En el campo matemático de la teoría de conjuntos , un filtro genérico es un tipo de objeto utilizado en la teoría del forzamiento , una técnica utilizada para muchos propósitos, pero especialmente para establecer la independencia de ciertas proposiciones de ciertas teorías formales, como ZFC . Por ejemplo, Paul Cohen utilizó el forzamiento para establecer que ZFC, si es consistente, no puede probar la hipótesis del continuo , que afirma que hay exactamente números reales aleph-uno . En la reinterpretación contemporánea de la prueba de Cohen, se procede construyendo un filtro genérico que codifica más que los reales, sin cambiar el valor de .
Formalmente, sea P un conjunto parcialmente ordenado , y sea F un filtro sobre P ; es decir, F es un subconjunto de P tal que:
Ahora bien, si D es una colección de subconjuntos abiertos densos de P , en la topología cuyos conjuntos abiertos básicos son todos los conjuntos de la forma { q | q ≤ p } para p particular en P , entonces se dice que F es D -genérico si F cumple con todos los conjuntos en D ; es decir,
De manera similar, si M es un modelo transitivo de ZFC (o algún fragmento suficiente del mismo), con P un elemento de M , entonces se dice que F es M -genérico , o a veces genérico sobre M , si F cumple con todos los subconjuntos abiertos densos de P que son elementos de M .
