Conjunto superior

Subconjunto de un preorden que contiene todos los elementos más grandes

Diagrama de Hasse de los divisores de , ordenados por la relación es divisor de , con el conjunto superior de color verde. Los conjuntos blancos forman el conjunto inferior. ${\displaystyle 210}$ ${\displaystyle \uparrow 2}$ ${\displaystyle \downarrow 105.}$

En matemáticas , un conjunto superior (también llamado conjunto cerrado hacia arriba , conjunto trastocado o conjunto isótono en X ) ^[1] de un conjunto parcialmente ordenado es un subconjunto con la siguiente propiedad: si s está en S y si x en X es mayor que s (es decir, si ), entonces x está en S. En otras palabras, esto significa que cualquier elemento x de X que sea a algún elemento de S es necesariamente también un elemento de S. El término conjunto inferior (también llamado conjunto cerrado hacia abajo , conjunto descendente , conjunto decreciente , segmento inicial o semiideal ) se define de manera similar como un subconjunto S de X con la propiedad de que cualquier elemento x de X que sea a algún elemento de S es necesariamente también un elemento de S. ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle s<x}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Definición

Sea un conjunto preordenado . Un conjunto superior en (también llamado conjunto cerrado hacia arriba , conjunto trastocado o conjunto isótono ) ^[1] es un subconjunto que está "cerrado bajo el principio de subir", en el sentido de que ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$

para todos y todas si entonces ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle u\leq x}$ ${\displaystyle x\in U.}$

La noción dual es un conjunto inferior (también llamado conjunto cerrado hacia abajo , conjunto descendente , conjunto decreciente , segmento inicial o semiideal ), que es un subconjunto que está "cerrado bajo el sentido descendente", en el sentido de que ${\displaystyle L\subseteq X}$

para todos y todas si entonces ${\displaystyle l\in L}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\leq l}$ ${\displaystyle x\in L.}$

Los términos ideal o orden ideal se utilizan a veces como sinónimos de conjunto inferior. ^{[2] [3] [4]} Esta elección de terminología no refleja la noción de un ideal de una red porque un conjunto inferior de una red no es necesariamente una subred. ^[2]

Propiedades

• Cada conjunto parcialmente ordenado es un conjunto superior de sí mismo.
• La intersección y la unión de cualquier familia de conjuntos superiores es nuevamente un conjunto superior.
• El complemento de cualquier conjunto superior es un conjunto inferior, y viceversa.
• Dado un conjunto parcialmente ordenado, la familia de conjuntos superiores ordenados con la relación de inclusión es una red completa , la red de conjuntos superiores . ${\displaystyle (X,\leq ),}$ ${\displaystyle X}$
• Dado un subconjunto arbitrario de un conjunto parcialmente ordenado, el conjunto superior más pequeño que lo contiene se denota mediante una flecha hacia arriba como (ver cierre superior y cierre inferior). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \uparrow Y}$
  • Dually, el conjunto inferior más pequeño que contiene se denota utilizando una flecha hacia abajo como ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \downarrow Y.}$
• Un conjunto inferior se llama principal si tiene la forma donde es un elemento de ${\displaystyle \downarrow \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$
• Todo conjunto inferior de un conjunto finito parcialmente ordenado es igual al conjunto inferior más pequeño que contiene todos los elementos máximos de ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
  • ${\displaystyle \downarrow Y=\downarrow \operatorname {Max} (Y)}$donde denota el conjunto que contiene los elementos máximos de ${\displaystyle \operatorname {Max} (Y)}$ ${\displaystyle Y.}$
• Un conjunto inferior dirigido se llama ideal de orden .
• Para órdenes parciales que satisfacen la condición de cadena descendente , las anticadenas y los conjuntos superiores están en correspondencia uno a uno a través de las siguientes biyecciones : mapear cada anticadena a su clausura superior (ver abajo); a la inversa, mapear cada conjunto superior al conjunto de sus elementos mínimos. Esta correspondencia no se cumple para órdenes parciales más generales; por ejemplo, los conjuntos de números reales y están mapeados ambos a la anticadena vacía. ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>0\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>1\}}$

