Conjunto dirigido

Ordenamiento matemático con límites superiores

En matemáticas , un conjunto dirigido (o un preorden dirigido o un conjunto filtrado ) es un conjunto no vacío junto con una relación binaria reflexiva y transitiva (es decir, un preorden ), con la propiedad adicional de que cada par de elementos tiene un límite superior . ^[1] En otras palabras, para cualquier y en debe existir en con y El preorden de un conjunto dirigido se llama dirección . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c.}$

La noción definida anteriormente se denomina a vecesconjunto dirigido hacia arriba .El conjunto dirigido hacia abajo se define de manera análoga,^[2]lo que significa que cada par de elementos está acotado por debajo.^[3] Algunos autores (y este artículo) suponen que un conjunto dirigido está dirigido hacia arriba, a menos que se indique lo contrario. Otros autores dicen que un conjunto está dirigido si y solo si está dirigido tanto hacia arriba como hacia abajo.^[4]

Los conjuntos dirigidos son una generalización de los conjuntos totalmente ordenados no vacíos . Es decir, todos los conjuntos totalmente ordenados son conjuntos dirigidos (en contraste con los conjuntos parcialmente ordenados , que no necesitan ser dirigidos). Los semirretículos de unión (que son conjuntos parcialmente ordenados) también son conjuntos dirigidos, pero no a la inversa. Del mismo modo, los retículos son conjuntos dirigidos tanto hacia arriba como hacia abajo.

En topología , los conjuntos dirigidos se utilizan para definir redes , que generalizan secuencias y unifican las diversas nociones de límite utilizadas en el análisis . Los conjuntos dirigidos también dan lugar a límites directos en álgebra abstracta y (de manera más general) en la teoría de categorías .

Definición equivalente

Además de la definición anterior, existe una definición equivalente. Un conjunto dirigido es un conjunto con un preorden tal que cada subconjunto finito de tiene un límite superior. En esta definición, la existencia de un límite superior del subconjunto vacío implica que no está vacío. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

El conjunto de los números naturales de orden ordinario es uno de los ejemplos más importantes de conjunto dirigido. Todo conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido, incluyendo y ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\geq ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq ).}$

Un ejemplo (trivial) de un conjunto parcialmente ordenado que no está dirigido es el conjunto en el que las únicas relaciones de orden son y Un ejemplo menos trivial es como el siguiente ejemplo de los "reales dirigidos hacia " pero en el que la regla de ordenamiento solo se aplica a pares de elementos en el mismo lado de (es decir, si uno toma un elemento a la izquierda de y a su derecha, entonces y no son comparables, y el subconjunto no tiene límite superior). ${\displaystyle \{a,b\},}$ ${\displaystyle a\leq a}$ ${\displaystyle b\leq b.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$

Producto de conjuntos dirigidos

Sean y conjuntos dirigidos. Entonces el conjunto producto cartesiano puede convertirse en un conjunto dirigido definiendo si y solo si y En analogía con el orden del producto, esta es la dirección del producto en el producto cartesiano. Por ejemplo, el conjunto de pares de números naturales puede convertirse en un conjunto dirigido definiendo si y solo si y ${\displaystyle \mathbb {D} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{1}\times \mathbb {D} _{2}}$ ${\displaystyle \left(n_{1},n_{2}\right)\leq \left(m_{1},m_{2}\right)}$ ${\displaystyle n_{1}\leq m_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}\leq m_{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(n_{0},n_{1}\right)\leq \left(m_{0},m_{1}\right)}$ ${\displaystyle n_{0}\leq m_{0}}$ ${\displaystyle n_{1}\leq m_{1}.}$

Dirigido hacia un punto

Si es un número real , entonces el conjunto se puede convertir en un conjunto dirigido definiendo si (por lo que los elementos "mayores" están más cerca de ). Entonces decimos que los reales se han dirigido hacia Este es un ejemplo de un conjunto dirigido que no está ni parcialmente ordenado ni totalmente ordenado . Esto se debe a que la antisimetría se rompe para cada par y equidistantes de donde y están en lados opuestos de Explícitamente, esto sucede cuando para algún real en cuyo caso y aunque Si este preorden se hubiera definido en en lugar de entonces todavía formaría un conjunto dirigido pero ahora tendría un elemento más grande (único) , específicamente ; sin embargo, todavía no estaría parcialmente ordenado. Este ejemplo se puede generalizar a un espacio métrico definiendo en o el preorden si y solo si ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle I:=\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }$ ${\displaystyle a\leq _{I}b}$ ${\displaystyle \left|a-x_{0}\right|\geq \left|b-x_{0}\right|}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \{a,b\}=\left\{x_{0}-r,x_{0}+r\right\}}$ ${\displaystyle r\neq 0,}$ ${\displaystyle a\leq _{I}b}$ ${\displaystyle b\leq _{I}a}$ ${\displaystyle a\neq b.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus \left\{x_{0}\right\}}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle d\left(a,x_{0}\right)\geq d\left(b,x_{0}\right).}$

