Axiomas de cierre de Kuratowski

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , los axiomas de cierre de Kuratowski son un conjunto de axiomas que pueden usarse para definir una estructura topológica en un conjunto . Son equivalentes a la definición de conjunto abierto más comúnmente utilizada . Fueron formalizados por primera vez por Kazimierz Kuratowski , ^[1] y la idea fue estudiada más a fondo por matemáticos como Wacław Sierpiński y António Monteiro , ^[2] entre otros.

Se puede utilizar un conjunto similar de axiomas para definir una estructura topológica utilizando únicamente la noción dual de operador interior . ^[3]

Definición

Operadores de cierre de Kuratowski y debilitamientos.

Sea un conjunto arbitrario y su conjunto potencia . Un operador de cierre de Kuratowski es una operación unaria con las siguientes propiedades: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$

[K1] Conserva el conjunto vacío : ; ${\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$

[K2] Es extenso : para todos , ; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbf {c} (A)}$

[K3] Es idempotente : para todos , ; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))}$

[ K4] Preserva / distribuye sobre uniones binarias : para todos ,. ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)=\mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$

Una consecuencia de preservar las uniones binarias es la siguiente condición: ^[4] ${\displaystyle \mathbf {c} }$

[K4'] Es monótono : . ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (B)}$

De hecho, si reescribimos la igualdad en [K4] como una inclusión, dando el axioma más débil [K4''] ( subaditividad ):

[K4''] Es subaditivo : para todos , , ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)\subseteq \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$

entonces es fácil ver que los axiomas [K4'] y [K4''] juntos son equivalentes a [K4] (consulte el penúltimo párrafo de la Prueba 2 a continuación).

Kuratowski (1966) incluye un quinto axioma (opcional) que requiere que los conjuntos singleton sean estables bajo cierre: para todos ,. Se refiere a los espacios topológicos que satisfacen los cinco axiomas como espacios T ₁ en contraste con los espacios más generales que sólo satisfacen los cuatro axiomas enumerados. De hecho, estos espacios corresponden exactamente a los espacios topológicos T 1 mediante la correspondencia habitual (ver más abajo). ^[5] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$

Si se omite el requisito [K3] , entonces los axiomas definen un operador de cierre de Čech . ^[6] Si en su lugar se omite [K1] , entonces se dice que un operador que satisface [K2] , [K3] y [K4'] es un operador de cierre de Moore . ^[7] Un par se llama espacio de cierre de Kuratowski , Čech o Moore dependiendo de los axiomas satisfechos por . ${\displaystyle (X,\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

Axiomatizaciones alternativas

Los cuatro axiomas de cierre de Kuratowski pueden sustituirse por una única condición, dada por Pervin: ^[8]

[P] Para todos , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)\setminus \mathbf {c} (\varnothing )}$

Los axiomas [K1] – [K4] se pueden derivar como consecuencia de este requisito:

1. Elegir . Entonces , o . Esto implica inmediatamente [K1] . ${\displaystyle A=B=\varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \cup \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\mathbf {c} (\varnothing )\setminus \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$ ${\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\varnothing }$
2. Elija un arbitrario y . Luego, aplicando el axioma [K1] , , implicando [K2] . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B=\varnothing }$ ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (A)}$
3. Elija y un arbitrario . Luego, aplicando el axioma [K1] , que es [K3] . ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (B)}$
4. Elija arbitrario . Aplicando los axiomas [K1] – [K3] , se deriva [K4] . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$

Alternativamente, Monteiro (1945) había propuesto un axioma más débil que sólo implica [K2] – [K4] : ^[9]

[M] Para todos , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\textstyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))\subseteq \mathbf {c} (A\cup B)}$

El requisito [K1] es independiente de [M]  : de hecho, si , el operador definido por la asignación constante satisface [M] pero no conserva el conjunto vacío, ya que . Observe que, por definición, cualquier operador que satisfaga [M] es un operador de cierre de Moore. ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {c} ^{\star }(A):=X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }(\varnothing )=X}$

MO Botelho y MH Teixeira también demostraron que una alternativa más simétrica a [M] implica los axiomas [K2] – [K4] : ^[2]

[BT] Para todos , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\textstyle A\cup B\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)}$

Estructuras análogas

Operadores interiores, exteriores y de límites.

