En el área matemática de la teoría del orden , todo conjunto P parcialmente ordenado da lugar a un conjunto parcialmente ordenado dual (u opuesto ) que a menudo se denota como P op o P d . Este orden dual P op se define como el mismo conjunto, pero con el orden inverso , es decir, x ≤ y se cumple en P op si y sólo si y ≤ x se cumple en P . Es fácil ver que esta construcción, que puede representarse invirtiendo el diagrama de Hasse para P , producirá de hecho un conjunto parcialmente ordenado. En un sentido más amplio, también se dice que dos conjuntos parcialmente ordenados son duales si son dualmente isomorfos , es decir, si un poset es de orden isomorfo al dual del otro.
La importancia de esta definición simple surge del hecho de que cada definición y teorema de la teoría del orden puede transferirse fácilmente al orden dual. Formalmente, esto se refleja en el principio de dualidad para conjuntos ordenados:
Si un enunciado o definición es equivalente a su dual entonces se dice que es autodual . Tenga en cuenta que la consideración de órdenes duales es tan fundamental que a menudo ocurre implícitamente cuando se escribe ≥ para el orden dual de ≤ sin dar ninguna definición previa de este "nuevo" símbolo.
Naturalmente, hay una gran cantidad de ejemplos de conceptos duales:
Ejemplos de nociones que son autoduales incluyen:
Dado que los órdenes parciales son antisimétricos , los únicos que son autoduales son las relaciones de equivalencia (pero la noción de orden parcial es autodual).