Cofinal (matemáticas)

Propiedad matemática de los subconjuntos en la teoría del orden.

En matemáticas , se dice que un subconjunto de un conjunto preordenado es cofinal o frecuente ^[1] si para cada es posible encontrar un elemento que sea "mayor que " (explícitamente, "mayor que " significa ). ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\leq b}$

Los subconjuntos cofinales son muy importantes en la teoría de conjuntos y redes dirigidos , donde " subred cofinal " es la generalización apropiada de " subsecuencia ". También son importantes en la teoría del orden , incluida la teoría de los números cardinales , donde la cardinalidad mínima posible de un subconjunto cofinal de se conoce como cofinalidad de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Definiciones

Sea una relación binaria homogénea sobre un conjunto. Se dice que un subconjunto es cofinal o frecuente ^[1] con respecto a si satisface la siguiente condición: ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Por cada existe algo que ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a\leq b.}$

Un subconjunto que no es frecuente se llama poco frecuente . ^[1] Esta definición se aplica más comúnmente cuando se trata de un conjunto dirigido , que es un conjunto preordenado con propiedades adicionales. ${\displaystyle (A,\leq )}$

Funciones finales

Se dice que un mapa entre dos conjuntos dirigidos es final ^[2] si la imagen de es un subconjunto cofinal de ${\displaystyle f:X\to A}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A.}$

Subconjuntos coiniciales

Se dice que un subconjunto es coinicial (o denso en el sentido de forzar ) si satisface la siguiente condición: ${\displaystyle B\subseteq A}$

Por cada existe alguno tal que ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle b\leq a.}$

Este es el dual de la teoría del orden a la noción de subconjunto cofinal. Los subconjuntos cofinales (respectivamente coiniciales) son precisamente los conjuntos densos con respecto a la topología de orden derecho (respectivamente izquierdo) .

Propiedades

La relación cofinal sobre conjuntos parcialmente ordenados (" posets ") es reflexiva : cada poset es cofinal en sí mismo. También es transitivo : si es un subconjunto cofinal de un poset y es un subconjunto cofinal de (con el orden parcial de aplicado a ), entonces también es un subconjunto cofinal de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A.}$

Para un conjunto parcialmente ordenado con elementos máximos , cada subconjunto cofinal debe contener todos los elementos máximos ; de lo contrario, un elemento máximo que no esté en el subconjunto no sería menor o igual a ningún elemento del subconjunto, violando la definición de cofinal. Para un conjunto parcialmente ordenado con un elemento mayor , un subconjunto es cofinal si y sólo si contiene ese elemento mayor (esto se deduce, ya que un elemento mayor es necesariamente un elemento máximo). Los conjuntos parcialmente ordenados sin elemento mayor o elementos máximos admiten subconjuntos cofinales disjuntos. Por ejemplo, los números naturales pares e impares forman subconjuntos cofinales disjuntos del conjunto de todos los números naturales.

Si un conjunto parcialmente ordenado admite un subconjunto cofinal totalmente ordenado , entonces podemos encontrar un subconjunto bien ordenado y cofinal en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

If es un conjunto dirigido y if es un subconjunto cofinal de entonces también es un conjunto dirigido. ^[1] ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (B,\leq )}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Cualquier superconjunto de un subconjunto cofinal es en sí mismo cofinal. ^[1]

Si es un conjunto dirigido y si alguna unión de (uno o más) un número finito de subconjuntos es cofinal, entonces al menos uno del conjunto es cofinal. ^[1] Esta propiedad no es cierta en general sin la hipótesis que se dirige. ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}}$ ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$

Relaciones de subconjunto y bases de vecindad

Sea un espacio topológico y denotemos el filtro de vecindad en un punto. La relación de superconjunto es un orden parcial en : explícitamente, para cualquier conjunto y declaramos que si y solo si (en esencia, es igual a ). Un subconjunto se llama base de vecindad si (y solo si) es un subconjunto cofinal de es decir, si y solo si para cada existe algo tal que (es decir, tal que ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle S\leq T}$ ${\displaystyle S\supseteq T}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {N}}_{x},\supseteq \right);}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N\supseteq B.}$ ${\displaystyle N\leq B}$

Subconjuntos cofinales de los números reales.

Para cualquiera, el intervalo es un subconjunto cofinal de pero no es un subconjunto cofinal de El conjunto de números naturales (que consta de números enteros positivos) es un subconjunto cofinal de pero esto no es cierto para el conjunto de números enteros negativos ${\displaystyle -\infty <x<\infty ,}$ ${\displaystyle (x,\infty )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq ).}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle -\mathbb {N} :=\{-1,-2,-3,\ldots \}.}$

De manera similar, para cualquier intervalo es un subconjunto cofinal de pero no es un subconjunto cofinal de El conjunto de números enteros negativos es un subconjunto cofinal de pero esto no es cierto para los números naturales El conjunto de todos los números enteros es un subconjunto cofinal de y también un subconjunto cofinal de ; lo mismo ocurre con el conjunto ${\displaystyle -\infty <y<\infty ,}$ ${\displaystyle (-\infty ,y)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ).}$ ${\displaystyle -\mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Conjunto cofinal de subconjuntos

Se da un caso particular pero importante si es un subconjunto del conjunto potencia de algún conjunto ordenado por inclusión inversa. Dado que el orden de un subconjunto es cofinal en si para cada existe un tal que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \wp (E)}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \,\supseteq .}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a\supseteq b.}$

Por ejemplo, sea un grupo y sea el conjunto de subgrupos normales de índice finito . La terminación finita de se define como el límite inverso del sistema inverso de cocientes finitos de (que están parametrizados por el conjunto ). En esta situación, cada subconjunto cofinal de es suficiente para construir y describir la terminación finita de ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E.}$

Ver también

• Cofinito  : ser un subconjunto cuyo complemento es un conjunto finitoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Cofinalidad  : tamaño de subconjuntos en la teoría del orden.
• Conjunto superior  : subconjunto de un pedido anticipado que contiene todos los elementos más grandes
  • un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado que contiene cada elemento para el cual existe un con ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle y\in P}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle x\leq y}$

Referencias

1. Schechter 1996, págs. 158-165.
2. Bredon, Glen (1993). Topología y Geometría . Saltador. pag. dieciséis.

• Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.