Una noción dual para los operadores de cierre de Kuratowski es la de operador interior de Kuratowski , que es un mapa que satisface los siguientes requisitos similares: ^[3] ${\displaystyle \mathbf {i} :\wp (X)\to \wp (X)}$

[I1] Preserva el espacio total : ; ${\displaystyle \mathbf {i} (X)=X}$

[E2] Es intensivo : para todos , ; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {i} (A)\subseteq A}$

[E3] Es idempotente : para todos , ; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {i} (\mathbf {i} (A))=\mathbf {i} (A)}$

[I4] Preserva las intersecciones binarias : para todos ,. ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {i} (A\cap B)=\mathbf {i} (A)\cap \mathbf {i} (B)}$

Para estos operadores se pueden llegar a conclusiones completamente análogas a las que se dedujeron de los cierres de Kuratowski. Por ejemplo, todos los operadores interiores de Kuratowski son isotónicos , es decir, satisfacen [K4'] y, debido a la intensidad [I2] , es posible debilitar la igualdad en [I3] a una simple inclusión.

La dualidad entre cierres e interiores de Kuratowski la proporciona el operador de complemento natural en el envío del mapa . Este mapa es una ortocomplementación en la red de conjuntos de potencias, lo que significa que satisface las leyes de De Morgan : si es un conjunto arbitrario de índices y , ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {n} :\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {n} (A):=X\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq \wp (X)}$

$${\displaystyle \mathbf {n} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}),\qquad \mathbf {n} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}).}$$

Al emplear estas leyes, junto con las propiedades definitorias de , se puede demostrar que cualquier interior de Kuratowski induce un cierre de Kuratowski (y viceversa), a través de la relación definitoria (y ). Cada resultado obtenido puede convertirse en un resultado empleando estas relaciones junto con las propiedades de la ortocomplementación . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} :=\mathbf {nin} }$ ${\displaystyle \mathbf {i} :=\mathbf {ncn} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {i} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Pervin (1964) proporciona además axiomas análogos para los operadores exteriores de Kuratowski ^[3] y los operadores de límites de Kuratowski , ^[10] que también inducen cierres de Kuratowski a través de las relaciones y . ${\displaystyle \mathbf {c} :=\mathbf {ne} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A):=A\cup \mathbf {b} (A)}$

Operadores abstractos

Tenga en cuenta que los axiomas [K1] – [K4] pueden adaptarse para definir una operación unaria abstracta en una red acotada general , sustituyendo formalmente la inclusión de la teoría de conjuntos con el orden parcial asociado a la red, la unión de la teoría de conjuntos con la operación de unión, y intersecciones de teoría de conjuntos con la operación de encuentro; de manera similar para los axiomas [I1] – [I4] . Si la red es ortocomplementada, estas dos operaciones abstractas se inducen entre sí de la forma habitual. Se pueden utilizar operadores interiores o de cierre abstracto para definir una topología generalizada en la red. ${\displaystyle \mathbf {c} :L\to L}$ ${\displaystyle (L,\land ,\lor ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )}$

Dado que ni las uniones ni el conjunto vacío aparecen en el requisito de un operador de cierre de Moore, la definición puede adaptarse para definir un operador unario abstracto en un poset arbitrario . ${\displaystyle \mathbf {c} :S\to S}$ ${\displaystyle S}$

Conexión con otras axiomatizaciones de la topología

Inducción de topología a partir del cierre.

Un operador de cierre naturalmente induce una topología de la siguiente manera. Sea un conjunto arbitrario. Diremos que un subconjunto está cerrado respecto de un operador de cierre de Kuratowski si y sólo si es un punto fijo de dicho operador, o en otras palabras es estable bajo , es decir . La afirmación es que la familia de todos los subconjuntos del espacio total que son complementos de conjuntos cerrados satisface los tres requisitos habituales para una topología o, de manera equivalente, la familia de todos los conjuntos cerrados satisface lo siguiente: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} (C)=C}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$

[T1] Es una subred acotada de , es decir ; ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X,\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$

[T2] ​​Es completo bajo intersecciones arbitrarias , es decir, si es un conjunto arbitrario de índices y , entonces ; ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$

[T3] Es completo bajo uniones finitas , es decir, si es un conjunto finito de índices y , entonces . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$

Observe que, por idempotencia [K3] , se puede escribir sucintamente . ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]=\operatorname {im} (\mathbf {c} )}$

Inducción de cierre desde topología.

Por el contrario, dada una familia que satisface los axiomas [T1] – [T3] , es posible construir un operador de cierre de Kuratowski de la siguiente manera: si y es la inclusión trastornada de , entonces ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle A^{\uparrow }=\{B\in \wp (X)\ |\ A\subseteq B\}}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A):=\bigcap _{B\in (\kappa \cap A^{\uparrow })}B}$$

define un operador de cierre de Kuratowski en . ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }}$ ${\displaystyle \wp (X)}$

Correspondencia exacta entre las dos estructuras.

