Cofinalidad

Tamaño de los subconjuntos en la teoría del orden

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , la cofinalidad cf( A ) de un conjunto parcialmente ordenado A es la menor de las cardinalidades de los subconjuntos cofinales de A .

Esta definición de cofinalidad se basa en el axioma de elección , ya que utiliza el hecho de que cada conjunto no vacío de números cardinales tiene un miembro menor. La cofinalidad de un conjunto parcialmente ordenado A puede definirse alternativamente como el ordinal x menor tal que existe una función de x a A con imagen cofinal . Esta segunda definición tiene sentido sin el axioma de elección. Si se supone el axioma de elección, como será el caso en el resto de este artículo, entonces las dos definiciones son equivalentes.

La cofinalidad se puede definir de manera similar para un conjunto dirigido y se utiliza para generalizar la noción de una subsecuencia en una red .

Ejemplos

• La cofinalidad de un conjunto parcialmente ordenado con el mayor elemento es 1, ya que el conjunto que consiste únicamente en el mayor elemento es cofinal (y debe estar contenido en todos los demás subconjuntos cofinales).
  • En particular, la cofinalidad de cualquier ordinal finito distinto de cero, o de hecho de cualquier conjunto dirigido finito, es 1, ya que dichos conjuntos tienen un elemento mayor.
• Todo subconjunto cofinal de un conjunto parcialmente ordenado debe contener todos los elementos máximos de ese conjunto. Por lo tanto, la cofinalidad de un conjunto finito parcialmente ordenado es igual al número de sus elementos máximos.
  • En particular, sea un conjunto de tamaño y considere el conjunto de subconjuntos de que no contienen más de elementos. Este está parcialmente ordenado bajo inclusión y los subconjuntos con elementos son máximos. Por lo tanto, la cofinalidad de este conjunto parcial es choose ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m.}$
• Un subconjunto de los números naturales es cofinal en si y sólo si es infinito, y por lo tanto la cofinalidad de es Por lo tanto es un cardinal regular . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}.}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$
• La cofinalidad de los números reales con su ordenamiento habitual es ya que es cofinal en El ordenamiento habitual de no es orden isomorfo a la cardinalidad de los números reales , que tiene cofinalidad estrictamente mayor que Esto demuestra que la cofinalidad depende del orden; diferentes órdenes en el mismo conjunto pueden tener diferente cofinalidad. ${\displaystyle \aleph _{0},}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle \aleph _{0}.}$

Propiedades

Si admite un subconjunto cofinal totalmente ordenado , entonces podemos encontrar un subconjunto que esté bien ordenado y sea cofinal en Cualquier subconjunto de también está bien ordenado. Dos subconjuntos cofinales de con cardinalidad mínima (es decir, su cardinalidad es la cofinalidad de ) no necesitan ser isomorfos en orden (por ejemplo, si entonces ambos y vistos como subconjuntos de tienen la cardinalidad contable de la cofinalidad de pero no son isomorfos en orden). Pero los subconjuntos cofinales de con tipo de orden mínimo serán isomorfos en orden. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B=\omega +\omega ,}$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \{\omega +n:n<\omega \}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Cofinalidad de ordinales y otros conjuntos bien ordenados

La cofinalidad de un ordinal es el ordinal más pequeño que es el tipo de orden de un subconjunto cofinal de La cofinalidad de un conjunto de ordinales o cualquier otro conjunto bien ordenado es la cofinalidad del tipo de orden de ese conjunto. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \alpha .}$

Así, para un ordinal límite existe una secuencia estrictamente creciente indexada con límite. Por ejemplo, la cofinalidad de es porque la secuencia (donde abarca los números naturales) tiende a pero, más generalmente, cualquier ordinal límite contable tiene cofinalidad. Un ordinal límite incontable puede tener cofinalidad como o una cofinalidad incontable. ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \omega \cdot m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \omega ^{2};}$ ${\displaystyle \omega .}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$

La cofinalidad de 0 es 0. La cofinalidad de cualquier ordinal sucesor es 1. La cofinalidad de cualquier ordinal límite distinto de cero es un cardinal regular infinito.

Ordinales regulares y singulares

Un ordinal regular es un ordinal que es igual a su cofinalidad. Un ordinal singular es cualquier ordinal que no es regular.

Todo ordinal regular es el ordinal inicial de un cardinal. Cualquier límite de ordinales regulares es un límite de ordinales iniciales y, por lo tanto, también es inicial pero no necesariamente regular. Suponiendo que el axioma de elección, es regular para cada En este caso, los ordinales y son regulares, mientras que y son ordinales iniciales que no son regulares. ${\displaystyle \omega _{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle 0,1,\omega ,\omega _{1},}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle 2,3,\omega _{\omega },}$ ${\displaystyle \omega _{\omega \cdot 2}}$

La cofinalidad de cualquier ordinal es un ordinal regular, es decir, la cofinalidad de la cofinalidad de es la misma que la cofinalidad de Por lo que la operación de cofinalidad es idempotente . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha .}$

Cofinalidad de cardenales

Si es un número cardinal infinito, entonces es el cardinal menor tal que existe una función ilimitada de a es también la cardinalidad del conjunto más pequeño de cardinales estrictamente más pequeños cuya suma es más precisamente ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$ ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$ ${\displaystyle \kappa ;}$ ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$ ${\displaystyle \kappa ;}$ $${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )=\min \left\{|I|\ :\ \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}\ \land \forall i\in I\colon \lambda _{i}<\kappa \right\}.}$$

Que el conjunto anterior no sea vacío se debe a que es la unión disjunta de conjuntos unitarios. Esto implica inmediatamente que la cofinalidad de cualquier conjunto totalmente ordenado es regular, por lo que $${\displaystyle \kappa =\bigcup _{i\in \kappa }\{i\}}$$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )\leq \kappa .}$ ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )=\operatorname {cf} (\operatorname {cf} (\kappa )).}$

Utilizando el teorema de König , se puede demostrar y para cualquier cardinal infinito ${\displaystyle \kappa <\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}}$ ${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} \left(2^{\kappa }\right)}$ ${\displaystyle \kappa .}$

La última desigualdad implica que la cofinalidad de la cardinalidad del continuo debe ser incontable. Por otra parte, siendo el número ordinal ω el primer ordinal infinito, por lo que la cofinalidad de es card(ω) = (En particular, es singular). Por lo tanto, $${\displaystyle \aleph _{\omega }=\bigcup _{n<\omega }\aleph _{n},}$$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{0}.}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ $${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }.}$$

(Compárese con la hipótesis del continuo , que establece que ) ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$

Generalizando este argumento, se puede demostrar que para un ordinal límite ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \operatorname {cf} (\aleph _{\delta })=\operatorname {cf} (\delta ).}$$

Por otra parte, si se cumple el axioma de elección , entonces para un sucesor o ordinal cero ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \operatorname {cf} (\aleph _{\delta })=\aleph _{\delta }.}$$

Véase también

• Conjunto de clubes  : concepto de teoría de conjuntos
• Ordinal inicial  – concepto matemáticoPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN  3-540-44085-2 .
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .