Filtro de club

En matemáticas , particularmente en teoría de conjuntos , si es un cardinal regular incontable , entonces el filtro de todos los conjuntos que contienen un subconjunto club de es un filtro -completo cerrado bajo la intersección diagonal llamado filtro club . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa ),}$ ${\displaystyle \kappa ,}$ ${\displaystyle \kappa }$

Para ver que se trata de un filtro, observe que, dado que es cerrado y no acotado (consulte el conjunto club ), si cualquier subconjunto de los que lo contienen también está en dado que , por lo tanto, cualquier cosa que lo contenga contiene un conjunto club. ${\displaystyle \kappa \in \operatorname {club} (\kappa )}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {club} (\kappa )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa ),}$ ${\displaystyle x,}$

Es un filtro -completo porque la intersección de menos de conjuntos de tréboles es un conjunto de tréboles. Para ver esto, supongamos que es una secuencia de conjuntos de tréboles donde Obviamente es cerrada, ya que cualquier secuencia que aparece en aparece en cada y por lo tanto su límite también está en cada Para mostrar que no está acotada, tomemos algunos Sea una secuencia creciente con y para cada Se puede construir una secuencia de este tipo, ya que cada es ilimitada. Como y es regular, el límite de esta secuencia es menor que La llamamos y definimos una nueva secuencia similar a la secuencia anterior. Podemos repetir este proceso, obteniendo una secuencia de secuencias donde cada elemento de una secuencia es mayor que cada miembro de las secuencias anteriores. Entonces para cada es una secuencia creciente contenida en y todas estas secuencias tienen el mismo límite (el límite de ). Este límite está entonces contenido en cada y por lo tanto y es mayor que ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \langle C_{i}\rangle _{i<\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa .}$ ${\displaystyle C=\bigcap C_{i}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{i},}$ ${\displaystyle C_{i}.}$ ${\displaystyle \beta <\kappa .}$ ${\displaystyle \langle \beta _{1,i}\rangle }$ ${\displaystyle \beta _{1,1}>\beta }$ ${\displaystyle \beta _{1,i}\in C_{i}}$ ${\displaystyle i<\alpha .}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa .}$ ${\displaystyle \beta _{2},}$ ${\displaystyle \langle \beta _{2,i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \beta _{j,i}\rangle }$ ${\displaystyle i<\alpha ,}$ ${\displaystyle \langle \beta _{j,i}\rangle }$ ${\displaystyle C_{i},}$ ${\displaystyle \langle \beta _{j,i}\rangle }$ ${\displaystyle C_{i},}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \beta .}$

Para ver que está cerrado bajo intersección diagonal, sea una secuencia de conjuntos de tréboles, y sea Para mostrar que está cerrado, supongamos y Entonces para cada para todos Como cada uno es cerrado, para todos entonces Para mostrar que no está acotado, sea y defina una secuencia como sigue: y es el elemento mínimo de tal que Tal elemento existe ya que por lo anterior, la intersección de conjuntos de tréboles es trébol. Entonces y dado que está en cada uno con ${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )}$ ${\displaystyle \langle C_{i}\rangle ,}$ ${\displaystyle i<\kappa }$ ${\displaystyle C=\Delta _{i<\kappa }C_{i}.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S\subseteq \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle \bigcup S=\alpha .}$ ${\displaystyle \gamma \in S,}$ ${\displaystyle \gamma \in C_{\beta }}$ ${\displaystyle \beta <\gamma .}$ ${\displaystyle C_{\beta }}$ ${\displaystyle \alpha \in C_{\beta }}$ ${\displaystyle \beta <\alpha ,}$ ${\displaystyle \alpha \in C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$ ${\displaystyle \xi _{i},}$ ${\displaystyle i<\omega }$ ${\displaystyle \xi _{0}=\alpha ,}$ ${\displaystyle \xi _{i+1}}$ ${\displaystyle \bigcap _{\gamma <\xi _{i}}C_{\gamma }}$ ${\displaystyle \xi _{i+1}>\xi _{i}.}$ ${\displaystyle \xi _{i}}$ ${\displaystyle \xi =\bigcup _{i<\omega }\xi _{i}>\alpha }$ ${\displaystyle \xi \in C,}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle i<\xi .}$

Véase también

• Clubsuit  – en teoría de conjuntos, principio combinatorio según el cual, para cada 𝑆⊂ω₁ estacionario, existe una secuencia de conjuntos 𝐴_𝛿 (𝛿∈𝑆) tal que 𝐴_𝛿 es un subconjunto cofinal de 𝛿 y cada subconjunto ilimitado de ω₁ está contenido en algún 𝐴_𝛿Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Filtro (matemáticas)  – En matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado.
• Conjunto estacionario  – Concepto de teoría de conjuntos

Referencias

• Jech, Thomas, 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN  3-540-44085-2 .

Este artículo incorpora material del filtro del club en PlanetMath , que está licenciado bajo la Licencia Creative Commons Atribución/Compartir-Igual .