Filtro (teoría de conjuntos)

Familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"

En matemáticas , un filtro en un conjunto es una familia de subconjuntos tal que: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$y ${\displaystyle \emptyset \notin {\mathcal {B}}}$
2. si y , entonces ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {B}}}$
3. Si y , entonces ${\displaystyle A\subset B\subset X}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

Se puede considerar que un filtro en un conjunto representa una "colección de subconjuntos grandes", ^[2] un ejemplo intuitivo es el filtro de vecindad . Los filtros aparecen en la teoría del orden , la teoría de modelos y la teoría de conjuntos , pero también se pueden encontrar en la topología , de donde se originan. La noción dual de filtro es ideal .

Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan en 1937 ^{[3] [4]} y, como se describe en el artículo dedicado a los filtros en topología , fueron utilizados posteriormente por Nicolas Bourbaki en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción relacionada de red desarrollada en 1922 por EH Moore y Herman L. Smith . Los filtros de orden son generalizaciones de filtros de conjuntos a conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados . Específicamente, un filtro en un conjunto es solo un filtro de orden adecuado en el caso especial en el que el conjunto parcialmente ordenado consiste en el conjunto de potencia ordenado por inclusión de conjunto .

Preliminares, notación y nociones básicas.

En este artículo, las letras romanas mayúsculas como y denotan conjuntos (pero no familias a menos que se indique lo contrario) y denotarán el conjunto potencia de Un subconjunto de un conjunto potencia se llama familia de conjuntos (o simplemente, familia ) donde termina si es un subconjunto de Las familias de conjuntos se indicarán con letras de caligrafía mayúsculas como Siempre que se necesiten estos supuestos, entonces se debe asumir que no está vacío y que, etc., son familias de conjuntos sobre ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle X.}$

Los términos "prefiltro" y "base de filtro" son sinónimos y se utilizarán indistintamente.

Advertencia sobre definiciones y notaciones competitivas

Lamentablemente, existen varios términos en la teoría de los filtros que los distintos autores definen de forma diferente. Estos incluyen algunos de los términos más importantes, como "filtro". Si bien las diferentes definiciones del mismo término generalmente tienen una superposición significativa, debido a la naturaleza muy técnica de los filtros (y la topología de conjuntos de puntos), estas diferencias en las definiciones a menudo tienen consecuencias importantes. Al leer literatura matemática, se recomienda que los lectores comprueben cómo el autor define la terminología relacionada con los filtros. Por esta razón, este artículo establecerá claramente todas las definiciones tal como se utilizan. Desafortunadamente, no toda la notación relacionada con los filtros está bien establecida y algunas notaciones varían mucho según la literatura (por ejemplo, la notación para el conjunto de todos los prefiltros de un conjunto), por lo que en tales casos este artículo utiliza cualquier notación que se describa mejor o sea más sencilla. recordado.

La teoría de los filtros y prefiltros está bien desarrollada y tiene una gran cantidad de definiciones y notaciones, muchas de las cuales ahora se enumeran sin ceremonias para evitar que este artículo se vuelva prolijo y permitir una fácil búsqueda de notaciones y definiciones. Sus propiedades importantes se describen más adelante.

Operaciones de conjuntos

Elcierre hacia arriba oisotonizaciónen^[5][6]de unafamilia de conjuntoses ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\}}$

y de manera similar el cierre a la baja de es ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\wp (B).}$

Para dos familias cualesquiera declaramos que si y sólo si para cada existe alguna en cuyo caso se dice que es más tosca que y que es más fina que (o subordinada a ) ^{[10] [11] [12]} También se puede utilizar la notación en lugar de ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq C,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}}{\text{ or }}{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Dos familias se mallan , ^[7] escrito si ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$

En todas partes, es un mapa y es un conjunto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$

Redes y sus colas

Un conjunto dirigido es un conjunto junto con un pedido anticipado , que se indicará con (a menos que se indique explícitamente lo contrario), que se convierte en un conjunto dirigido ( hacia arriba ) ; ^[15] esto significa que para todos existe algo tal que Para cualquier índice, la notación se define como mientras se define como significa que se cumple, pero no es cierto que (si es antisimétrico , entonces esto es equivalente a ). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i,j\in I,}$ ${\displaystyle k\in I}$ ${\displaystyle i\leq k{\text{ and }}j\leq k.}$ ${\displaystyle i{\text{ and }}j,}$ ${\displaystyle j\geq i}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle j\leq i}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle i\leq j{\text{ and }}i\neq j}$

Una red en ${\displaystyle X}$^[15] es un mapa de un conjunto dirigido no vacío. La notación se utilizará para denotar una red con dominio. ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I.}$

Advertencia sobre el uso de comparación estricta

Si es una red y entonces es posible que el conjunto que se llama cola de after esté vacío (por ejemplo, esto sucede si es un límite superior del conjunto dirigido ). En este caso, la familia contendría el conjunto vacío, lo que impediría que fuera un prefiltro (definido más adelante). Esta es la razón (importante) para definir como en lugar de o incluso y es por esta razón que en general, cuando se trata del prefiltro de colas de una red, la desigualdad estricta no puede usarse indistintamente con la desigualdad ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ and }}j\in I\right\},}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

Filtros y prefiltros

La siguiente es una lista de propiedades que puede poseer una familia de conjuntos y que forman las propiedades definitorias de filtros, prefiltros y subbases de filtros. Siempre que sea necesario, se debe asumir que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$

La familia de conjuntos es: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. adecuado ono degenerado siDe lo contrario, sientonces se llamaimpropio^[17]odegenerado. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}},}$
2. Dirigido hacia abajo ^[15]si siempreexiste algotal que ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\subseteq A\cap B.}$
   • Esta propiedad se puede caracterizar en términos de direccionalidad , lo que explica la palabra "dirigido": Una relación binaria se llama dirigida (hacia arriba) si para dos cualesquiera hay algo satisfactorio Usar en lugar de da la definición de dirigido hacia abajo , mientras que usar en su lugar da la definición de dirigido hacia arriba . Explícitamente, está dirigido hacia abajo (resp. dirigido hacia arriba ) si y sólo si para todos existe algún "mayor" tal que (resp. tal que ) - donde el elemento "mayor" siempre está en el lado derecho, ^{[nota 1]} − que puede reescribirse como (resp. como ). ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\preceq C{\text{ and }}B\preceq C.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\supseteq C{\text{ and }}B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$
   • Si una familia tiene un elemento mayor con respecto a (por ejemplo, si ), entonces necesariamente está dirigido hacia abajo. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}}$
3. Cerrado bajo intersecciones finitas (resp.uniones) si la intersección (resp. unión) de dos elementos cualesquiera dees un elemento de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • Si está cerrado bajo intersecciones finitas entonces necesariamente está dirigido hacia abajo. Lo contrario es generalmente falso. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
4. Cerrado hacia arriba oIsotonoen^[5]sio equivalentemente, si siemprey algún conjuntosatisfaceDe manera similar,estácerrado hacia abajosiUn conjunto cerrado hacia arriba (respectivamente, hacia abajo) también se denominaconjunto superiorotrastornado(resp.conjunto inferioroconjunto inferior).). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B\subseteq C\subseteq X,{\text{ then }}C\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.}$
   • La familia que es el cierre hacia arriba de es la única familia de conjuntos de isótonos más pequeña (con respecto a ) que tiene como subconjunto. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle \,\subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Muchas de las propiedades definidas anteriormente y a continuación, como "adecuado" y "dirigido hacia abajo", no dependen de ello, por lo que mencionar el conjunto es opcional cuando se utilizan dichos términos. Las definiciones que implican estar "cerrado hacia arriba ", como la de "filtrar activado ", dependen del conjunto, por lo que se debe mencionar el conjunto si no queda claro por el contexto. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\textrm {Filters}}(X)\quad =\quad {\textrm {DualIdeals}}(X)\,\setminus \,\{\wp (X)\}\quad \subseteq \quad {\textrm {Prefilters}}(X)\quad \subseteq \quad {\textrm {FilterSubbases}}(X).}$$

