Filtración (teoría de la probabilidad)

Modelo de información disponible en un punto dado de un proceso aleatorio.

En la teoría de procesos estocásticos , una subdisciplina de la teoría de la probabilidad , las filtraciones son colecciones totalmente ordenadas de subconjuntos que se utilizan para modelar la información que está disponible en un punto determinado y, por lo tanto, juegan un papel importante en la formalización de procesos aleatorios (estocásticos).

Definición

Sea un espacio de probabilidad y un conjunto de índices con un orden total (a menudo , o un subconjunto de ). ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Para cada sea una sub- σ -álgebra de . Entonces ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mathbb {F} :=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$

Se llama filtración, si es para todos . Entonces las filtraciones son familias de σ -álgebras que están ordenadas de manera no decreciente. ^[1] Si es una filtración, entonces se llama espacio de probabilidad filtrado . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }}$ ${\displaystyle k\leq \ell }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)}$

Ejemplo

Sea un proceso estocástico en el espacio de probabilidad . Denotemos el σ -álgebra generada por las variables aleatorias . Entonces ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$

es una σ -álgebra y es una filtración. ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \mathbb {F} }$realmente es una filtración, ya que por definición todas son σ -álgebras y ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1).}$

Esto se conoce como filtración natural con respecto a . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Tipos de filtraciones

Filtración continua derecha

Si es una filtración, entonces la filtración continua derecha correspondiente se define como ^[2] ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{i}^{+})_{i\in I},}$

con

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}^{+}:=\bigcap _{i<z}{\mathcal {F}}_{z}.}$

La filtración en sí se llama continua por la derecha si . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F} }$

Filtración completa

Sea un espacio de probabilidad y sea, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}:=\{A\subseteq \Omega \mid A\subseteq B{\text{ for some }}B\in {\mathcal {F}}{\text{ with }}P(B)=0\}}$

ser el conjunto de todos los conjuntos contenidos en un conjunto nulo . ${\displaystyle P}$

Una filtración se llama filtración completa , si cada uno contiene . Esto implica que hay un espacio de medida completo para cada (lo contrario no es necesariamente cierto). ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{i},P)}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Filtración aumentada

Una filtración se llama filtración aumentada si es completa y continua. Para cada filtración existe un refinado de filtración aumentado más pequeño . ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {F} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

Si una filtración es una filtración aumentada, se dice que satisface las hipótesis habituales o las condiciones habituales . ^[3]

Ver también

• Filtración natural
• Filtración (matemáticas)
• Filtro (matemáticas)

Referencias

1. Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 191.doi : 10.1007 /978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
2. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelización estocástica. vol. 77. Suiza: Springer. pag. 350-351. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
3. Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 462.doi : 10.1007 /978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.