es un prefiltro (también conocido como base de filtro).
• Para cualquier función medible, el conjunto   define un sistema π y se denomina sistema π generado por (alternativamente, define un sistema π generado por ) ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{f}=\left\{f^{-1}((-\infty ,x]):x\in \mathbb {R} \right\}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle \left\{f^{-1}((a,b]):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\right\}\cup \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle f.}$
• Si y son π -sistemas para y respectivamente, entonces es un π -sistema para el producto cartesiano ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2},}$ ${\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in P_{1},A_{2}\in P_{2}\}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}.}$
• Cada 𝜎-álgebra es un π -sistema.

Relación con los sistemas 𝜆

Un sistema 𝜆 de es un conjunto de subconjuntos de valores satisfactorios ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle \Omega \in D,}$
• si entonces ${\displaystyle A\in D}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A\in D,}$
• si es una secuencia de subconjuntos disjuntos (por pares) en entonces ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$

Si bien es cierto que cualquier álgebra 𝜎 satisface las propiedades de ser a la vez un sistema π y un sistema 𝜆, no es cierto que cualquier sistema π sea un sistema 𝜆 y, además, no es cierto que cualquier álgebra π El sistema es un 𝜎-álgebra. Sin embargo, una clasificación útil es que cualquier sistema de conjuntos que sea a la vez un sistema 𝜆 y un sistema π es un álgebra 𝜎. Esto se utiliza como paso para demostrar el teorema de π -𝜆.

El teorema de π -𝜆

Sea un sistema 𝜆 y sea   un sistema π contenido en El teorema de π -𝜆 ^[1] establece que el álgebra 𝜎 generada por está contenido en ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq D}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle D~:~}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})\subseteq D.}$

El teorema π -𝜆 se puede utilizar para demostrar muchos resultados teóricos de medidas elementales. Por ejemplo, se utiliza para demostrar la unicidad del teorema de extensión de Carathéodory para medidas 𝜎-finitas. ^[2]

El teorema π -𝜆 está estrechamente relacionado con el teorema de la clase monótona , que proporciona una relación similar entre clases monótonas y álgebras, y puede usarse para derivar muchos de los mismos resultados. Dado que los sistemas π son clases más simples que las álgebras, puede ser más fácil identificar los conjuntos que se encuentran en ellos mientras, por otro lado, comprobar si la propiedad bajo consideración determina un sistema 𝜆 suele ser relativamente fácil. A pesar de la diferencia entre los dos teoremas, el teorema π -𝜆 a veces se denomina teorema de la clase monótona. ^[1]

Ejemplo

Sean dos medidas del álgebra 𝜎 y supongamos que se genera mediante un sistema π Si ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}:F\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F=\sigma (I)}$ ${\displaystyle I.}$

1. ${\displaystyle \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)}$para todos y ${\displaystyle A\in I,}$
2. ${\displaystyle \mu _{1}(\Omega )=\mu _{2}(\Omega )<\infty ,}$

entonces Este es el enunciado de unicidad del teorema de extensión de Carathéodory para medidas finitas. Si este resultado no parece muy notable, considere el hecho de que normalmente es muy difícil o incluso imposible describir completamente cada conjunto en el álgebra 𝜎, por lo que el problema de igualar medidas sería completamente inútil sin dicha herramienta. ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}.}$

Idea de la prueba ^[2] Definir la colección de conjuntos

$${\displaystyle D=\left\{A\in \sigma (I)\colon \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)\right\}.}$$

π ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subseteq D.}$ ${\displaystyle \Omega \in D,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma (I)\subseteq D\subseteq \sigma (I),}$ ${\displaystyle D=\sigma (I).}$ ${\displaystyle \sigma (I).}$

π -Sistemas en probabilidad

Los sistemas π se utilizan más comúnmente en el estudio de la teoría de la probabilidad que en el campo general de la teoría de la medida. Esto se debe principalmente a nociones probabilísticas como la independencia , aunque también puede ser una consecuencia del hecho de que el teorema π -𝜆 fue demostrado por el probabilista Eugene Dynkin . Los textos de teoría de medidas estándar suelen demostrar los mismos resultados mediante clases monótonas , en lugar de sistemas π .