Una familia es/es un(a): ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Ideal ^[17][18]sies cerrado hacia abajo y cerrado bajo uniones finitas. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$
2. Ideal dual en^[19]siestá cerrado hacia arribay también cerrado bajo intersecciones finitas. De manera equivalente,es un ideal dual si para todos^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {B}}\;{\text{ if and only if }}\;R,S\in {\mathcal {B}}.}$
   • Explicación de la palabra "dual": Una familia es un ideal dual (o ideal) si y sólo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$dual de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ la cual es la familia es un ideal (resp. un ideal dual) en En otras palabras, ideal dual significa " dual de un ideal ". No se debe confundir con la familia porque estos dos conjuntos no son iguales en general; por ejemplo, el dual del dual es la familia original, lo que significa que el conjunto pertenece al dual de si y sólo si ^[17] $${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \wp (X)\setminus {\mathcal {B}}=\{S\subseteq X~:~S\notin {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}=\wp (X){\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}=\wp (X).}$ ${\displaystyle X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}.}$
3. Filtrar en^[19][7]sies un ideal dual adecuado enEs decir, un filtro enes un subconjunto no vacío deque está cerrado bajo intersecciones finitas y cerrado hacia arriba enEquivalentemente, es un prefiltro que está cerrado hacia arriba enIn En palabras, un filtro enes una familia de conjuntos sobrelos cuales (1) no está vacío (o, de manera equivalente, contiene), (2) está cerrado bajo intersecciones finitas, (3) está cerrado hacia arribay (4) no tiene el conjunto vacío como elemento. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$
   • Advertencia : algunos autores, particularmente algebristas, utilizan "filtro" para referirse a un ideal dual; otros, particularmente los topólogos, usan "filtro" para referirse a un ideal dual adecuado / no degenerado . ^[20] Se recomienda que los lectores siempre comprueben cómo se define "filtro" al leer literatura matemática. Sin embargo, las definiciones de "ultrafiltro", "prefiltro" y "subbase de filtro" siempre requieren que no haya degeneración. Este artículo utiliza la definición original de "filtro" de Henri Cartan , ^{[3] [4]} que requería no degeneración.
   • Un filtro dual on es una familia cuyo dual es un filtro on. De manera equivalente, es un on ideal que no contiene como elemento. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
   • El conjunto de potencia es el único dual ideal que no es también un filtro. Excluir de la definición de "filtro" en topología tiene el mismo beneficio que excluir de la definición de " número primo ": evita la necesidad de especificar "no degenerado" (el análogo de "no unitario " o "no- " ) en muchos resultados importantes, lo que hace que sus declaraciones sean menos incómodas. ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$
4. Prefiltro obase del filtro ^[7][21]sies adecuada y está dirigida hacia abajo. De manera equivalente,se denomina prefiltro si su cierre hacia arribaes un filtro. También se puede definir como cualquier familia que sea equivalente (con respecto a) aalgúnfiltro.^[8] Una familia adecuadaes un prefiltro si y sólo si^[8]Una familia es un prefiltro si y sólo si lo mismo ocurre con su cierre ascendente. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Si es un prefiltro, entonces su cierre hacia arriba es el único filtro más pequeño (en relación con) que contiene y se llama filtro generado por. Se dice que un filtro es generado por un prefiltro si en el que se llama base de filtro para ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • A diferencia de un filtro, un prefiltro no está necesariamente cerrado bajo intersecciones finitas.
5. π –sistema siestá cerrado bajo intersecciones finitas. Cada familia no vacíaestá contenida en unsistemaπsistema π generado porel cual a veces se denota porEs igual a la intersección de todosπque contieneny también al conjunto de todas las intersecciones finitas posibles de conjuntos. de: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$
   • Un sistema π es un prefiltro si y sólo si es adecuado. Cada filtro es un sistema π adecuado y cada sistema π adecuado es un prefiltro, pero lo contrario no se cumple en general.
   • Un prefiltro es equivalente (con respecto a ) al sistema π generado por él y ambas familias generan el mismo filtro en ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle X.}$
6. Filtre la subbase ^[7][22]ycentrada^[8]sicumplealguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$tiene la propiedad de intersección finita , lo que significa que la intersección de cualquier familia finita de (uno o más) conjuntos no está vacía; explícitamente, esto significa que siempre que entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.}$
   2. El sistema π generado por es propio; eso es, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in \pi ({\mathcal {B}}).}$
   3. El sistema π generado por es un prefiltro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un subconjunto de algún prefiltro.
   5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un subconjunto de algún filtro.
   • Supongamos que es una subbase de filtro. Luego hay un filtro único más pequeño (relativo a) que contiene llamado ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$filtro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ yse dice quees una subbase de filtro paraeste filtro. Este filtro es igual a la intersección de todos los filtrosque son superconjuntos deElπgenerado pordenotado porserá un prefiltro y un subconjunto de Además, el filtro generado pores igual al cierre ascendente designificado^[8]Sin embargo,siy solo sies un prefiltro (aunquesiempre es una subbase de filtro cerrada haciaarriba). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$
   • Un prefiltro  más pequeño (es decir, el más pequeño en relación con  ) que contiene una subbase de filtro existirá solo en determinadas circunstancias. Existe, por ejemplo, si la placa base de filtro es también un prefiltro. También existe si el filtro (o equivalentemente, el sistema π ) generado por es principal, en cuyo caso es el prefiltro más pequeño único que contiene. De lo contrario, en general, es posible que no exista un prefiltro  más pequeño que contenga . Por esta razón, algunos autores pueden referirse al sistema π generado por como ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$el prefiltro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Sin embargo, si existe un prefiltro más pequeño (digamos que se denota pornoesnecesariamente igual al "prefiltro generado por B {\displaystyle {\mathcal {B}}} " (es decir,es posible). Y si la subbase del filtrotambién es un prefiltro pero no unπ, entonces desafortunadamente, "el prefiltro generado por este prefiltro" (es decir,) no lo será(es decir,es posible incluso cuandosea un prefiltro), razón por la cual este artículo preferirá la terminología precisa e inequívoca de "elsistema π generado por". ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}\neq \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})\neq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
7. Subfiltro de un filtroy quees un ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$superfiltro de^[17][23]sies un filtro ydónde para filtros, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$
   • Es importante destacar que la expresión "es un superfiltro de" es para los filtros el análogo de "es una subsecuencia de". Entonces, a pesar de tener el prefijo "sub" en común, "es un subfiltro de" es en realidad lo inverso de "es una subsecuencia de". Sin embargo, también se puede escribir lo que se describe diciendo " está subordinado a ". Con esta terminología, "está subordinado a" se convierte para filtros (y también para prefiltros) en el análogo de "es una subsecuencia de", ^[24] que hace que esta sea una situación en la que usar el término "subordinado" y el símbolo puede resultar útil. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \,\vdash \,}$

No hay prefiltros en (ni hay redes valoradas en ), por lo que este artículo, como la mayoría de los autores, asumirá automáticamente sin comentarios que siempre que esta suposición sea necesaria. ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$

Ejemplos básicos

Ejemplos nombrados

• El conjunto singleton se llama indiscreto o ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$filtro trivial en ${\displaystyle X.}$^[25][10]Es elfiltromínimoporque es un subconjunto de cada filtro en; sin embargo, no es necesario que sea un subconjunto de cada prefiltro en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• El ideal dual también se llama filtro degenerado en ^[9] (a pesar de no ser realmente un filtro). Es el único dual ideal que no es un filtro. ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es un espacio topológico y entonces el filtro de vecindad en es un filtro en Por definición, una familia se llama base de vecindad (resp. subbase de vecindad ) en si y solo si es un prefiltro (rep. es una subbase de filtro) y el El filtro que genera es igual al filtro de vecindad La subfamilia de vecindades abiertas es una base de filtro para Ambos prefiltros también forman una base para las topologías y la topología generada es más basta que Este ejemplo se generaliza inmediatamente desde vecindades de puntos a vecindades de no vacíos subconjuntos ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle x{\text{ for }}(X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle \tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}\tau (x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau (x)}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es unprefiltro elemental ^[26]sipara alguna secuencia ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ in }}X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es unfiltro elemental o unfiltro secuencial en^[27]sies un filtrogenerado por algún prefiltro elemental. El filtro de colas generado por una secuencia que finalmente no es constantenoun ultrafiltro.^[28]Cada filtro principal en un conjunto contable es secuencial al igual que cada filtro cofinito en un conjunto contablemente infinito.^[9]La intersección de un número finito de filtros secuenciales es nuevamente secuencial.^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$
• El conjunto de todos los subconjuntos cofinitos de (es decir, aquellos conjuntos cuyo complemento en es finito) es propio si y sólo si es infinito (o equivalentemente, es infinito), en cuyo caso se conoce un filtro conocido como filtro de Fréchet o filtro de Fréchet. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$filtro cofinito en^[10][25]Sies finito entonceses igual al ideal dualque no es un filtro. Sies infinita entonces la familiade complementos de conjuntos singleton es una subbase de filtro que genera el filtro de Fréchet.Como con cualquier familia de conjuntosque contengael núcleo del filtro de Fréchetes el conjunto vacío: ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\varnothing .}$
• La intersección de todos los elementos en cualquier familia no vacía es en sí misma un filtro llamado mínimo o límite inferior máximo , por lo que puede denotarse por Said de manera diferente. Debido a que cada filtro tiene como subconjunto, esta intersección nunca está vacía. Por definición, el mínimo es el filtro más fino/más grande (en relación con ) contenido como un subconjunto de cada miembro de ^[10] ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle \bigwedge _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \ker \mathbb {F} =\bigcap _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,{\text{ and }}\,\leq \,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$
  • Si son filtros entonces su mínimo es el filtro ^[8] Si son prefiltros entonces es un prefiltro que es más burdo (con respecto a ) que ambos (es decir, ); de hecho, es uno de los mejores prefiltros , lo que significa que if es un prefiltro tal que entonces necesariamente ^[8] Más generalmente, if son familias no vacías y si entonces y es el elemento mayor (con respecto a ) de ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$
• Let y let El supremo o límite superior mínimo de denotado por es el ideal dual más pequeño (relativo a ) que contiene cada elemento de como un subconjunto; es decir, es el ideal dual más pequeño (relativo a) al contener como un subconjunto. Este ideal dual es dónde está el sistema π generado por As con cualquier familia de conjuntos no vacíos, contenido en algún filtro si y solo si es una subbase de filtro, o de manera equivalente, si y solo si es un filtro en en cuyo caso esta familia es el filtro más pequeño (en relación con) al contener cada elemento de como un subconjunto y necesariamente ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {DualIdeals} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {DualIdeals} (X),}$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ and every }}F_{i}{\text{ belongs to some }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X).}$
• Let y let El límite supremo o mínimo superior de denotado por si existe, es por definición el filtro más pequeño (en relación con ) que contiene cada elemento de como un subconjunto. Si existe, entonces necesariamente ^[10] (como se definió anteriormente) y también será igual a la intersección de todos los filtros que contienen. Este supremo de existe si y solo si el ideal dual es un filtro en El límite superior mínimo de una familia de filtros. puede no ser un filtro. ^[10] De hecho, si contiene al menos 2 elementos distintos, entonces existen filtros para los cuales no existe un filtro que contenga ambos. Si no es una subbase de filtro, entonces el supremo de no existe y lo mismo ocurre con su supremo en pero. su supremo en el conjunto de todos los ideales duales existirá (siendo el filtro degenerado ). ^[9] ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$
  • Si hay prefiltros (resp. filtros en ), entonces es un prefiltro (resp. un filtro) si y solo si no es degenerado (o dicho de otra manera, si y solo si es de malla), en cuyo caso es uno de los prefiltros más gruesos. (resp. el filtro más grueso) en (con respecto a ) que es más fino (con respecto a ) que ambos, esto significa que si hay algún prefiltro (resp. cualquier filtro) tal que entonces necesariamente ^[8] en cuyo caso se denota por ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.}$
• Sean conjuntos no vacíos y para cada sea un ideal dual en Si hay algún ideal dual en entonces es un ideal dual en llamado ideal dual de Kowalsky o filtro de Kowalsky . ^[17] ${\displaystyle I{\text{ and }}X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \bigcup _{\Xi \in {\mathcal {I}}}\;\;\bigcap _{i\in \Xi }\;{\mathcal {D}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$
• El filtro de club de un cardenal regular incontable es el filtro de todos los conjuntos que contienen un subconjunto de club de Es un filtro completo cerrado bajo intersección diagonal . ${\displaystyle \kappa .}$ ${\displaystyle \kappa }$

