En matemáticas , un filtro o filtro de orden es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado (poset), que describe elementos "grandes" o "eventuales". Los filtros aparecen en la teoría de orden y de retícula , pero también en la topología , de donde se originan. La noción dual de un filtro es un ideal de orden .
Los casos especiales de filtros incluyen los ultrafiltros , que son filtros que no se pueden ampliar, y describen técnicas no constructivas en lógica matemática .
Los filtros sobre conjuntos fueron introducidos por Henri Cartan en 1937. Nicolas Bourbaki , en su libro Topologie Générale , popularizó los filtros como una alternativa a la noción de red de EH Moore y Herman L. Smith de 1922 ; los filtros de orden generalizan esta noción a partir del caso específico de un conjunto potencia bajo inclusión a conjuntos parcialmente ordenados arbitrarios . Sin embargo, la teoría de filtros de conjuntos potencia conserva interés por derecho propio, en parte por sus importantes aplicaciones en topología .
Fijemos un conjunto parcialmente ordenado (poset) P . Intuitivamente, un filtro F es un subconjunto de P cuyos miembros son elementos lo suficientemente grandes como para satisfacer algún criterio. [1] Por ejemplo, si x ∈ P , entonces el conjunto de elementos por encima de x es un filtro, llamado filtro principal en x . (Si x e y son elementos incomparables de P , entonces ni el filtro principal en x ni y están contenidos en el otro.)
De manera similar, un filtro sobre un conjunto S contiene aquellos subconjuntos que son suficientemente grandes para contener una cosa dada . Por ejemplo, si S es la recta real y x ∈ S , entonces la familia de conjuntos que incluye x en su interior es un filtro, llamado filtro de vecindad en x . La cosa en este caso es ligeramente más grande que x , pero aún así no contiene ningún otro punto específico de la recta.
Las consideraciones anteriores motivan el requisito de cierre ascendente en la definición siguiente: los objetos "suficientemente grandes" siempre pueden hacerse más grandes.
Para entender las otras dos condiciones, invierta los roles y, en su lugar, considere F como un "esquema de localización" para encontrar x . En esta interpretación, uno busca en algún espacio X y espera que F describa aquellos subconjuntos de X que contienen el objetivo. El objetivo debe estar ubicado en algún lugar; por lo tanto, el conjunto vacío ∅ nunca puede estar en F. Y si dos subconjuntos contienen el objetivo, entonces se debe "acercar" su región común.
Un ultrafiltro describe un "esquema de localización perfecto" en el que cada componente del esquema proporciona información nueva (ya sea "busque aquí" o "busque en otro lugar"). La compacidad es la propiedad de que "toda búsqueda es fructífera" o, dicho de otro modo, "todo esquema de localización termina en un resultado de búsqueda".
Un uso común de un filtro es definir propiedades que son satisfechas por elementos "genéricos" de algún espacio topológico. [2] Esta aplicación generaliza el "esquema de localización" para encontrar puntos que podrían ser difíciles de escribir explícitamente.
Un subconjunto F de un conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) es un filtro o ideal dual si se satisfacen las siguientes condiciones:
Si, además, F ≠ P , entonces se dice que F es un filtro propio . Los autores de teoría de conjuntos y lógica matemática a menudo requieren que todos los filtros sean propios; este artículo evitará esa convención. [3] Un ultrafiltro es un filtro que no está contenido en ningún otro filtro propio.
Un subconjunto S de F es una base o base para F si el conjunto superior generado por S (es decir, el conjunto cerrado hacia arriba más pequeño que contiene a S ) es igual a F. Dado que cada filtro es cerrado hacia arriba, cada filtro es una base para sí mismo.
Además, si B ⊆ P no está vacío y está dirigido hacia abajo, entonces B genera un conjunto superior F que es un filtro (para el cual B es una base). Dichos conjuntos se denominan prefiltros , así como la base/base de filtro antes mencionada , y se dice que F es generado o abarcado por B. Un prefiltro es propio si y solo si genera un filtro propio.
Dado p ∈ P , el conjunto { x : p ≤ x } es el filtro más pequeño que contiene p , y a veces se escribe ↑ p . Un filtro de este tipo se denomina filtro principal ; se dice que p es el elemento principal de F , o genera F .