De hecho, estas dos construcciones complementarias son inversas entre sí: if es la colección de todos los operadores de cierre de Kuratowski en , y es la colección de todas las familias que consisten en complementos de todos los conjuntos en una topología, es decir, la colección de todas las familias que satisfacen [T1 ] – [T3] , entonces tal que es una biyección, cuya inversa está dada por la asignación . ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}:\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)\to \mathrm {Atp} (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} \mapsto {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}:\kappa \mapsto \mathbf {c} _{\kappa }}$

Observamos que también se puede extender la biyección a la colección de todos los operadores de cierre de Čech, que contiene estrictamente ; esta extensión también es sobreyectiva, lo que significa que todos los operadores de cierre de Čech en también inducen una topología en . ^[11] Sin embargo, esto significa que ya no es una biyección. ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\check {C}}(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {S}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {S}}}}$

Ejemplos

• Como se analizó anteriormente, dado un espacio topológico podemos definir el cierre de cualquier subconjunto como el conjunto , es decir, la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen . El conjunto es el conjunto cerrado más pequeño que contiene y el operador es un operador de cierre de Kuratowski. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\bigcap \{C{\text{ a closed subset of }}X|A\subseteq C\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$
• Si hay algún conjunto, los operadores tales que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\top },\mathbf {c} _{\bot }:\wp (X)\to \wp (X)}$
  $${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }(A)={\begin{cases}\varnothing &A=\varnothing ,\\X&A\neq \varnothing ,\end{cases}}\qquad \mathbf {c} _{\bot }(A)=A\quad \forall A\in \wp (X),}$$
  son los cierres de Kuratowski. El primero induce la topología indiscreta , mientras que el segundo induce la topología discreta . ${\displaystyle \{\varnothing ,X\}}$ ${\displaystyle \wp (X)}$

• Fijad lo arbitrario , y dejadlo así para todos . Luego define un cierre de Kuratowski; la familia correspondiente de conjuntos cerrados coincide con la familia de todos los subconjuntos que contienen . Cuando , recuperamos una vez más la topología discreta (es decir , como se puede ver en las definiciones). ${\displaystyle S\subsetneq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}(A):=A\cup S}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{S}]}$ ${\displaystyle S^{\uparrow }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\varnothing }$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\varnothing }=\mathbf {c} _{\bot }}$
• Si es un número cardinal infinito tal que , entonces el operador tal que ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda \leq \operatorname {crd} (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }:\wp (X)\to \wp (X)}$
  $${\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }(A)={\begin{cases}A&\operatorname {crd} (A)<\lambda ,\\X&\operatorname {crd} (A)\geq \lambda \end{cases}}}$$
  Satisface los cuatro axiomas de Kuratowski. ^[12] Si , este operador induce la topología cofinita en ; si , induce la topología contable . ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda =\aleph _{1}}$

Propiedades

• Dado que cualquier cierre de Kuratowski es isotónico, y también lo es obviamente cualquier mapeo de inclusión, uno tiene la conexión (isotónica) de Galois , siempre que se vea como un poset con respecto a la inclusión y como un subposet de . De hecho, se puede verificar fácilmente que, para todos y , si y sólo si . ${\displaystyle \langle \mathbf {c} :\wp (X)\to \mathrm {im} (\mathbf {c} );\iota :\mathrm {im} (\mathbf {c} )\hookrightarrow \wp (X)\rangle }$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle C\in \mathrm {im} (\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\subseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq \iota (C)}$
• Si es una subfamilia de , entonces ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ ${\displaystyle \wp (X)}$
  $${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i})\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right),\qquad \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i}).}$$
• Si entonces . ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\setminus \mathbf {c} (B)\subseteq \mathbf {c} (A\setminus B)}$

Conceptos topológicos en términos de cierre.

Refinamientos y subespacios

Un par de cierres de Kuratowski tales que para todos inducen topologías tales que y viceversa. En otras palabras, domina si y sólo si la topología inducida por este último es un refinamiento de la topología inducida por el primero, o de manera equivalente . ^[13] Por ejemplo, domina claramente (siendo este último simplemente la identidad en ). Dado que se puede llegar a la misma conclusión sustituyendo con la familia que contiene los complementos de todos sus miembros, si está dotada del orden parcial para todos y está dotada del orden de refinamiento, entonces podemos concluir que es una correspondencia antitónica entre posets. ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{2}]}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\bot }}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle \kappa _{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} '(A)}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

En cualquier topología inducida (en relación con el subconjunto A ), los conjuntos cerrados inducen un nuevo operador de cierre que es simplemente el operador de cierre original restringido a A :, para todos . ^[14] ${\displaystyle \mathbf {c} _{A}(B)=A\cap \mathbf {c} _{X}(B)}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$

Mapas continuos, mapas cerrados y homeomorfismos.