Otros ejemplos

• Let y let que forma un prefiltro y una subbase de filtro que no está cerrada bajo intersecciones finitas. Debido a que es un prefiltro, el prefiltro más pequeño que contiene es El sistema π generado por es En particular, el prefiltro más pequeño que contiene la subbase de filtro no es igual al conjunto de todas las intersecciones finitas de conjuntos en El filtro generado por es Los tres π –el sistema genera, y son ejemplos de prefiltros fijos, principales y ultra que son principales en el punto y también son un ultrafiltro en ${\displaystyle X=\{p,1,2,3\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\{p,1\}\}\cup {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T~:~T\subseteq \{1,2,3\}\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle p;{\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$
• Sea un espacio topológico y defina dónde es necesariamente más fino que ^[29] Si no está vacío (resp. no degenerado, una subbase de filtro, un prefiltro, cerrado bajo uniones finitas), entonces lo mismo ocurre con Si es un filtro on entonces es un prefiltro pero no necesariamente un filtro on aunque es un filtro on equivalente a ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}:=\left\{\operatorname {cl} _{X}B~:~B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left({\overline {\mathcal {B}}}\right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$
• El conjunto de todos los subconjuntos abiertos densos de un espacio topológico (no vacío) es un sistema π adecuado y, por tanto, también un prefiltro. Si el espacio es un espacio de Baire , entonces el conjunto de todas las intersecciones contables de subconjuntos abiertos densos es un sistema π y un prefiltro que es más fino que Si (con ), entonces el conjunto de todos los que tienen medida de Lebesgue finita es un π propio –sistema y prefiltro libre que también es un subconjunto adecuado de Los prefiltros y son equivalentes y, por lo tanto, generan el mismo filtro en El prefiltro está contenido adecuadamente, y no es equivalente, al prefiltro que consta de todos los subconjuntos densos de Dado que es un espacio de Baire , cada intersección contable de conjuntos de es denso (y también es grande y no exiguo), por lo que el conjunto de todas las intersecciones contables de elementos de es un prefiltro y un sistema π ; también es mejor que, y no equivalente, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1\leq n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }.}$
• Una subbase de filtro sin un prefiltro más pequeño que la contenga ${\displaystyle \,\subseteq -}$ : en general, si una subbase de filtro no es un sistema π , entonces una intersección de conjuntos de generalmente requerirá una descripción que incluya variables que no se pueden reducir a solo dos (considere, por ejemplo, cuando ). Este ejemplo ilustra una clase atípica de subbases de filtro donde todos los conjuntos en ambos y su sistema π generado se pueden describir como conjuntos de la forma de modo que, en particular, no se necesitan más de dos variables (específicamente, ) para describir el π generado . -sistema. Para todos , sea donde siempre se cumple, por lo que no se pierde generalidad al agregar el supuesto. Para todo real, si no es negativo, entonces ^{[nota 2]} Para cada conjunto de reales positivos, sea ^{[nota 3]} Sea y supongamos que no es un conjunto singleton. Entonces es una subbase de filtro pero no un prefiltro y es el sistema π que genera, por lo que es el único filtro más pequeño que contiene . Sin embargo, no es un filtro (ni es un prefiltro porque no está dirigido hacia abajo, aunque sí una subbase de filtro) y es un subconjunto adecuado del filtro. Si son intervalos no vacíos, entonces las subbases de filtro generan el mismo filtro si y solo si Si es un prefiltro que satisface ^{[nota 4]} entonces, para cualquiera, la familia también es un prefiltro que satisface Esto muestra que no puede existir un prefiltro mínimo / mínimo (con respecto a ) que contenga y sea un subconjunto del sistema π generado por Esto sigue siendo cierto incluso si se elimina el requisito de que el prefiltro sea un subconjunto de ; es decir, (en marcado contraste con los filtros) no existe un prefiltro mínimo/menos (con respecto a ) que contenga la subbase del filtro. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{(-\infty ,r)\cup (r,\infty )~:~r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$ ${\displaystyle B_{r,s},}$ ${\displaystyle r{\text{ and }}s}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle B_{r,s}=(r,0)\cup (s,\infty ),}$$ ${\displaystyle B_{r,s}=B_{\min(r,s),s}}$ ${\displaystyle r\leq s.}$ ${\displaystyle r\leq s{\text{ and }}u\leq v,}$ ${\displaystyle s{\text{ or }}v}$ ${\displaystyle B_{-r,s}\cap B_{-u,v}=B_{-\min(r,u),\max(s,v)}.}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}:=\left\{B_{-r,r}:r\in R\right\}=\{(-r,0)\cup (r,\infty ):r\in R\}\quad {\text{ and }}\quad {\mathcal {B}}_{R}:=\left\{B_{-r,s}:r\leq s{\text{ with }}r,s\in R\right\}=\{(-r,0)\cup (s,\infty ):r\leq s{\text{ in }}R\}.}$$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varnothing \neq R\subseteq (0,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}=\pi \left({\mathcal {S}}_{R}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle R,S\subseteq (0,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}{\text{ and }}{\mathcal {S}}_{S}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R=S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}\setminus {\mathcal {S}}_{(0,\infty )},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\setminus \{C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\setminus \{C\}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}.}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}=\pi \left({\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\right)}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}.}$

Ultrafiltros

Existen muchas otras caracterizaciones de "ultrafiltro" y "ultra prefiltro", que se enumeran en el artículo sobre ultrafiltros . En ese artículo también se describen propiedades importantes de los ultrafiltros.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}{\textrm {Ultrafilters}}(X)\;&=\;{\textrm {Filters}}(X)\,\cap \,{\textrm {UltraPrefilters}}(X)\\&\subseteq \;{\textrm {UltraPrefilters}}(X)={\textrm {UltraFilterSubbases}}(X)\\&\subseteq \;{\textrm {Prefilters}}(X)\\\end{alignedat}}}$$

Una familia de conjuntos no vacía es/es un: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

8. Ultra ^{[7] [30]} sise cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$
   1. Para cada conjunto existe algún conjunto tal que (o equivalentemente, tal que ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq S{\text{ or }}B\subseteq X\setminus S}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing }$
   2. Para cada conjunto existe algún conjunto tal que ${\displaystyle S\subseteq \bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
      • Esta caracterización de " es ultra" no depende del conjunto, por lo que mencionar el conjunto es opcional cuando se utiliza el término "ultra". ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
   3. Para cada conjunto (no necesariamente ni siquiera un subconjunto de ) existe algún conjunto tal que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
      • Si satisface esta condición, también lo hace cada superconjunto. Por ejemplo, si es cualquier conjunto singleton, entonces es ultra y, en consecuencia, cualquier superconjunto no degenerado de (como su cierre hacia arriba) también es ultra. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\supseteq {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{T\}}$ ${\displaystyle \{T\}}$
9. Prefiltro ultra ^{[7] [30]} si es un prefiltro que también es ultra. De manera equivalente, es una subbase de filtro ultra. Un prefiltro es ultra si y sólo si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es máximo en con respecto a lo que significa que ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Prefilters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
   2. ${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$
      • Aunque esta afirmación es idéntica a la que se proporciona a continuación para los ultrafiltros, aquí simplemente se supone que se trata de un prefiltro; No tiene por qué ser un filtro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$es ultra (y por lo tanto un ultrafiltro).
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es equivalente (con respecto a ) a algún ultrafiltro. ${\displaystyle \leq }$
   • Una subbase de filtro ultra es necesariamente un prefiltro. Una subbase de filtro es ultra si y sólo si es una subbase de filtro máxima con respecto a (como arriba). ^[17] ${\displaystyle \,\leq \,}$
10. Ultrafiltro en ${\displaystyle X}$^{[7] [30]} si es un filtroque es ultra. De manera equivalente, un ultrafiltro encendidoes un filtroque satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$
    1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es generado por un ultra prefiltro.
    2. Para cualquier ^[17] ${\displaystyle S\subseteq X,S\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}X\setminus S\in {\mathcal {B}}.}$
    3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup (X\setminus {\mathcal {B}})=\wp (X).}$Esta condición se puede reformular como: está dividida por y su dual ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}.}$
       • Los conjuntos son disjuntos siempre que hay un prefiltro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}X\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
    4. ${\displaystyle \wp (X)\setminus {\mathcal {B}}=\{S\in \wp (X):S\not \in {\mathcal {B}}\}}$es un ideal. ^[17]
    5. Para cualquier si entonces ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S=X}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}.}$
    6. Para cualquier if then (un filtro con esta propiedad se llama filtro principal ). ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}}$
       • Esta propiedad se extiende a cualquier unión finita de dos o más conjuntos.
    7. Para cualquiera si entonces tampoco ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}R\cap S=\varnothing }$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}.}$
    8. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un filtro máximo activado ; lo que significa que si es un filtro tal que entonces necesariamente (esta igualdad puede ser reemplazada por ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}{\text{ or by }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}}$
       • Si está cerrado hacia arriba, entonces esta caracterización de los ultrafiltros como filtros máximos se puede reformular como: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}.}$ $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
       • Debido a que la subordinación es para los filtros el análogo de "es una subred/subsecuencia de" (específicamente, "subred" debería significar "subred AA", que se define a continuación), esta caracterización de un ultrafiltro como un "filtro máximamente subordinado" sugiere que un ultrafiltro puede interpretarse como análogo a algún tipo de "red de máxima profundidad" (lo que podría, por ejemplo, significar que "cuando se ve sólo desde " en algún sentido, es indistinguible de sus subredes, como es el caso de cualquier valor neto en un conjunto singleton, por ejemplo), ^{[nota 5]} que es una idea que en realidad las ultranets hacen rigurosa . El lema del ultrafiltro es entonces la afirmación de que cada filtro ("red") tiene algún filtro subordinado ("subred") que es "máximamente subordinado" ("máximamente profundo"). ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle X}$

Cualquier familia no degenerada que tenga un conjunto singleton como elemento es ultra, en cuyo caso será un prefiltro ultra si y sólo si también tiene la propiedad de intersección finita. El filtro trivial es ultra si y sólo si es un conjunto singleton. ${\displaystyle \{X\}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle X}$

El lema del ultrafiltro

El siguiente teorema importante se debe a Alfred Tarski (1930). ^[31]

El lema/principal/teorema del ultrafiltro ^[10]  ( Tarski )  :  cada filtro de un conjuntoes un subconjunto de algún ultrafiltro en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Una consecuencia del lema de los ultrafiltros es que cada filtro es igual a la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen. ^{[10] [prueba 1]} Asumiendo los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) , el lema del ultrafiltro se deriva del axioma de elección (en particular del lema de Zorn ) pero es estrictamente más débil que éste. El lema del ultrafiltro implica el axioma de elección para conjuntos finitos. Si solo se trata de espacios de Hausdorff , entonces la mayoría de los resultados básicos (como los que se encuentran en los cursos introductorios) en Topología (como el teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff y el teorema de la subbase de Alexander ) y en análisis funcional (como el teorema de Hahn-Banach ) pueden ser probado utilizando sólo el lema del ultrafiltro; podría no ser necesaria toda la fuerza del axioma de elección.

granos

El núcleo es útil para clasificar propiedades de prefiltros y otras familias de conjuntos.

El núcleo ^[5] de una familia de conjuntos es la intersección de todos los conjuntos que son elementos de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$ $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$

Si entonces por cualquier punto ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle x,x\not \in \ker {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}X\setminus \{x\}\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$

Propiedades de los granos

Si entonces y este conjunto también es igual al núcleo del sistema π generado por En particular, si es una subbase de filtro, entonces los núcleos de todos los siguientes conjuntos son iguales: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \ker \left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right)=\ker {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(1) (2) el sistema π generado por y (3) el filtro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Si es un mapa, entonces y Si , entonces, mientras que si y son equivalentes, entonces las familias equivalentes tienen núcleos iguales. Dos familias principales son equivalentes si y sólo si sus núcleos son iguales; es decir, si y son principales entonces son equivalentes si y sólo si ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\ker {\mathcal {B}})\subseteq \ker f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f^{-1}(\ker {\mathcal {B}})=\ker f^{-1}({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {C}}\subseteq \ker {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}.}$

Clasificar familias por sus núcleos.

