Paul Joseph Cohen (2 de abril de 1934 - 23 de marzo de 2007) [1] fue un matemático estadounidense. Es mejor conocido por sus pruebas de que la hipótesis del continuo y el axioma de elección son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , por lo que recibió la Medalla Fields . [2]
Cohen nació en Long Branch, Nueva Jersey , en el seno de una familia judía que había inmigrado a los Estados Unidos desde lo que hoy es Polonia ; Creció en Brooklyn . [3] [4] Se graduó en 1950, a los 16 años, de Stuyvesant High School en la ciudad de Nueva York . [1] [4]
Cohen luego estudió en el Brooklyn College de 1950 a 1953, pero lo dejó sin obtener su licenciatura cuando supo que podía comenzar sus estudios de posgrado en la Universidad de Chicago con solo dos años de universidad. En Chicago , Cohen completó su maestría en matemáticas en 1954 y su doctorado en Filosofía en 1958, bajo la supervisión de Antoni Zygmund . El título de su tesis doctoral fue Temas de la teoría de la unicidad de series trigonométricas . [5]
En 1957, antes de obtener su doctorado, Cohen fue nombrado profesor de Matemáticas en la Universidad de Rochester durante un año. Luego pasó el año académico 1958–59 en el Instituto de Tecnología de Massachusetts antes de pasar el período 1959–61 como miembro del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Fueron años en los que Cohen logró una serie de avances matemáticos importantes. En Factorización en álgebras de grupos (1959) demostró que cualquier función integrable en un grupo localmente compacto es la convolución de dos de esas funciones, resolviendo un problema planteado por Walter Rudin . En Cohen (1960) logró un avance significativo al resolver la conjetura de Littlewood. [6]
Cohen fue miembro de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias , [7] de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos , [8] y de la Sociedad Filosófica Estadounidense . [9] El 2 de junio de 1995, Cohen recibió un doctorado honorario de la Facultad de Ciencia y Tecnología de la Universidad de Uppsala , Suecia . [10]
Cohen se destaca por desarrollar una técnica matemática llamada forzamiento , que utilizó para demostrar que ni la hipótesis del continuo (CH) ni el axioma de elección pueden demostrarse a partir de los axiomas estándar de Zermelo-Fraenkel (ZF) de la teoría de conjuntos . En combinación con el trabajo anterior de Gödel , esto demostró que ambas afirmaciones son lógicamente independientes de los axiomas de ZF: estas afirmaciones no pueden ser demostradas ni refutadas a partir de estos axiomas. En este sentido, la hipótesis del continuo es indecidible y es el ejemplo más conocido de un enunciado natural que es independiente de los axiomas estándar ZF de la teoría de conjuntos.
Por su resultado sobre la hipótesis del continuo, Cohen ganó la Medalla Fields en matemáticas en 1966, y también la Medalla Nacional de Ciencias en 1967. [11] La Medalla Fields que ganó Cohen sigue siendo la única Medalla Fields otorgada por un trabajo. en lógica matemática, a partir de 2022.
Además de su trabajo en teoría de conjuntos, Cohen también hizo muchas contribuciones valiosas al análisis. Fue galardonado con el Premio Bôcher Memorial en análisis matemático en 1964 por su artículo "Sobre una conjetura de Littlewood y medidas idempotentes ", [12] y presta su nombre al teorema de factorización de Cohen-Hewitt .
Cohen era profesor titular de matemáticas en la Universidad de Stanford . Fue orador invitado en la ICM en 1962 en Estocolmo y en 1966 en Moscú.
Angus MacIntyre, de la Universidad Queen Mary de Londres, afirmó sobre Cohen: "Era tremendamente inteligente, y uno habría tenido que ser ingenuo o excepcionalmente altruista para plantearle el 'problema más difícil' al Paul que conocí en los años 60". Continuó comparando a Cohen con Kurt Gödel , diciendo: "No ha sucedido nada más dramático que su trabajo en la historia del tema". [13] El propio Gödel escribió una carta a Cohen en 1963, un borrador de la cual decía: "Permítanme repetir que es realmente un placer leer su prueba de la independencia de la hip[ótesis del cont[inuum]. Creo que en todos los aspectos esenciales usted ha dado las mejores pruebas posibles y esto no sucede frecuentemente. Leer sus pruebas tuvo para mí un efecto tan agradable como ver una obra realmente buena." [14]
Mientras estudiaba la hipótesis del continuo, se cita a Cohen diciendo en 1985 que había "tenido la sensación de que la gente pensaba que el problema era inútil, ya que no había ninguna manera nueva de construir modelos de teoría de conjuntos. De hecho, pensaban que había que ser un poco más Es una locura incluso pensar en el problema". [15]
Un punto de vista que el autor [Cohen] cree que eventualmente podrá llegar a ser aceptado es que CH es obviamente falso. La razón principal por la que uno acepta el axioma del infinito es probablemente que nos parece absurdo pensar que el proceso de sumar sólo un conjunto a la vez pueda agotar todo el universo. Lo mismo ocurre con los axiomas superiores del infinito. Ahora es la cardinalidad del conjunto de ordinales contables, y esta es simplemente una forma especial y la más sencilla de generar un cardinal superior. El conjunto [el continuo], por el contrario, es generado por un principio totalmente nuevo y más poderoso, a saber, el axioma del conjunto de potencias . No es razonable esperar que cualquier descripción de un cardenal más amplio que intente construir ese cardinal a partir de ideas derivadas del axioma de reemplazo pueda alcanzar alguna vez .
Por lo tanto, es mayor que , donde , etc. Este punto de vista considera un conjunto increíblemente rico que nos brinda un axioma nuevo y audaz, que nunca podrá abordarse mediante ningún proceso de construcción gradual. Quizás las generaciones futuras vean el problema con mayor claridad y se expresen con mayor elocuencia.
-Cohen (2008)
Un "producto duradero y poderoso" del trabajo de Cohen sobre la hipótesis del continuo, y que ha sido utilizado por "innumerables matemáticos" [15], se conoce como "forzamiento" , y se utiliza para construir modelos matemáticos para probar una hipótesis dada para verdad o falsedad.
Poco antes de su muerte, Cohen dio una conferencia en la que describió su solución al problema de la hipótesis del continuo en la conferencia del centenario de Gödel de 2006 en Viena . [dieciséis]
Cohen y su esposa, Christina (de soltera Karls), tuvieron tres hijos. Cohen murió el 23 de marzo de 2007, en Stanford, California , tras sufrir una enfermedad pulmonar . [17]
