En la teoría de procesos estocásticos en matemáticas y estadística , la filtración generada o filtración natural asociada a un proceso estocástico es una filtración asociada al proceso que registra su "comportamiento pasado" en cada momento. Es en cierto sentido la filtración más simple disponible para estudiar el proceso dado: toda la información relativa al proceso, y solo esa información, está disponible en la filtración natural.
Más formalmente, sea (Ω, F , P ) un espacio de probabilidad ; sea ( I , ≤) un conjunto de índices totalmente ordenado ; sea ( S , Σ) un espacio medible ; sea X : I × Ω → S un proceso estocástico. Entonces, la filtración natural de F con respecto a X se define como la filtración F • X = ( F i X ) i ∈ I dada por
es decir, el σ -álgebra más pequeña en Ω que contiene todas las preimágenes de los subconjuntos Σ-medibles de S para "tiempos" j hasta i .
En muchos ejemplos, el conjunto índice I son los números naturales N (posiblemente incluyendo 0) o un intervalo [0, T ] o [0, +∞); el espacio de estados S es a menudo la línea real R o el espacio euclidiano R n .
Cualquier proceso estocástico X es un proceso adaptado con respecto a su filtración natural.