Una familia de conjuntos es: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

2. Gratis ^[6]sio equivalentemente, siesto puede reformularse como ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\subseteq {\mathcal {B}}^{\uparrow X};}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Un filtro on es libre si y sólo si es infinito y contiene el filtro Fréchet on como subconjunto. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$
3. Fijo sien cuyo casose dice que estáfijo porcualquier punto ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in \ker {\mathcal {B}}.}$
   • Cualquier familia fija es necesariamente una subbase filtrante.
4. Principal ^[6]si ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.}$
   • Una familia principal adecuada de conjuntos es necesariamente un prefiltro.
5. Discreto oPrincipal en ^[25]sien cuyo casose llama su ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}=\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle x}$elemento principal .
   • El filtro principal en on ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ es el filtro Un filtro es principal en si y solo si ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{x\}^{\uparrow X}.}$
6. Contablemente profundo si siempre es un subconjunto contable, entonces ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {C}}\in {\mathcal {B}}.}$

Si hay un filtro principal activado entonces y dónde también está el prefiltro más pequeño que genera ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\ker {\mathcal {B}}\}^{\uparrow X}=\{S\cup \ker {\mathcal {B}}:S\subseteq X\setminus \ker {\mathcal {B}}\}=\wp (X\setminus \ker {\mathcal {B}})\,(\cup )\,\{\ker {\mathcal {B}}\}}$$ ${\displaystyle \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Familia de ejemplos: Para cualquier no vacía la familia es libre pero es una subbase de filtro si y solo si no hay unión finita del formulario covers en cuyo caso el filtro que genere también será libre. En particular, es una subbase de filtro si es contable (por ejemplo, los números primos), un conjunto exiguo en un conjunto de medida finita o un subconjunto acotado de Si es un conjunto singleton, entonces es una subbase para el filtro de Fréchet en ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}=\{\mathbb {R} \setminus (r+C)~:~r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \left(r_{1}+C\right)\cup \cdots \cup \left(r_{n}+C\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Para cada filtro existe un par único de ideales duales tales que es libre, es principal y no se entrelazan (es decir, ). El ideal dual se llama parte libre mientras que se llama parte principal ^[9] donde al menos uno de estos ideales duales es filtro. Si es principal , entonces es lo contrario y es un filtro libre (no degenerado). ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{\bullet }{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}\wedge {\mathcal {F}}^{\bullet }={\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}\vee {\mathcal {F}}^{\bullet }=\wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }:={\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{*}:=\wp (X);}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }:=\{\ker {\mathcal {F}}\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}:={\mathcal {F}}\vee \{X\setminus \left(\ker {\mathcal {F}}\right)\}^{\uparrow X}}$

Prefiltros finitos y conjuntos finitos.

Si una subbase de filtro es finita entonces es fija (es decir, no libre); esto se debe a que es una intersección finita y la subbase del filtro tiene la propiedad de intersección finita. Un prefiltro finito es necesariamente principal, aunque no tiene por qué estar cerrado bajo intersecciones finitas. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Si es finito, entonces todas las conclusiones anteriores son válidas para cualquier En particular, en un conjunto finito no hay subbases de filtro libres (y por lo tanto no hay prefiltros libres), todos los prefiltros son principales y todos los filtros son filtros principales generados por sus (no –vacío) granos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

El filtro trivial es siempre un filtro finito y si es infinito entonces es el único filtro finito porque un filtro finito no trivial en un conjunto es posible si y sólo si es finito. Sin embargo, en cualquier conjunto infinito existen subbases de filtro y prefiltros no triviales que son finitos (aunque no pueden ser filtros). Si es un conjunto singleton, entonces el filtro trivial es el único subconjunto adecuado y, además, este conjunto es un ultra prefiltro principal y cualquier superconjunto (donde ) con la propiedad de intersección finita también será un ultra prefiltro principal (incluso si es infinito). ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\supseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (Y){\text{ and }}X\subseteq Y}$ ${\displaystyle Y}$

Caracterización de ultraprefiltros fijos

Si una familia de conjuntos es fija (es decir, ), entonces es ultra si y solo si algún elemento de es un conjunto singleton, en cuyo caso necesariamente será un prefiltro. Cada prefiltro principal es fijo, por lo que un prefiltro principal es ultra si y solo si es un conjunto singleton. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}}$

Todo filtro que es principal en un solo punto es un ultrafiltro, y si además es finito, entonces no hay ultrafiltros más que estos. ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El siguiente teorema muestra que cada ultrafiltro cae en una de dos categorías: o es libre o es un filtro principal generado por un solo punto.

Proposición  :  si hay un ultrafiltro activado , lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es fijo, o equivalentemente, no libre, es decir ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es principal, es decir ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\in {\mathcal {F}}.}$
3. Algún elemento de es un conjunto finito. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
4. Algún elemento de es un conjunto singleton. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es principal en algún punto de lo que significa para algunos ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\{x\}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$no contiene el filtro Fréchet en ${\displaystyle X.}$
7. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es secuencial. ^[9]

Más fino/más grueso, subordinación y mallado

El preorden que se define a continuación es de fundamental importancia para el uso de prefiltros (y filtros) en topología. Por ejemplo, este preorden se utiliza para definir el equivalente de prefiltro de "subsecuencia", ^[24] donde " " puede interpretarse como " es una subsecuencia de " (por lo que "subordinado a" es el equivalente de prefiltro de "subsecuencia de"). También se utiliza para definir la convergencia del prefiltro en un espacio topológico. La definición de mallas con la que está estrechamente relacionada con el preorden se utiliza en Topología para definir puntos de cluster . ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle \,\leq ,}$

Dos familias de conjuntos ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ malla ^[7]y soncompatibles, indicado escribiendosiSino mallan entonces estándisociados. Sientoncesse dice queengranansiengranan, o equivalentemente, si el ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}\{S\}}$rastro decuál es la familia no contiene el conjunto vacío, donde el rastro también se llama ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$restricción de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ to }}S.}$

Declarar que lo indicado es más grueso que y más fino que (o subordinado a ) ^{[10] [11] [12] [8] [9]} si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$

1. Definición: Cada contiene algo Explícitamente, esto significa que para cada hay algo tal que ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\subseteq C.}$
   • Dicho más brevemente en un lenguaje sencillo, si cada conjunto es mayor que algún conjunto aquí, un "conjunto más grande" significa un superconjunto. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
2. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for every }}C\in {\mathcal {C}}.}$
   • En palabras, estados exactamente que son mayores que algunos conjuntos en La equivalencia de (a) y (b) se sigue inmediatamente. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • De esta caracterización se deduce que si son familias de conjuntos, entonces ${\displaystyle \left({\mathcal {C}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{\mathcal {C}}_{i}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {C}}_{i}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for all }}i\in I.}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$que es equivalente a ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}}$;
5. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$que es equivalente a ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$

y si además está cerrado hacia arriba, lo que significa que entonces esta lista se puede ampliar para incluir: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$

6. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}.}$^[5]
   • Entonces, en este caso, esta definición de " es más fino que " sería idéntica a la definición topológica de "más fino" si hubieran existido topologías en ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$

Si una familia cerrada hacia arriba es más fina que (es decir, ) pero luego se dice que es estrictamente más fina que y estrictamente más burda que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Dos familias son comparables si uno de estos conjuntos es más fino que el otro. ^[10]

Ejemplo : Si es una subsecuencia de entonces está subordinada a en símbolos: y también En lenguaje sencillo, el prefiltro de colas de una subsecuencia siempre está subordinado al de la secuencia original. Para ver esto, sea arbitrario (o equivalentemente, sea arbitrario) y queda por demostrar que este conjunto contiene algo. Para que el conjunto lo contenga es suficiente tener Dado que son números enteros estrictamente crecientes, existe tal que y así se cumple, como deseado. En consecuencia, el lado izquierdo será un subconjunto estricto/adecuado del lado derecho si (por ejemplo) cada punto de es único (es decir, cuando es inyectivo) y es la subsecuencia indexada par porque, en estas condiciones, cada cola (para cada ) de la subsecuencia pertenecerá al filtro del lado derecho pero no al filtro del lado izquierdo. ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}=\left(x_{i_{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right);}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)\vdash \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle C:=x_{\geq i}\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F:=x_{i_{\geq n}}\in \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\geq i}=\left\{x_{i},x_{i+1},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{i_{n}},x_{i_{n+1}},\ldots \right\},}$ ${\displaystyle i\leq i_{n}.}$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i_{n}\geq i,}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\supseteq x_{i_{\geq n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}}$ ${\displaystyle \left(x_{2},x_{4},x_{6},\ldots \right)}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Por otro ejemplo, si hay alguna familia, siempre se mantiene y, además, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}\leq \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\leq {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}\varnothing \in {\mathcal {B}}.}$

Supongamos que son familias de conjuntos que satisfacen Then y y también Si además de hay una subbase de filtro y luego hay una subbase de filtro ^[8] y también una malla. ^{[19] [prueba 2]} De manera más general, si ambos y si la intersección de dos elementos cualesquiera de no está vacía, entonces se malla. ^{[prueba 2]} Cada subbase de filtro es más basta que tanto el sistema π que genera como el filtro que genera. ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\subseteq \ker {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq \varnothing {\text{ implies }}{\mathcal {F}}\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {C}}{\text{ implies }}\varnothing \in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ and }}\varnothing \neq {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

Si son familias tales que la familia es ultra, entonces necesariamente es ultra. De ello se deduce que cualquier familia que sea equivalente a una familia ultra será necesariamente ultra . En particular, si es un prefiltro, entonces ambos y el filtro que genera son ultra o ninguno es ultra. Si una subbase filtrante es ultra entonces necesariamente es un prefiltro, en cuyo caso el filtro que genera también será ultra. Una subbase de filtro que no sea prefiltro no puede ser ultra; pero aún así es posible que el prefiltro y el filtro generados por sean ultra. Si está cerrado hacia arriba, entonces ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\not \in {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}(X\setminus S)\#{\mathcal {B}}.}$

Propiedades relacionales de la subordinación.