Igualdad en la distribución

El teorema π -𝜆 motiva la definición común de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria en términos de su función de distribución acumulativa . Recuerde que la distribución acumulativa de una variable aleatoria se define como ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$$

mientras que la ley

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$$

espacios de probabilidadiguales en distribuciónleyπ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$ ${\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}$

Un resultado similar es válido para la distribución conjunta de un vector aleatorio. Por ejemplo, supongamos que y son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad con sistemas π generados respectivamente y La función de distribución acumulativa conjunta de es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}$ ${\displaystyle (X,Y)}$

$${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}$$

Sin embargo, y porque ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}$

$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}$$

ππ ${\displaystyle (X,Y),}$ ${\displaystyle (X,Y).}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle (W,Z)}$

En la teoría de los procesos estocásticos , se sabe que dos procesos tienen la misma distribución si y sólo si coinciden en todas las distribuciones de dimensión finita; es decir, para todos ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}$

$${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}$$

La prueba de esto es otra aplicación del teorema π -𝜆. ^[3]

Variables aleatorias independientes

La teoría del sistema π juega un papel importante en la noción probabilística de independencia . Si y son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad, entonces las variables aleatorias son independientes si y sólo si sus sistemas π satisfacen para todos y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {I}}_{Y},}$

$${\displaystyle \operatorname {P} [A\cap B]~=~\operatorname {P} [A]\operatorname {P} [B],}$$

π ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$ ${\displaystyle (X,Y).}$

Ejemplo

Sea donde están las variables aleatorias normales estándar iid . Definir las variables de radio y argumento (arctan) ${\displaystyle Z=\left(Z_{1},Z_{2}\right),}$ ${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$

$${\displaystyle R={\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},\qquad \Theta =\tan ^{-1}\left(Z_{2}/Z_{1}\right).}$$

Entonces y son variables aleatorias independientes. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Theta }$

Para demostrar esto, basta con demostrar que los sistemas π son independientes: es decir, para todos y ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{R},{\mathcal {I}}_{\Theta }}$ ${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$

$${\displaystyle \operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]=\operatorname {P} [R\leq \rho ]\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ].}$$

Confirmar que este es el caso es un ejercicio de cambio de variables. Fix y luego la probabilidad se puede expresar como una integral de la función de densidad de probabilidad de ${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$ ${\displaystyle Z.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]&=\int _{R\leq \rho ,\,\Theta \leq \theta }{\frac {1}{2\pi }}\exp \left({-{\frac {1}{2}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})}\right)dz_{1}\,dz_{2}\\[5pt]&=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\,d{\tilde {\theta }}\\[5pt]&=\left(\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2\pi }}\,d{\tilde {\theta }}\right)\;\left(\int _{0}^{\rho }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\right)\\[5pt]&=\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ]\operatorname {P} [R\leq \rho ].\end{aligned}}}$$

Ver también

• δ -ring  - Anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos
• Ideal (teoría de conjuntos)  : familia de conjuntos no vacía que está cerrada bajo uniones y subconjuntos finitos
• Independencia (teoría de la probabilidad)  : cuando la ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de otro
• Sistema 𝜆 (sistema Dynkin)  : familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables
• Teorema de clase monótona
• Distribución de probabilidad  : función matemática para la probabilidad de que ocurra un resultado determinado en un experimento.
• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• σ-álgebra  - Estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• 𝜎-ideal  – Familia cerrada en subconjuntos y uniones contables
• 𝜎-ring  – Anillo cerrado bajo uniones contables

Notas

1. La intersección nula (0-aria) de subconjuntos de es por convención igual a la cual no es necesario que sea un elemento de un π -sistema. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,}$

Citas

1. Kallenberg, Fundamentos de la probabilidad moderna, p. 2
2. Durrett, Teoría y ejemplos de la probabilidad, p. 404
3. Kallenberg, Fundamentos de la probabilidad moderna , p. 48

Referencias

• Gut, Allan (2005). Probabilidad: un curso de posgrado . Textos Springer en Estadística. Nueva York: Springer. doi :10.1007/b138932. ISBN 0-387-22833-0.
• Williams, David (1991). Probabilidad con Martingalas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-40605-6.
• Durrett, Richard (2019). Probabilidad: teoría y ejemplos (PDF) . Serie Cambridge en Matemáticas Estadística y Probabilística. vol. 49 (5ª ed.). Cambridge Nueva York, Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Consultado el 5 de noviembre de 2020 .