Supongamos que B y C son dos prefiltros en P y, para cada c ∈ C , existe un b ∈ B , tal que b ≤ c . Entonces decimos que B esmás fino que (orefina)C; de la misma manera,Cesmás gruesoque (ohace más grueso)B. El refinamiento es unpreordenamientoen el conjunto de prefiltros. De hecho, siCtambién refinaB, entoncesByCse denominanequivalentes, ya que generan el mismo filtro. Por lo tanto, el paso de prefiltro a filtro es una instancia de paso de un preordenamiento a un ordenamiento parcial asociado.
Históricamente, los filtros se generalizaron a redes de orden teórico antes de órdenes parciales arbitrarios. En el caso de las redes, la dirección descendente se puede escribir como cierre bajo encuentros finitos : para todo x , y ∈ F , se tiene x ∧ y ∈ F . [4]
Un (ultra)filtro lineal es un (ultra)filtro sobre la red de subespacios vectoriales de un espacio vectorial dado , ordenados por inclusión. Explícitamente, un filtro lineal sobre un espacio vectorial X es una familia B de subespacios vectoriales de X tales que si A , B ∈ B y C es un subespacio vectorial de X que contiene a A , entonces A ∩ B ∈ B y C ∈ B . [5]
Un filtro lineal es apropiado si no contiene {0} . [5]
Dado un conjunto S , el conjunto potencia P ( S ) está parcialmente ordenado por inclusión de conjuntos ; los filtros en este conjunto parcial a menudo se denominan simplemente "filtros en S ", en un abuso de terminología . Para tales conjuntos parciales, la dirección descendente y el cierre ascendente se reducen a: [3]
Un filtro apropiado [7] /no degenerado [8] es uno que no contiene ∅ , y estas tres condiciones (incluida la no degeneración) son la definición original de filtro de Henri Cartan . [9] [10] Es común —aunque no universal— requerir que los filtros en conjuntos sean apropiados (cualquiera sea la postura de uno sobre los filtros de conjuntos poset); nuevamente evitaremos esta convención.
Los prefiltros de un conjunto son adecuados si y solo si tampoco contienen ∅ .
Para cada subconjunto T de P ( S ) , existe un filtro más pequeño F que contiene a T . Al igual que con los prefiltros, se dice que T genera o abarca F ; una base para F es el conjunto U de todas las intersecciones finitas de T . Se dice que el conjunto T es una subbase de filtro cuando F (y, por lo tanto, U ) es propio.
Los filtros adecuados sobre conjuntos tienen la propiedad de intersección finita .
Si S = ∅ , entonces S admite sólo el filtro impropio {∅} .
Se dice que un filtro es libre si la intersección de sus elementos está vacía. Un filtro principal propio no es libre.
Como la intersección de cualquier número finito de miembros de un filtro es también un miembro, ningún filtro propio de un conjunto finito es libre y, de hecho, el filtro principal es generado por la intersección común de todos sus miembros. Pero un filtro no principal de un conjunto infinito no es necesariamente libre: un filtro es libre si y solo si incluye el filtro de Fréchet (véase § Ejemplos).
Vea la imagen en la parte superior de este artículo para ver un ejemplo simple de filtros en el poset finito P ({1, 2, 3, 4}) .
Ordene parcialmente ℝ → ℝ , el espacio de funciones de valor real en ℝ , por comparación puntual. Entonces, el conjunto de funciones "grande en el infinito" es un filtro en ℝ → ℝ . Se puede generalizar bastante esta construcción compactando el dominio y completando el codominio: si X es un conjunto con un subconjunto distinguido S e Y es un conjunto parcial con un elemento distinguido m , entonces { f : f | S ≥ m } es un filtro en X → Y .
El conjunto {{ k : k ≥ N } : N ∈ ℕ} es un filtro en P (ℕ) . De manera más general, si D es cualquier conjunto dirigido , entonces es un filtro en P ( D ) , llamado filtro de cola. Asimismo, cualquier red { x α } α∈Α genera el filtro de eventualidad {{ x β : α ≤ β} : α ∈ Α} . Un filtro de cola es el filtro de eventualidad para x α = α .
El filtro de Fréchet sobre un conjunto infinito X es Si ( X , μ) es un espacio de medida , entonces la colección { A : μ( X ∖ A ) = 0} es un filtro. Si μ( X ) = ∞ , entonces { A : μ( X ∖ A ) < ∞} también es un filtro; el filtro de Fréchet es el caso donde μ es una medida de conteo .
Dado un ordinal a , un subconjunto de a se denomina club si es cerrado en la topología de orden de a pero tiene un límite neto-teórico a . Los clubes de a forman un filtro: el filtro club , ♣( a ) .