La relación es reflexiva y transitiva , lo que la convierte en un preorden en ^[32] La relación es antisimétrica pero si tiene más de un punto entonces no es simétrica . ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle \,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$

Simetría : Para cualquier Entonces el conjunto tiene más de un punto si y sólo si la relación no es simétrica . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),{\mathcal {B}}\leq \{X\}{\text{ if and only if }}\{X\}={\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)}$

Antisimetría : si, pero aunque lo contrario no se cumple en general, sí se cumple si está cerrado hacia arriba (como si fuera un filtro). Dos filtros son equivalentes si y solo si son iguales, lo que hace que la restricción sea antisimétrica . Pero en general, no es antisimétrico ni hacia ni hacia ; es decir, no implica necesariamente ; ni siquiera si ambos son prefiltros. ^[12] Por ejemplo, si es un prefiltro pero no un filtro, entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}{\text{ then }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}^{\uparrow X}{\text{ and }}{\mathcal {B}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {B}}{\text{ but }}{\mathcal {B}}\neq {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$

Familias equivalentes de conjuntos

El preorden induce su relación de equivalencia canónica en donde para todos es equivalente a si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[8] [5]} ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}.}$
2. Los cierres alcistas de son iguales. ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$

Dos subconjuntos cerrados hacia arriba (en ) de son equivalentes si y sólo si son iguales. ^[8] Si entonces necesariamente y es equivalente a Cada clase de equivalencia distinta de contiene un representante único (es decir, elemento de la clase de equivalencia) que está cerrado hacia arriba en ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$

Propiedades preservadas entre familias equivalentes

Sea arbitrario y sea cualquier familia de conjuntos. Si son equivalentes (lo que implica que ), entonces para cada una de las afirmaciones/propiedades enumeradas a continuación, o es verdadera para ambas o es falsa para ambas : ^[32] ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

1. No vacío
2. Adecuado (es decir, no es un elemento) ${\displaystyle \varnothing }$
   • Además, dos familias degeneradas cualesquiera son necesariamente equivalentes.
3. Subbase de filtro
4. Prefiltro
   • En cuyo caso genera el mismo filtro en (es decir, sus cierres ascendentes en son iguales). ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
5. Gratis
6. Principal
7. Ultra
8. Es igual al filtro trivial. ${\displaystyle \{X\}}$
   • En palabras, esto significa que el único subconjunto equivalente al filtro trivial es el filtro trivial. En general, esta conclusión de igualdad no se extiende a filtros no triviales (una excepción es cuando ambas familias son filtros). ${\displaystyle \wp (X)}$
9. Mallas con ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
10. es mejor que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
11. es más tosco que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
12. Es equivalente a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

En la lista anterior falta la palabra "filtro" porque esta propiedad no se conserva por equivalencia. Sin embargo, si hay filtros activados , son equivalentes si y sólo si son iguales; esta caracterización no se extiende a los prefiltros. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X,}$

Equivalencia de prefiltros y subbases de filtro

Si hay un prefiltro activado , las siguientes familias siempre son equivalentes entre sí: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$;
2. el π –sistema generado por ; ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. el filtro generado por ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

y además, estas tres familias generan el mismo filtro (es decir, los cierres ascendentes de estas familias son iguales). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En particular, cada prefiltro es equivalente al filtro que genera. Por transitividad, dos prefiltros son equivalentes si y sólo si generan el mismo filtro. ^{[8] [prueba 3]} Cada prefiltro equivale exactamente a un filtro sobre el cual está el filtro que genera (es decir, el cierre hacia arriba del prefiltro). Dicho de otra manera, cada clase de equivalencia de prefiltros contiene exactamente un representante que es un filtro. De esta manera, los filtros pueden considerarse simplemente elementos diferenciados de estas clases de equivalencia de prefiltros. ^[8] ${\displaystyle X,}$

Una subbase de filtro que no sea también prefiltro no puede ser equivalente al prefiltro (o filtro) que genera. En cambio, cada prefiltro equivale al filtro que genera. Esta es la razón por la que los prefiltros pueden, en general, usarse indistintamente con los filtros que generan, mientras que las subbases de filtro no pueden. Cada filtro es a la vez un sistema π y un anillo de conjuntos .

Ejemplos de determinación de equivalencia/no equivalencia

Ejemplos: Sea y sea el conjunto de números enteros (o el conjunto ). Definir los conjuntos ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{[e,\infty )~:~e\in E\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }=\{(-\infty ,e)\cup (1+e,\infty )~:~e\in E\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }=\{(-\infty ,e]\cup [1+e,\infty )~:~e\in E\}.}$$

Los tres conjuntos son subbases de filtro, pero ninguno es filtro y solo es prefiltro (de hecho, es incluso libre y cerrado bajo intersecciones finitas). El conjunto es fijo mientras esté libre (a menos que ). Satisfacen pero no hay dos de estas familias que sean equivalentes; además, no hay dos filtros generados por estas tres subbases de filtro que sean equivalentes/iguales. Se puede llegar a esta conclusión demostrando que los sistemas π que generan no son equivalentes. A diferencia de cada conjunto en el sistema π generado por contiene como un subconjunto, ^{[nota 6] que es lo que evita que sus sistemas} π generados (y por lo tanto sus filtros generados) sean equivalentes. Si fuera así , entonces las tres familias serían libres y, aunque los conjuntos no serían equivalentes entre sí, sus sistemas π generados serían equivalentes y, en consecuencia, generarían el mismo filtro en ; sin embargo, este filtro común seguiría siendo estrictamente más burdo que el filtro generado por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }}$ ${\displaystyle E=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }\leq {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }\leq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} },}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\text{ or }}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }{\text{ and }}{\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Establecer propiedades y construcciones teóricas.

Trazar y mallar

Si hay un prefiltro (resp. filtro) entonces el rastro del cual es la familia es un prefiltro (resp. un filtro) si y solo si malla (es decir, ^[10] ), en cuyo caso se dice que el rastro de ser inducido por . Si es ultra y si es malla, entonces la traza es ultra. Si hay un ultrafiltro activado, entonces el rastro de es un filtro activado si y sólo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:={\mathcal {B}}(\cap )\{S\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap )\{S\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}.}$

Por ejemplo, supongamos que hay un filtro tal que Luego se malla y genera un filtro que es estrictamente más fino que ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\neq X{\text{ and }}X\setminus S\not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{S\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Cuando los prefiltros engranan

Dadas familias no vacías, la familia satisface y Si es adecuada (resp. un prefiltro, una subbase de filtro), entonces esto también es cierto para ambas. Para poder hacer deducciones significativas sobre las necesidades, debe ser adecuada (es decir, cuál es la motivación). para la definición de "malla". En este caso, es un prefiltro (resp. subbase de filtro) si y solo si esto es cierto para ambos. Dicho de otra manera, si son prefiltros, entonces se mallan si y solo si es un prefiltro. caracterización bien conocida de "malla" enteramente en términos de subordinación (es decir, ): ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}:=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},{\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

     Dos prefiltros (resp. subbases de filtro) se engranan si y solo si existe un prefiltro (resp. subbase de filtro) tal que y ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Si el límite superior mínimo de dos filtros existe, entonces este límite superior mínimo es igual a ^[28] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$

Imágenes y preimágenes bajo funciones.

En todo momento, habrá mapas entre conjuntos no vacíos. ${\displaystyle f:X\to Y{\text{ and }}g:Y\to Z}$

Imágenes de prefiltros

Muchas de las propiedades que pueda tener se conservan bajo imágenes de mapas; Las excepciones notables incluyen estar cerrado hacia arriba, estar cerrado bajo intersecciones finitas y ser un filtro, que no necesariamente se conservan. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Explícitamente, si una de las siguientes propiedades es verdadera, necesariamente también lo será (aunque posiblemente no en el codominio a menos que sea sobreyectiva): ^{[10] [13] [33] [34] [35] [31]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ on }}g(Y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$

• Propiedades del filtro: ultra, ultrafiltro, filtro, prefiltro, subbase de filtro, ideal dual, cerrado hacia arriba, propio/no degenerado.
• Propiedades ideales: ideal, cerrado bajo uniones finitas, cerrado hacia abajo, dirigido hacia arriba.

Además, si es un prefiltro, entonces también lo son ambos ^[10] La imagen debajo de un mapa de un conjunto ultra es nuevamente ultra y si es un ultra prefiltro, entonces también lo es. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y)}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ and }}g^{-1}(g({\mathcal {B}})).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}).}$

Si es un filtro, entonces es un filtro en el rango pero es un filtro en el codominio si y sólo si es sobreyectivo. ^[33] En caso contrario es sólo un prefiltro puesto y se debe sacar su cierre hacia arriba para obtener un filtro. El cierre hacia arriba de es donde si está cerrado hacia arriba (es decir, un filtro), entonces esto se simplifica a: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle g(Y),}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ in }}Z}$ $${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~B\subseteq g^{-1}(S){\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~g^{-1}(S)\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$

Si luego se toma como mapa de inclusión, se muestra que cualquier prefiltro (resp. ultra prefiltro, subbase de filtro) también es un prefiltro (resp. ultra prefiltro, subbase de filtro) en ^[10] ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Preimágenes de prefiltros

Dejemos que bajo el supuesto de que sea sobreyectivo : ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$es un prefiltro (resp. subbase de filtro, sistema π , cerrado bajo uniones finitas, propio) si y sólo si esto es cierto para ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Sin embargo, si hay un ultrafiltro activado, incluso si es sobreyectivo (lo que constituiría un prefiltro), aún es posible que el prefiltro no sea ni ultra ni un filtro activado ^[34] (consulte esta ^{[nota 7]} nota al pie para ver un ejemplo ). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X}$ 

Si no es sobreyectivo entonces denota la traza de por donde en este caso particular la traza satisface: y en consecuencia también: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}f(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}=f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right)}$$ $${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}\left({\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}\right).}$$

Esta última igualdad y el hecho de que la traza sea una familia de conjuntos significa que para sacar conclusiones sobre la traza se puede utilizar en lugar de y la sobreyección se puede utilizar en lugar de Por ejemplo: ^{[13] [10] [35]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$es un prefiltro (resp. subbase de filtro, sistema π , propio) si y sólo si esto es cierto para ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}.}$

De esta manera, el caso en el que no es (necesariamente) sobreyectiva se puede reducir al caso de una función sobreyectiva (que es un caso que se describió al comienzo de esta subsección). ${\displaystyle f}$

Incluso si hay un ultrafiltro activado si no es sobreyectivo, es posible que eso también degenere . La siguiente caracterización muestra que la degeneración es el único obstáculo. Si es un prefiltro entonces los siguientes son equivalentes: ^{[13] [10] [35]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$es un prefiltro;
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$es un prefiltro;
3. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$;
4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$encaja con ${\displaystyle f(X)}$

y además, si es un prefiltro entonces también lo es ^{[13] [10]} ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right).}$

Si y si denota el mapa de inclusión, entonces la traza de es igual a ^[10] Esta observación permite que los resultados de esta subsección se apliquen a la investigación de la traza en un conjunto. ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :S\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle \operatorname {In} ^{-1}({\mathcal {B}}).}$

Biyecciones, inyecciones y sobreyecciones.

Todas las propiedades que involucran filtros se conservan bajo biyecciones. Esto significa que si es una biyección, entonces es un prefiltro (resp. ultra, ultra prefiltro, filtro sobre ultrafiltro sobre subbase de filtro, sistema π , ideal, etc.) si y solo si lo mismo es cierto para ^[34] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y){\text{ and }}g:Y\to Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ on }}Z.}$

Un mapa es inyectivo si y sólo si para todos los prefiltros es equivalente a ^[28] La imagen de una familia ultra de conjuntos bajo una inyección es nuevamente ultra. ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g^{-1}(g({\mathcal {B}})).}$

El mapa es una sobreyección si y solo si siempre hay un prefiltro activado, entonces ocurre lo mismo (este resultado no requiere el lema del ultrafiltro). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}){\text{ on }}X}$

La subordinación se preserva mediante imágenes y preimágenes.