Una función es continua en un punto si y si y es continua en todas partes si y ${\displaystyle f:(X,\mathbf {c} )\to (Y,\mathbf {c} ')}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A)\Rightarrow f(p)\in \mathbf {c} '(f(A))}$

$${\displaystyle f(\mathbf {c} (A))\subseteq \mathbf {c} '(f(A))}$$

^[15][16]homeomorfismo^[17] ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle f}$

Axiomas de separación

Sea un espacio de cierre de Kuratowski. Entonces ${\displaystyle (X,\mathbf {c} )}$

• ${\displaystyle X}$es un espacio T 0 sif implica ; ^[18] ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})\neq \mathbf {c} (\{y\})}$
• ${\displaystyle X}$es un espacio T 1 si para todos ; ^[19] ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$
• ${\displaystyle X}$es un espacio T 2 iff implica que existe un conjunto tal que tanto como , donde es el operador de complemento de conjunto. ^[20] ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle x\notin \mathbf {c} (A)}$ ${\displaystyle y\notin \mathbf {c} (\mathbf {n} (A))}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Cercanía y separación

Un punto está cerca de un subconjunto si Esto se puede utilizar para definir una relación de proximidad entre los puntos y subconjuntos de un conjunto. ^[21] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A).}$

Dos conjuntos están separados si y así . El espacio es conexo si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos separados. ^[22] ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$ ${\displaystyle (A\cap \mathbf {c} (B))\cup (B\cap \mathbf {c} (A))=\varnothing }$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos.
• Operador de cierre de Čech  – Operador de cierrePages displaying short descriptions of redirect targets
• Operador de cierre  – operador matemáticoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Álgebra de cierre  - Estructura algebraica
• Operador de precierre  – Operador de cierre
• Espacio pretopológico  - Espacio topológico generalizado
• Espacio topológico  - Espacio matemático con noción de cercanía

Notas

1. Kuratowski (1922).
2. Monteiro (1945), pág. 160.
3. Pervin (1964), pág. 44.
4. Pervin (1964), pág. 43, Ejercicio 6.
5. Kuratowski (1966), pág. 38.
6. Arkhangel'skij y Fedorchuk (1990), pág. 25.
7. "Cierre de Moore". nLaboratorio . 7 de marzo de 2015 . Consultado el 19 de agosto de 2019 .
8. Pervin (1964), pág. 42, Ejercicio 5.
9. Monteiro (1945), pág. 158.
10. Pervin (1964), pág. 46, Ejercicio 4.
11. Arkhangel'skij y Fedorchuk (1990), pág. 26.
12. Se puede encontrar una prueba del caso en "¿El siguiente es un operador de cierre de Kuratowski?". Intercambio de pila . 21 de noviembre de 2015. ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$
13. Pervin (1964), pág. 43, Ejercicio 10.
14. Pervin (1964), pág. 49, Teorema 3.4.3.
15. Pervin (1964), pág. 60, Teorema 4.3.1.
16. Pervin (1964), pág. 66, Ejercicio 3.
17. Pervin (1964), pág. 67, Ejercicio 5.
18. Pervin (1964), pág. 69, Teorema 5.1.1.
19. Pervin (1964), pág. 70, Teorema 5.1.2.
20. Puede encontrar una prueba en este enlace.
21. Pervin (1964), págs. 193-196.
22. Pervin (1964), pág. 51.

Referencias

• Kuratowski, Kazimierz (1922) [1920], "Sur l'opération A de l'Analysis Situs" [Sobre la operación A en Analysis Situs] (PDF) , Fundamenta Mathematicae (en francés), vol. 3, págs. 182-199.
• Kuratowski, Kazimierz (1966) [1958], Topología , vol. I, traducido por Jaworowski, J., Academic Press, ISBN 0-12-429201-1, LCCN  66029221.
  • —— (2010). "Sobre la Operación  Análisis Situs". Puerta de la investigación . Traducido por Mark Bowron.
• Pervin, William J. (1964), Boas, Ralph P. Jr. (ed.), Fundamentos de topología general , Academic Press, ISBN 9781483225159, LCCN  64-17796.
• Arkhangel'skij, AV; Fedorchuk, VV (1990) [1988], Gamkrelidze, RV; Arkhangel'skij, AV; Pontryagin, LS (eds.), Topología general I , Enciclopedia de ciencias matemáticas, vol. 17, traducido por O'Shea, DB, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-64767-3, LCCN  89-26209.
• Monteiro, António (1945), "Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome" [Caracterización de la operación de cierre por un solo axioma], Portugaliae mathematica (en francés), vol. 4, núm. 4, págs. 158–160, SEÑOR  0012310, Zbl  0060.39406.

enlaces externos

• Caracterizaciones alternativas de espacios topológicos