Elementos máximos y mayores

Un elemento de un conjunto preordenado es un elemento maximalista si para cada implica ^[5] Es un elemento máximo si para cada ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle j\in I,}$ ${\displaystyle m\leq j}$ ${\displaystyle j\leq m.}$ ${\displaystyle j\in I,}$ ${\displaystyle j\leq m.}$

Cualquier conjunto preordenado con un elemento mayor es un conjunto dirigido con el mismo preorden. Por ejemplo, en un conjunto parcial , cada clausura inferior de un elemento, es decir, cada subconjunto de la forma donde es un elemento fijo, es dirigido. ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \{a\in P:a\leq x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P,}$

Todo elemento máximo de un conjunto preordenado dirigido es un elemento máximo. De hecho, un conjunto preordenado dirigido se caracteriza por la igualdad de los conjuntos (posiblemente vacíos) de elementos máximos y máximos.

Inclusión de subconjuntos

La relación de inclusión de subconjuntos junto con su dualidad define órdenes parciales en cualquier familia dada de conjuntos . Una familia de conjuntos no vacía es un conjunto dirigido con respecto al orden parcial (respectivamente, ) si y solo si la intersección (respectivamente, unión) de dos de sus miembros cualesquiera contiene como subconjunto (respectivamente, está contenido como subconjunto de) algún tercer miembro. En símbolos, una familia de conjuntos está dirigida con respecto a (respectivamente, ) si y solo si ${\displaystyle \,\subseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

para todo existe algo tal que y (respectivamente, y ) ${\displaystyle A,B\in I,}$ ${\displaystyle C\in I}$ ${\displaystyle A\supseteq C}$ ${\displaystyle B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle B\subseteq C}$

o equivalentemente,

para todo existe alguno tal que (respectivamente, ). ${\displaystyle A,B\in I,}$ ${\displaystyle C\in I}$ ${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

Muchos ejemplos importantes de conjuntos dirigidos pueden definirse utilizando estos órdenes parciales. Por ejemplo, por definición, un prefiltro o una base de filtro es una familia no vacía de conjuntos que es un conjunto dirigido con respecto al orden parcial y que tampoco contiene el conjunto vacío (esta condición evita la trivialidad porque de lo contrario, el conjunto vacío sería entonces un elemento máximo con respecto a ). Todo π -sistema , que es una familia no vacía de conjuntos que está cerrada bajo la intersección de dos de sus miembros, es un conjunto dirigido con respecto a Todo λ-sistema es un conjunto dirigido con respecto a Todo filtro , topología y σ-álgebra es un conjunto dirigido con respecto a ambos y ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,.}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,.}$

Colas de redes

Por definición, una red es una función de un conjunto dirigido y una secuencia es una función de los números naturales. Toda secuencia se convierte canónicamente en una red al dotarse de ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq .\,}$

Si es cualquier red de un conjunto dirigido entonces para cualquier índice el conjunto se llama cola de comenzando en La familia de todas las colas es un conjunto dirigido con respecto a de hecho, es incluso un prefiltro. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle x_{\geq i}:=\left\{x_{j}:j\geq i{\text{ with }}j\in I\right\}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right):=\left\{x_{\geq i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \,\supseteq ;\,}$

Barrios

Si es un espacio topológico y es un punto en el conjunto de todos los vecindarios de se puede convertir en un conjunto dirigido escribiendo si y solo si contiene Para cada y  : ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle U\leq V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle U\leq U}$ya que se contiene a sí mismo. ${\displaystyle U}$
• si y entonces y lo cual implica Por lo tanto ${\displaystyle U\leq V}$ ${\displaystyle V\leq W,}$ ${\displaystyle U\supseteq V}$ ${\displaystyle V\supseteq W,}$ ${\displaystyle U\supseteq W.}$ ${\displaystyle U\leq W.}$
• porque y puesto que ambos y tenemos y ${\displaystyle x_{0}\in U\cap V,}$ ${\displaystyle U\supseteq U\cap V}$ ${\displaystyle V\supseteq U\cap V,}$ ${\displaystyle U\leq U\cap V}$ ${\displaystyle V\leq U\cap V.}$

Subconjuntos finitos

El conjunto de todos los subconjuntos finitos de un conjunto está dirigido con respecto a ya que dados dos cualesquiera su unión es un límite superior de y en Este conjunto dirigido particular se utiliza para definir la suma de una serie generalizada de una colección indexada de números (o más generalmente, la suma de elementos en un grupo topológico abeliano , como vectores en un espacio vectorial topológico ) como el límite de la red de sumas parciales que es: ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle A,B\in \operatorname {Finite} (I),}$ ${\displaystyle A\cup B\in \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I).}$ ${\displaystyle {\textstyle \sum \limits _{i\in I}}r_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {Finite} (I)\mapsto {\textstyle \sum \limits _{i\in F}}r_{i};}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}~:=~\lim _{F\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in F}r_{i}~=~\lim \left\{\sum _{i\in F}r_{i}\,:F\subseteq I,F{\text{ finite }}\right\}.}$$