La relación se conserva tanto en imágenes como en preimágenes de familias de conjuntos. ^[10] Esto significa que para cualquier familia ^[35] ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}\quad {\text{ implies }}\quad g({\mathcal {C}})\leq g({\mathcal {F}})\quad {\text{ and }}\quad f^{-1}({\mathcal {C}})\leq f^{-1}({\mathcal {F}}).}$$

Además, las siguientes relaciones siempre se cumplen para cualquier familia de conjuntos : ^[35] donde la igualdad se cumplirá si es sobreyectiva. ^[35] Además, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {C}})=f^{-1}\left(f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)\right)\quad {\text{ and }}\quad g({\mathcal {C}})=g\left(g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\right).}$$

Si entonces ^[9] y ^[35] donde la igualdad se cumplirá si es inyectiva. ^[35] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {C}}\subseteq \wp (Y)}$ $${\displaystyle f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}\quad {\text{ if and only if }}\quad {\mathcal {B}}\leq f^{-1}({\mathcal {C}})}$$ ${\displaystyle g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g}$

Productos de prefiltros

Supongamos que es una familia de uno o más conjuntos no vacíos, cuyo producto se denotará por y para cada índice, denotaremos la proyección canónica. Sean familias no vacías, también indexadas por tal que para cada una El producto de las familias ^[10] se define de manera idéntica a cómo se definen los subconjuntos abiertos básicos de la topología del producto (si todos estos hubieran sido topologías). Es decir, ambas notaciones denotan la familia de todos los subconjuntos de cilindros tales que para todos menos un número finito y donde para cualquiera de estas excepciones finitas (es decir, para cualquiera que necesariamente ). Cuando cada es una subbase de filtro, entonces la familia es una subbase de filtro para el filtro generado por ^[10] Si es una subbase de filtro, entonces el filtro que genera se llama filtro generado por . ^[10] Si cada es un prefiltro activado, entonces será un prefiltro activado y, además, este prefiltro es igual al prefiltro más grueso, de modo que para cada ^[10] Sin embargo, puede no ser un filtro activado incluso si cada es un filtro activado ^{[ 10]} ${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i},}$ ${\displaystyle i\in I,}$ $${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }:=\left({\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\subseteq \wp \left(X_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ $${\displaystyle \prod _{}{\mathcal {B}}_{\bullet }=\prod _{i\in I}{\mathcal {B}}_{i}}$$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}\subseteq \prod _{}X_{\bullet }}$ ${\displaystyle S_{i}=X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S_{i}\neq X_{i},}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\Pr {}_{X_{i}}^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }.}$ ${\displaystyle \prod {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \prod {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}\prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle \prod {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

Establecer resta y algunos ejemplos.

Establecer restando un subconjunto del kernel

Si hay un prefiltro activado, entonces es un prefiltro, donde este último conjunto es un filtro si y sólo si es un filtro y, en particular, si es una base de vecindad en un punto en un espacio topológico que tiene al menos 2 puntos, entonces es un prefiltro. on Esta construcción se utiliza para definir en términos de convergencia de prefiltro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,S\subseteq \ker {\mathcal {B}},{\text{ and }}S\not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{B\setminus S~:~B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S=\varnothing .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{B\setminus \{x\}~:~B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\neq x_{0}}}f(x)\to y}$

Usando la dualidad entre ideales e ideales duales

Hay una relación dual o que se define en el sentido de que cada está contenido en algún Explícitamente, esto significa que para cada , hay algo tal que Esta relación es dual en el sentido de que si y solo si ^[5] La relación está estrechamente relacionada al cierre descendente de una familia de manera similar a como se relaciona con la familia de cierre ascendente. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\vartriangleright {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B\subseteq C.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (X\setminus {\mathcal {B}})\leq (X\setminus {\mathcal {C}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Para un ejemplo que usa esta dualidad, supongamos que hay un mapa y Define que contiene el conjunto vacío si y solo si lo contiene. Es posible que sea un ultrafiltro y que esté vacío o no cerrado en intersecciones finitas (ver nota al pie, por ejemplo). ^{[nota 8]} Aunque no conserva muy bien las propiedades de los filtros, si está cerrado hacia abajo (resp. cerrado bajo uniones finitas, un ideal), entonces esto también será cierto para El uso de la dualidad entre ideales e ideales duales permite una construcción del siguiente filtro. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Xi \subseteq \wp (Y).}$ $${\displaystyle \Xi _{f}:=\{I\subseteq X~:~f(I)\in \Xi \}}$$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle \Xi _{f}}$ ${\displaystyle \Xi _{f}}$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle \Xi _{f}.}$

     Supongamos que hay un filtro activado y sea su dual in. Si entonces el dual será un filtro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Xi :=Y\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X\not \in \Xi _{f}}$ ${\displaystyle \Xi _{f}}$ ${\displaystyle X\setminus \Xi _{f}}$

Otros ejemplos

Ejemplo: el conjunto de todos los subconjuntos abiertos densos de un espacio topológico es un sistema π adecuado y un prefiltro. Si el espacio es un espacio de Baire , entonces el conjunto de todas las intersecciones contables de subconjuntos abiertos densos es un sistema π y un prefiltro que es más fino que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Ejemplo: La familia de todos los conjuntos abiertos densos que tienen medida de Lebesgue finita es un sistema π adecuado y un prefiltro libre. El prefiltro está contenido propiamente, y no es equivalente, al prefiltro que consta de todos los subconjuntos abiertos densos de Dado que es un espacio de Baire , cada intersección contable de conjuntos de es denso (y también es grande y no escaso), por lo que el conjunto de todos intersecciones contables de elementos de es un prefiltro y π –sistema; también es mejor que, y no equivalente, ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }.}$

Filtros y redes

Esta sección describirá las relaciones entre los prefiltros y las redes con gran detalle debido a la importancia que estos detalles tienen al aplicar filtros a la topología , particularmente al cambiar de la utilización de redes a la utilización de filtros y viceversa, y porque facilita la comprensión posterior de por qué las subredes. (con sus definiciones más utilizadas) generalmente no son equivalentes a "subprefiltros".

Redes para prefiltros

Una red está canónicamente asociada con su prefiltro de colas. Si es un mapa y es una red en entonces ^[36] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(f\left(x_{\bullet }\right)\right)=f\left(\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\right).}$

Prefiltros para redes

Un conjunto puntiagudo es un par que consta de un conjunto no vacío y un elemento. Para cualquier familia, sea ${\displaystyle (S,s)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ $${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}):=\left\{(B,b)~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}b\in B\right\}.}$$

Defina un pedido anticipado canónico en conjuntos puntiagudos declarando ${\displaystyle \,\leq \,}$ $${\displaystyle (R,r)\leq (S,s)\quad {\text{ if and only if }}\quad R\supseteq S.}$$

Incluso si es así, este preorden no es antisimétrico y, dada cualquier familia de conjuntos, está parcialmente ordenada si y solo si consta enteramente de conjuntos únicos. Si es un elemento máximo de ; además, todos los elementos maximales tienen esta forma. Si es un elemento mayor si y sólo si, en cuyo caso es el conjunto de todos los elementos mayores. Sin embargo, un elemento mayor es un elemento máximo si y sólo si hay como máximo un elemento que es a la vez máximo y mayor. Hay un mapa canónico definido por ${\displaystyle s_{0},s_{1}\in S{\text{ then }}\left(S,s_{0}\right)\leq \left(S,s_{1}\right){\text{ and }}\left(S,s_{1}\right)\leq \left(S,s_{0}\right)}$ ${\displaystyle s_{0}\neq s_{1},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}(\{x\},x)}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \left(B,b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ then }}\left(B,b_{0}\right)}$ ${\displaystyle B=\ker {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \{(B,b)~:~b\in B\}}$ ${\displaystyle (B,b)}$ ${\displaystyle B=\{b\}=\ker {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}~:~\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b.}$

Si entonces la cola de la tarea que comienza en es ${\displaystyle i_{0}=\left(B_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle \left\{c~:~(C,c)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ and }}\left(B_{0},b_{0}\right)\leq (C,c)\right\}=B_{0}.}$

Aunque en general no es un conjunto parcialmente ordenado, es un conjunto dirigido si (y sólo si) es un prefiltro. Entonces, la elección más inmediata para la definición de "la red inducida por un prefiltro " es la asignación desde dentro ${\displaystyle (\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X.}$

Si hay un prefiltro activado, entonces la red asociada es el mapa. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}:\;&&(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )&&\,\to \;&X\\&&(B,b)&&\,\mapsto \;&b\\\end{alignedat}}}$$

eso es, ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}(B,b):=b.}$

Si hay un prefiltro activado, es una red y el prefiltro asociado es ; es decir: ^{[nota 9]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.}$$

Esto no sería necesariamente cierto si se hubiera definido en un subconjunto adecuado de. Por ejemplo, supongamos que tiene al menos dos elementos distintos, es el filtro indiscreto y es arbitrario. En cambio, se había definido en el conjunto singleton donde la restricción de to se denotará temporalmente para entonces, el prefiltro de colas asociado sería el prefiltro principal en lugar del filtro original ; Esto significa que la igualdad es falsa , por lo que a diferencia del prefiltro no se puede recuperar. Peor aún, mientras que el filtro mínimo único en el prefiltro genera un filtro máximo (es decir, un ultrafiltro) en ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{X\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D:=\{(X,x)\},}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{D}:D\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{D}:D\to X}$ ${\displaystyle \{\,\{x\}\,\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{D}\right)={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{D}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{D}\right)=\{\{x\}\}}$ ${\displaystyle X.}$

Sin embargo, si es una red en entonces , en general no es cierto que sea igual a porque, por ejemplo, el dominio de puede tener una cardinalidad completamente diferente a la de (ya que a diferencia del dominio de una red arbitraria en podría tener alguna cardinalidad). ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)},}$ ${\displaystyle X}$

Ultranets y ultra prefiltros

Una red se llama ultranet o red universal si por cada subconjunto eventualmente está en o eventualmente está en ; Esto sucede si y sólo si es un prefiltro ultra. Un prefiltro es un ultra prefiltro si y sólo si hay una ultranet en ${\displaystyle x_{\bullet }{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Red parcialmente ordenada

El dominio de la red canónica en general no está parcialmente ordenado. Sin embargo, en 1955 Bruns y Schmidt descubrieron ^[37] una construcción que permite que la red canónica tenga un dominio parcialmente ordenado y dirigido; esto fue redescubierto de forma independiente por Albert Wilansky en 1970. ^[36] Comienza con la construcción de un orden parcial estricto (es decir, una relación transitiva e irreflexiva ) en un subconjunto de que es similar al orden lexicográfico de los órdenes parciales estrictos . en declarar que si y sólo si o equivalentemente, si y sólo si ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {B}},\supsetneq ){\text{ and }}(\mathbb {N} ,<).}$ ${\displaystyle i=(B,m,b){\text{ and }}j=(C,n,c)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X,}$ ${\displaystyle i<j}$ $${\displaystyle B\supseteq C{\text{ and either: }}{\text{(1) }}B\neq C{\text{ or else (2) }}B=C{\text{ and }}m<n,}$$ ${\displaystyle {\text{(1) }}B\supseteq C,{\text{ and (2) if }}B=C{\text{ then }}m<n.}$