La construcción anterior se generaliza de la siguiente manera: cualquier club C es también una colección de subconjuntos densos (en la topología ordinal ) de a , y ♣( a ) cumple con cada elemento de C . Reemplazando C con una colección arbitraria C̃ de conjuntos densos, existe "típicamente" un filtro que cumple con cada elemento de C̃ , llamado filtro genérico . Para el contable C̃ , el lema de Rasiowa–Sikorski implica que debe existir dicho filtro; para el incontable "pequeño" C̃ , la existencia de dicho filtro puede forzarse mediante el axioma de Martin .
Sea P el conjunto de órdenes parciales de cardinalidad limitada , módulo isomorfismo . Ordene parcialmente P por:
Entonces el subconjunto de órdenes parciales no atómicos forma un filtro. Asimismo, si I es el conjunto de módulos inyectivos sobre un anillo conmutativo dado , de cardinalidad limitada, módulo isomorfismo, entonces un orden parcial sobre I es:
Dado cualquier cardinal infinito κ , los módulos en I que no pueden ser generados por menos de κ elementos forman un filtro.
Toda estructura uniforme sobre un conjunto X es un filtro sobre X × X .
La noción dual de filtro —es decir, el concepto obtenido al invertir todos los ≤ e intercambiar ∧ por ∨— es un ideal de orden. Debido a esta dualidad, cualquier cuestión de filtros puede traducirse mecánicamente a una cuestión de ideales y viceversa; en particular, un filtro primo o maximal es un filtro cuyo ideal correspondiente es (respectivamente) primo o maximal.
Un filtro es un ultrafiltro si y sólo si el ideal correspondiente es mínimo.
Para cada filtro F en un conjunto S , la función de conjunto definida por es finitamente aditiva —una " medida ", si ese término se interpreta de manera un tanto laxa. Además, las medidas así construidas se definen en todas partes si F es un ultrafiltro . Por lo tanto, la afirmación puede considerarse algo análoga a la afirmación de que φ se cumple "casi en todas partes". Esa interpretación de la pertenencia a un filtro se utiliza (para motivación, no para pruebas reales ) en la teoría de ultraproductos en la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática .
En la topología y el análisis general , los filtros se utilizan para definir la convergencia de una manera similar a la función de las secuencias en un espacio métrico . Unifican el concepto de límite en la amplia variedad de espacios topológicos arbitrarios .
Para entender la necesidad de los filtros, comencemos con el concepto equivalente de una red . Una secuencia suele estar indexada por los números naturales ℕ , que son un conjunto totalmente ordenado . Las redes generalizan la noción de una secuencia al reemplazar ℕ con un conjunto dirigido arbitrario . En ciertas categorías de espacios topológicos, como los espacios de primer orden , las secuencias caracterizan la mayoría de las propiedades topológicas, pero esto no es cierto en general. Sin embargo, las redes, así como los filtros, siempre caracterizan esas propiedades topológicas.
Los filtros no involucran ningún conjunto externo al espacio topológico X , mientras que las secuencias y las redes dependen de otros conjuntos dirigidos. Por esta razón, la colección de todos los filtros en X es siempre un conjunto , mientras que la colección de todas las redes con valores X es una clase propia .
Cualquier punto x en el espacio topológico X define un filtro o sistema de vecindad N x : es decir, la familia de todos los conjuntos que contienen x en su interior . Un conjunto N de vecindades de x es una vecindad base en x si N genera N x . De manera equivalente, S ⊆ X es una vecindad de x si y solo si existe N ∈ N tal que N ⊆ S .
Un prefiltro B converge a un punto x , escrito B → x , si y solo si B genera un filtro F que contiene el filtro de vecindad N x ; explícitamente, para cada vecindad U de x , existe algún V ∈ B tal que V ⊆ U . De manera menos explícita, B → x si y solo si B refina N x , y cualquier base de vecindad en x puede reemplazar a N x en esta condición. Claramente, cada base de vecindad en x converge a x .
Un filtro F (que se genera a sí mismo) converge a x si N x ⊆ F . Lo anterior también se puede invertir para caracterizar el filtro de vecindad N x : N x es el filtro más fino más grueso que cada filtro que converge a x .
Si B → x , entonces x se denomina límite (punto) de B . Se dice que el prefiltro B se agrupa en x (o tiene x como punto de agrupamiento ) si y solo si cada elemento de B tiene una intersección no vacía con cada entorno de x . Todo punto límite es un punto de agrupamiento, pero lo inverso no es cierto en general. Sin embargo, todo punto de agrupamiento de un ultrafiltro es un punto límite.