Lógica

Sea una teoría formal , que es un conjunto de oraciones con ciertas propiedades (cuyos detalles se pueden encontrar en el artículo sobre el tema ). Por ejemplo, podría ser una teoría de primer orden (como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ) o una teoría de orden cero más simple . El conjunto preordenado es un conjunto dirigido porque si y si denota la oración formada por la conjunción lógica entonces y donde Si es el álgebra de Lindenbaum-Tarski asociada con entonces es un conjunto parcialmente ordenado que también es un conjunto dirigido. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S,\Leftarrow )}$ ${\displaystyle A,B\in S}$ ${\displaystyle C:=A\wedge B}$ ${\displaystyle \,\wedge ,\,}$ ${\displaystyle A\Leftarrow C}$ ${\displaystyle B\Leftarrow C}$ ${\displaystyle C\in S.}$ ${\displaystyle S/\sim }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(S/\sim ,\Leftarrow \right)}$

Contraste con semirretículas

Ejemplo de un conjunto dirigido que no es un semirretículo de unión

El conjunto dirigido es un concepto más general que el de semirretículo (de unión): cada semirretículo de unión es un conjunto dirigido, ya que el límite superior mínimo o de unión de dos elementos es el deseado. Sin embargo, el recíproco no se cumple, como lo demuestra el conjunto dirigido {1000,0001,1101,1011,1111} ordenado bit a bit (por ejemplo , se cumple, pero no, ya que en el último bit 1 > 0), donde {1000,0001} tiene tres límites superiores pero ningún límite superior mínimo , cf. imagen. (Obsérvese también que sin 1111, el conjunto no está dirigido). ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle 1000\leq 1011}$ ${\displaystyle 0001\leq 1000}$

Subconjuntos dirigidos

No se requiere que la relación de orden en un conjunto dirigido sea antisimétrica y, por lo tanto, los conjuntos dirigidos no siempre son órdenes parciales . Sin embargo, el término conjunto dirigido también se usa con frecuencia en el contexto de los conjuntos parciales. En este contexto, un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado se denomina subconjunto dirigido si es un conjunto dirigido según el mismo orden parcial: en otras palabras, no es el conjunto vacío y cada par de elementos tiene un límite superior. Aquí, la relación de orden en los elementos de se hereda de ; por esta razón, no es necesario exigir explícitamente la reflexividad y la transitividad. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$

No es necesario que un subconjunto dirigido de un conjunto parcial esté cerrado hacia abajo ; un subconjunto de un conjunto parcial está dirigido si y solo si su cierre hacia abajo es un ideal . Si bien la definición de un conjunto dirigido es para un conjunto "dirigido hacia arriba" (cada par de elementos tiene un límite superior), también es posible definir un conjunto dirigido hacia abajo en el que cada par de elementos tiene un límite inferior común. Un subconjunto de un conjunto parcial está dirigido hacia abajo si y solo si su cierre superior es un filtro .

Los subconjuntos dirigidos se utilizan en la teoría de dominios , que estudia los órdenes parciales dirigidos-completos . ^[6] Se trata de conjuntos parciales en los que se requiere que cada conjunto dirigido hacia arriba tenga un límite superior mínimo . En este contexto, los subconjuntos dirigidos proporcionan nuevamente una generalización de las secuencias convergentes. ^{[ se necesita más explicación ]}

Véase también

• Conjunto centrado  – Teoría del orden
• Categoría filtrada
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Conjunto enlazado  : concepto matemático sobre conjuntos parciales en la teoría del orden (parcial)
• Red (matemáticas)  – Una generalización de una secuencia de puntos

Notas

1. Kelley, pág. 65.
2. Robert S. Borden (1988). Un curso de cálculo avanzado . Courier Corporation. pág. 20. ISBN 978-0-486-15038-3.
3. Arlen Brown; Carl Pearcy (1995). Introducción al análisis . Springer. pág. 13. ISBN 978-1-4612-0787-0.
4. Siegfried Carl; Seppo Heikkilä (2010). Teoría del punto fijo en conjuntos ordenados y aplicaciones: de ecuaciones diferenciales e integrales a la teoría de juegos . Springer. pág. 77. ISBN 978-1-4419-7585-0.
5. Esto implica que si es un conjunto parcialmente ordenado . ${\displaystyle j=m}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$
6. Gierz, pág. 2.

Referencias

• JL Kelley (1955), Topología general .
• Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Redes y dominios continuos , Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1 .