El orden parcial no estricto asociado con denotado por se define declarando que Desenredar estas definiciones da la siguiente caracterización: ${\displaystyle \,<,}$ ${\displaystyle \,\leq ,}$ ${\displaystyle i\leq j\,{\text{ if and only if }}i<j{\text{ or }}i=j.}$

${\displaystyle i\leq j}$si y solo si y también ${\displaystyle {\text{(1) }}B\supseteq C,{\text{ and (2) if }}B=C{\text{ then }}m\leq n,}$ ${\displaystyle {\text{(3) if }}B=C{\text{ and }}m=n{\text{ then }}b=c,}$

lo que muestra que es solo el orden lexicográfico inducido por donde está parcialmente ordenado por igualdad ^{[nota 10]} Ambos son seriales y ninguno posee un elemento mayor o un elemento máximo ; esto sigue siendo cierto si cada uno de ellos está restringido al subconjunto de definido por donde se supondrá en adelante que está. Denota la asignación de este subconjunto por: Si entonces, como antes, la cola del comienzo en es igual a Si es un prefiltro en entonces hay una red en cuyo dominio es un conjunto parcialmente ordenado y además, ^[36] Porque las colas de son idénticos (dado que ambos son iguales al prefiltro ), normalmente no se pierde nada al suponer que el dominio de la red asociado con un prefiltro está dirigido y parcialmente ordenado. ^[36] Si el conjunto se reemplaza con números racionales positivos, entonces el orden parcial estricto también será un orden denso . ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X}$ ${\displaystyle ({\mathcal {B}},\supseteq ),\,(\mathbb {N} ,\leq ),{\text{ and }}(X,=),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,=.\,}$ ${\displaystyle \,<{\text{ and }}\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}\;&:=\;\{\,(B,m,b)\;\in \;{\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X~:~b\in B\,\},\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle i=(B,m,b)\mapsto b}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}\ :\ &&\ \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}\ &&\,\to \;&X\\[0.5ex]&&\ (B,m,b)\ &&\,\mapsto \;&b\\[0.5ex]\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle i_{0}=\left(B_{0},m_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle B_{0}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}{\text{ and }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle <}$

Filtros subordinados y subredes.

La noción de " está subordinado a " (escrita ) es para filtros y prefiltros lo que " es una subsecuencia de " es para secuencias. ^[24] Por ejemplo, if denota el conjunto de colas de y if denota el conjunto de colas de la subsecuencia (donde ) entonces (es decir, ) es verdadero pero en general es falso. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}=\left(x_{n_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)=\left\{x_{n_{\geq i}}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}}$ ${\displaystyle x_{n_{\geq i}}:=\left\{x_{n_{i}}~:~i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$

No equivalencia de subredes y filtros subordinados

Un subconjunto de un espacio reservado es ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$frecuente o cofinal ensi para cadaexiste algoSicontiene una cola deentoncesse dice que es ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle r\in R{\text{ such that }}i\leq r.}$ ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$eventualmente oeventualmente en ${\displaystyle I}$; explícitamente, esto significa que existe algo(es decir,). Un conjunto eventual no necesariamente está vacío. Un subconjunto es eventual si y sólo si su complemento no es frecuente (lo que se denomina ${\displaystyle i\in I{\text{ such that }}I_{\geq i}\subseteq R}$ ${\displaystyle j\in R{\text{ for all }}j\in I{\text{ satisfying }}i\leq j}$poco frecuente ).^[38] Un mapaentre dos conjuntos preordenados es ${\displaystyle h:A\to I}$orden – preservando si siempre ${\displaystyle a,b\in A{\text{ satisfy }}a\leq b,{\text{ then }}h(a)\leq h(b).}$

Subredes en el sentido de Willard y subredes en el sentido de Kelley son las definiciones más utilizadas de " subred ". ^[38] La primera definición de subred fue introducida por John L. Kelley en 1955. ^[38] Stephen Willard introdujo su propia variante de la definición de subred de Kelley en 1970. ^[38] Las subredes AA fueron introducidas de forma independiente por Smiley (1957) , Aarnes y Andenaes (1972) y Murdeshwar (1983); Aarnes y Andenaes estudiaron con gran detalle las subredes AA, pero no se utilizan con frecuencia. ^[38]

Sean redes. Entonces ^[38] ${\displaystyle S=S_{\bullet }~:~(A,\leq )\to X{\text{ and }}N=N_{\bullet }~:~(I,\leq )\to X}$

1. ${\displaystyle S_{\bullet }}$es unWillard: subred deo unasubred en el sentido de Willardsi existe un mapa que preserva el ordeny quees cofinal en ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle S=N\circ h{\text{ and }}h(A)}$ ${\displaystyle I.}$
2. ${\displaystyle S_{\bullet }}$es unKelley: subred deo unasubred en el sentido de Kelleysi existe un mapay siempre quefinalmente esté dentro,eventualmente estará en ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h~:~A\to I{\text{ such that }}S=N\circ h}$ ${\displaystyle E\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h^{-1}(E)}$ ${\displaystyle A.}$
3. ${\displaystyle S_{\bullet }}$es unAA–subred deo unasubred en el sentido de Aarnes y Andenaessi se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle N_{\bullet }}$
   1. ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right).}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(N_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(S_{\bullet }\right).}$
   3. Si finalmente está dentro está finalmente dentro ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I{\text{ then }}S^{-1}(N(J))}$ ${\displaystyle A.}$
   4. Para cualquier malla de subconjunto, entonces también ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}.}$
   5. Para cualquier subconjunto ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right)\leq \{R\}{\text{ then }}\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \{R\}.}$

Kelley no requirió que el mapa preservara el orden, mientras que la definición de una subred AA elimina por completo cualquier mapa entre los dominios de las dos redes y en su lugar se centra completamente en el codominio común de las redes. Cada subred Willard es una subred Kelley y ambas son subredes AA. ^[38] En particular, si es una subred Willard o una subred Kelley de entonces ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(y_{\bullet }\right).}$

• Ejemplo: Sea y sea una secuencia constante, digamos Let y entonces eso es una red en Entonces es una subred AA de porque Pero no es una subred Willard de porque no existe ningún mapa cuya imagen sea un subconjunto cofinal de Nor es una subred de Kelley de porque si es cualquier mapa entonces es un subconjunto cofinal de pero finalmente no está en ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(0\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle s_{1}=0}$ ${\displaystyle A=\{1\}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}=\left(s_{1}\right)}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\{\{0\}\}=\operatorname {Tails} \left(s_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} .}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle E:=I\setminus \{h(1)\}}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle h^{-1}(E)=\varnothing }$ ${\displaystyle A.}$

Las subredes AA tienen una caracterización definitoria que muestra inmediatamente que son totalmente intercambiables con filtros subordinados. ^{[38] [39]} Explícitamente, lo que se quiere decir es que la siguiente afirmación es cierta para las subredes AA:

     Si hay prefiltros, entonces es una subred AA de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Si "AA–subred" se reemplaza por "Willard–subred" o "Kelley–subred", la afirmación anterior se vuelve falsa . En particular, el problema es que la siguiente afirmación es en general falsa:

     Declaración falsa : si los prefiltros son tales queson una subred Kelley de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Dado que cada subred de Willard es una subred de Kelley, esta afirmación sigue siendo falsa si la palabra "subred de Kelley" se reemplaza por "subred de Willard".

• Ejemplo contrario : para todos,dejemosquesea un sistema π adecuado y dejemosque ambas familias sean prefiltros de los números naturales porqueescomo una subsecuencia es una secuencia. Entonces, idealmente,debería ser una subred de Letbe el dominio desocontiene un subconjunto cofinal que es de orden isomorfoy, en consecuencia, no contiene ni un elemento máximo ni mayor. Seaun elemento maximal y mayor de El conjunto dirigidotambién contiene un subconjunto que es de orden isomorfo(porque contieneque contiene tal subconjunto) pero ningún subconjunto puede ser cofinaldebido al elemento maximal En consecuencia, cualquier elemento que preserve el orden mapdebe ser eventualmente constante (con valor) dondeentonces es el mayor elemento del rango. Debido a esto, no puede haber un mapa que preserve el ordeny que satisfaga las condiciones requeridas paraser una subred de Willard de(porque el rango de dicho mapano puede ser cofinal en). Supongamos, en aras de la contradicción, que existe un mapatal queeventualmente está enpara todos Porqueexistetal que Para cadaporqueeventualmente está enes necesario que En particular, sientoncescuál por definición es equivalente acuál es falso. En consecuencia,no es una subred Kelley de ^[39] ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle B_{n}=\{1\}\cup \mathbb {N} _{\geq n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B_{n}~:~n\in \mathbb {N} \},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\}\}\cup {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S=\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle B=\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle I:=\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A:=\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {F}})=\{M\}\cup I,{\text{ where }}M:=(1,\{1\})}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle h(M)}$ ${\displaystyle h(M)}$ ${\displaystyle h(A).}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle h^{-1}\left(I_{\geq i}\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle h(M)\in I,}$ ${\displaystyle n,n_{0}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle h(M)=\left(n_{0},B_{n}\right){\text{ with }}n_{0}\in B_{n}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle h^{-1}\left(I_{\geq i}\right)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle h(M)\in I_{\geq i}.}$ ${\displaystyle i:=\left(n+2,B_{n+2}\right)}$ ${\displaystyle h(M)\geq i=\left(n+2,B_{n+2}\right),}$ ${\displaystyle B_{n}\subseteq B_{n+2},}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Si "subred" se define como Willard-subred o Kelley-subred, entonces las redes y los filtros no son completamente intercambiables porque existe una relación filtro-filtro subordinado que no se puede expresar en términos de una relación red-subred entre los dos. redes inducidas. En particular, el problema es que las subredes Kelley y Willard no son completamente intercambiables con filtros subordinados. Si no se utiliza la noción de "subred" o si "subred" se define como AA-subred, entonces esto deja de ser un problema y, por lo tanto, resulta correcto decir que las redes y los filtros son intercambiables. A pesar de que las subredes AA no tienen el problema que tienen las subredes Willard y Kelley, no se utilizan ni se conocen ampliamente. ^{[38] [39]}