Cierre superior y cierre inferior

Dado un elemento de un conjunto parcialmente ordenado, el cierre superior o cierre hacia arriba de denotado por o se define por mientras que el cierre inferior o cierre hacia abajo de , denotado por o se define por ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\leq ),}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle x^{\uparrow },}$ ${\displaystyle \uparrow \!x,}$ $${\displaystyle x^{\uparrow X}=\;\uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\downarrow X},}$ ${\displaystyle x^{\downarrow },}$ ${\displaystyle \downarrow \!x,}$ $${\displaystyle x^{\downarrow X}=\;\downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.}$$

Los conjuntos y son, respectivamente, los conjuntos superior e inferior más pequeños que contienen como un elemento. De manera más general, dado un subconjunto, se definen el cierre superior / ascendente y el cierre inferior / descendente de denotados por y respectivamente, como y ${\displaystyle \uparrow \!x}$ ${\displaystyle \downarrow \!x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle A^{\downarrow X}}$ $${\displaystyle A^{\uparrow X}=A^{\uparrow }=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a}$$ $${\displaystyle A^{\downarrow X}=A^{\downarrow }=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a.}$$

De esta manera, y donde los conjuntos superiores e inferiores de esta forma se denominan principales . La clausura superior y la clausura inferior de un conjunto son, respectivamente, el conjunto superior y el conjunto inferior más pequeños que lo contienen. ${\displaystyle \uparrow x=\uparrow \{x\}}$ ${\displaystyle \downarrow x=\downarrow \{x\},}$

Los cierres superior e inferior, cuando se consideran como funciones del conjunto potencia de a sí mismo, son ejemplos de operadores de cierre ya que satisfacen todos los axiomas de cierre de Kuratowski . Como resultado, el cierre superior de un conjunto es igual a la intersección de todos los conjuntos superiores que lo contienen, y lo mismo ocurre con los conjuntos inferiores. (De hecho, este es un fenómeno general de los operadores de cierre. Por ejemplo, el cierre topológico de un conjunto es la intersección de todos los conjuntos cerrados que lo contienen; el espacio de un conjunto de vectores es la intersección de todos los subespacios que lo contienen; el subgrupo generado por un subconjunto de un grupo es la intersección de todos los subgrupos que lo contienen; el ideal generado por un subconjunto de un anillo es la intersección de todos los ideales que lo contienen; y así sucesivamente). ${\displaystyle X}$

Números ordinales

Un número ordinal se identifica habitualmente con el conjunto de todos los números ordinales menores. De este modo, cada número ordinal forma un conjunto inferior en la clase de todos los números ordinales, que están totalmente ordenados por inclusión de conjuntos.

Véase también

• Complejo simplicial abstracto (también llamado: sistema de independencia ): una familia de conjuntos que está cerrada hacia abajo con respecto a la relación de contención.
• Conjunto cofinal : subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado que contiene para cada elemento algún elemento tal que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y.}$

Referencias

1. Dolecki y Mynard 2016, págs. 27-29.
2. Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (2002). Introducción a los enrejados y el orden (2.ª ed.). Cambridge University Press . pp. 20, 44. ISBN 0-521-78451-4. Número de serie LCCN  2001043910.
3. Stanley, RP (2002). Combinatoria enumerativa . Estudios de Cambridge sobre matemáticas avanzadas. Vol. 1. Cambridge University Press. pág. 100. ISBN 978-0-521-66351-9.
4. Lawson, MV (1998). Semigrupos inversos: la teoría de simetrías parciales . World Scientific. pág. 22. ISBN 978-981-02-3316-7.

• Blanck, J. (2000). "Representaciones de dominio de espacios topológicos" (PDF) . Theoretical Computer Science . 247 (1–2): 229–255. doi : 10.1016/s0304-3975(99)00045-6 .
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4.OCLC 945169917  .
• Hoffman, KH (2001), Los axiomas de baja separación (T0) y (T1)