Ver también

• Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos.
• Espacio de convergencia  : generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general.
• Filtro (matemáticas)  : en matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado
• Cuantificador de filtro
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Filtración (matemáticas)
• Filtración (teoría de la probabilidad)  : modelo de información disponible en un punto determinado de un proceso aleatorio.
• Filtración (álgebra abstracta)
• Filtro Fréchet  – filtro FrechetPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Filtro genérico  : en teoría de conjuntos, dada una colección de subconjuntos abiertos densos de un poset, un filtro que cumple con todos los conjuntos de esa colección.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ideal (teoría de conjuntos)  : familia de conjuntos no vacía que está cerrada bajo uniones y subconjuntos finitos
• Compactación de Stone-Čech # Construcción utilizando ultrafiltros  : un mapa universal desde un espacio topológico X hasta un espacio compacto de Hausdorff βX, de modo que cualquier mapa desde X hasta un espacio compacto de Hausdorff factoriza a través de βX de forma única; si X es Tychonoff, entonces X es un subespacio denso de βXPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• El teorema fundamental de los ultraproductos  – Construcción matemáticaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Ultrafiltro  : filtro máximo adecuado
• Ultrafiltro (teoría de conjuntos)  : filtro máximo adecuadoPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. De hecho, en ambos casos, aparecer a la derecha es precisamente lo que hace "mayor", porque si están relacionados por alguna relación binaria (es decir , ), entonces se dice que cualquiera que aparezca a la derecha es mayor o igual al que aparece a la derecha. que aparece a la izquierda con respecto a (o menos detalladamente, " –mayor o igual a"). ${\displaystyle \,\supseteq {\text{ and }}\subseteq ,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle A\preceq B{\text{ or }}B\preceq A}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle \,\preceq }$
2. De manera más general, para cualquier número real que satisfaga dónde ${\displaystyle r\leq s{\text{ and }}u\leq v,B_{r,s}\cap B_{u,v}=B_{m,\max(s,v)}}$ ${\displaystyle m:=\min(s,v,\max(r,u)).}$
3. Si esta propiedad y el hecho de que no está vacía y es adecuada si y solo si realmente permite la construcción de aún más ejemplos de prefiltros, porque si hay algún prefiltro (resp. subbase de filtro, π –sistema), entonces también lo es ${\displaystyle R,S\subseteq \mathbb {R} {\text{ then }}{\mathcal {B}}_{R}\cap {\mathcal {B}}_{S}={\mathcal {B}}_{R\cap S}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}}$ ${\displaystyle R\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \wp (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}_{S}:S\in {\mathcal {S}}\right\}.}$
4. Se puede demostrar que si alguna familia es tal que entonces es un prefiltro si y solo si para todo real existe real tal que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle 0<r\leq s}$ ${\displaystyle 0<u\leq v}$ ${\displaystyle u\leq r\leq s\leq v{\text{ and }}B_{-u,v}\in {\mathcal {C}}.}$
5. Por ejemplo, un sentido en el que una red podría interpretarse como "máximamente profunda" es si todas las propiedades importantes relacionadas (como la convergencia, por ejemplo) de cualquier subred están completamente determinadas por en todas las topologías de En este caso y su subred. se vuelven efectivamente indistinguibles (al menos topológicamente) si la información que uno tiene sobre ellos se limita solo a aquello que puede describirse únicamente en términos de conjuntos directamente relacionados (como sus subconjuntos). ${\displaystyle u_{\bullet }{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle u_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$
6. El sistema π generado por (resp. por ) es un prefiltro cuyos elementos son uniones finitas de intervalos abiertos (resp. cerrados) que tienen puntos finales y dos de estos intervalos tienen las formas (resp. ) donde ; en el caso de es posible que uno o más de estos intervalos cerrados sean conjuntos singleton (es decir, intervalos cerrados degenerados). ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }}$ ${\displaystyle E\cup \{-\infty ,\infty \}}$ ${\displaystyle (-\infty ,e_{1}){\text{ and }}(e_{2},\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,e_{1}]{\text{ and }}[e_{2},\infty )}$ ${\displaystyle e_{1}\leq 1+e_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} },}$
7. Para ver un ejemplo de cómo puede ocurrir esta falla, considere el caso en el que existe algo tal que tanto su complemento como su contenido contienen al menos dos puntos distintos. ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}y\in Y\setminus B}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X}$
8. Supongamos que tiene más de un punto, es un mapa constante y luego estará formado por todos los subconjuntos no vacíos de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Xi =\{f(X)\}}$ ${\displaystyle \Xi _{f}}$ ${\displaystyle Y.}$
9. La igualdad de conjuntos se cumple de manera más general: si la familia de conjuntos , entonces la familia de colas del mapa (definida por ) es igual a ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing {\text{ satisfies }}\varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
10. Explícitamente, el orden parcial inducido por la igualdad se refiere a la diagonal que es una relación homogénea que forma un conjunto parcialmente ordenado . Si este orden parcial se denota mediante el símbolo más familiar (es decir, definir ), entonces para cualquiera que muestre que (y por lo tanto también ) no es más que un nuevo símbolo de igualdad en ese sentido, se utiliza la notación porque evita la innecesaria introducción de un nuevo símbolo para la diagonal. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \Delta :=\{(x,x):x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \leq \;:=\;\Delta }$ ${\displaystyle b,c\in X,}$ ${\displaystyle \;b\leq c\,{\text{ if and only if }}\,b=c,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle (X,\Delta )\ =\ (X,=).}$ ${\displaystyle (X,=)}$

Pruebas

1. Sea un filtro que no sea un ultrafiltro. If es tal que tiene la propiedad de intersección finita (porque if ) de modo que según el lema del ultrafiltro, existe algún ultrafiltro tal que (en particular, ). La intersección de todo esto demuestra que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\not \in {\mathcal {F}}{\text{ then }}\{X\setminus S\}\cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ then }}F\cap (X\setminus S)=\varnothing {\text{ if and only if }}F\subseteq S}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle \{X\setminus S\}\cup {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle S\not \in {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcap _{S\subseteq X,S\not \in {\mathcal {F}}}{\mathcal {U}}_{S}.\blacksquare }$
2. Para demostrar esa malla, dejemos que Porque (resp. porque ), existe algún lugar por suposición , entonces Si es una subbase de filtro y si luego tomar implica que Si entonces existen tales que y ahora Esto muestra que es una subbase de filtro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq B{\text{ and }}G\subseteq C}$ ${\displaystyle F\cap G\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \neq G\cap F\subseteq B\cap C.\blacksquare }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}{\text{ mesh. }}\blacksquare }$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{i}\subseteq C_{i}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq F_{1}\cap \cdots F_{n}\subseteq C_{1}\cap \cdots C_{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. Esto se debe a que si hay prefiltros activados, entonces ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}.}$

Citas

1. Jech 2006, pag. 73.
2. Koutras y col. 2021.
3. Cartan 1937a.
4. Cartan 1937b.
5. Dolecki y Mynard 2016, págs. 27-29.
6. Dolecki y Mynard 2016, págs.
7. Narici y Beckenstein 2011, págs.
8. Császár 1978, págs. 53–65.
9. Dolecki y Mynard 2016, págs. 27–54.
10. Bourbaki 1987, págs. 57–68.
11. Schubert 1968, págs. 48–71.
12. Narici y Beckenstein 2011, págs.
13. Dugundji 1966, págs.
14. Dugundji 1966, pag. 215.
15. Wilansky 2013, pag. 5.
16. Dolecki y Mynard 2016, pag. 10.
17. Schechter 1996, págs. 100-130.
18. Császár 1978, págs. 82–91.
19. Dugundji 1966, págs.
20. Schechter 1996, pág. 100.
21. Császár 1978, págs. 53–65, 82–91.
22. Arkhangel'skii y Ponomarev 1984, págs. 7-8.
23. Joshi 1983, pag. 244.
24. Dugundji 1966, pag. 212.
25. Wilansky 2013, págs.
26. Castillo, Jesús MF; Montalvo, Francisco (enero de 1990), "Un contraejemplo en espacios semimétricos" (PDF) , Extracta Mathematicae , 5 (1): 38–40
27. Schaefer y Wolff 1999, págs. 1-11.
28. Bourbaki 1987, págs. 129-133.
29. Wilansky 2008, págs. 32-35.
30. Dugundji 1966, págs.
31. Jech 2006, págs. 73–89.
32. Császár 1978, págs. 53–65, 82–91, 102–120.
33. Dolecki y Mynard 2016, págs.
34. Arkhangel'skii y Ponomarev 1984, págs.
35. Császár 1978, págs. 102-120.
36. Schechter 1996, págs. 155-171.
37. Bruns G., Schmidt J., Zur Aquivalenz von Moore-Smith-Folgen und Filtern, Matemáticas. Nachr. 13 (1955), 169-186.
38. Schechter 1996, págs. 157-168.
39. Clark, Pete L. (18 de octubre de 2016). "Convergencia" (PDF) . math.uga.edu/ . Consultado el 18 de agosto de 2020 .

Referencias

• Adams, Colin ; Franzosa, Robert (2009). Introducción a la topología: pura y aplicada . Nueva Delhi: Educación Pearson. ISBN 978-81-317-2692-1. OCLC  789880519.
• Arkhangel'skii, Alexander Vladimirovich ; Ponomarev, VI (1984). Fundamentos de Topología General: Problemas y Ejercicios . Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 13. Dordrecht Boston: D. Reidel . ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC  9944489.
• Berberiano, Sterling K. (1974). Conferencias sobre Análisis Funcional y Teoría del Operador . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 15. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Burris, Stanley; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . Springer-Verlag. ISBN 978-0-9880552-0-9. Archivado desde el original el 1 de abril de 2022.
• Cartan, Henri (1937a). "Teoría de los filtros". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences . 205 : 595–598.
• Cartan, Henri (1937b). "Filtros y ultrafiltros". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences . 205 : 777–779.
• Confort, William Wistar; Negrepontis, Stylianos (1974). La teoría de los ultrafiltros . vol. 211. Berlín Heidelberg Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-06604-2. OCLC  1205452.
• Császár, Ákos (1978). Topología general . Traducido por Császár, Klára. Bristol Inglaterra: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011.
• Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de Pregrado en Matemáticas. Traducido por Berberian, SK Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: Compañía Mundial de Publicaciones Científicas. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). Operadores lineales . Matemática pura y aplicada. vol. 1. Nueva York: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261.
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Howes, Norman R. (23 de junio de 1995). Análisis y topología modernos . Textos de Posgrado en Matemáticas . Nueva York: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970. OL  1272666M.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Jech, Thomas (2006). Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC  50422939.
• Joshi, KD (1983). Introducción a la Topología General . Nueva York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750.
• Kelley, John L. (1975). Topología general . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 27. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. SEÑOR  0248498. OCLC  840293704.
• Koutras, Costas D.; Moyzes, Christos; Nomikos, Christos; Tsaprounis, Konstantinos; Zikos, Yorgos (20 de octubre de 2021). "Sobre filtros débiles y ultrafiltros: teoría de conjuntos desde (y para) la representación del conocimiento". Revista Lógica del IGPL . doi : 10.1093/jigpal/jzab030.
• MacIver R., David (1 de julio de 2004). «Filtros en Análisis y Topología» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 9 de octubre de 2007.(Proporciona una revisión introductoria de los filtros en topología y espacios métricos).
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 53. Cambridge Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Schubert, Horst (1968). Topología . Londres: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para el análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.