Forzar (matemáticas)

Técnica inventada por Paul Cohen para demostrar resultados de coherencia e independencia

En la disciplina matemática de la teoría de conjuntos , el forzamiento es una técnica para demostrar resultados de consistencia e independencia . Intuitivamente, se puede considerar el forzamiento como una técnica para expandir el universo teórico establecido a un universo más grande mediante la introducción de un nuevo objeto "genérico" . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle G}$

El forzado fue utilizado por primera vez por Paul Cohen en 1963, para demostrar la independencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Ha sido considerablemente reelaborado y simplificado en los años siguientes, y desde entonces ha servido como una técnica poderosa, tanto en la teoría de conjuntos como en áreas de la lógica matemática como la teoría de la recursividad . La teoría descriptiva de conjuntos utiliza las nociones de forzamiento tanto de la teoría de la recursividad como de la teoría de conjuntos. El forzamiento también se ha utilizado en la teoría de modelos , pero es común en la teoría de modelos definir la genericidad directamente sin mencionar el forzamiento.

Intuición

El forzamiento suele utilizarse para construir un universo expandido que satisfaga alguna propiedad deseada. Por ejemplo, el universo expandido podría contener muchos números reales nuevos (al menos algunos de ellos), identificados con subconjuntos del conjunto de números naturales, que no existían en el universo antiguo, y por lo tanto violarían la hipótesis del continuo . ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Para justificar intuitivamente tal expansión, es mejor pensar en el "viejo universo" como un modelo de la teoría de conjuntos, que es en sí mismo un conjunto en el "universo real" . Según el teorema de Löwenheim-Skolem , se puede elegir que sea un modelo "básico" que sea contable externamente , lo que garantiza que habrá muchos subconjuntos (en ) de los que no están en . Específicamente, hay un ordinal que "juega el papel del cardenal " en , pero en realidad es contable en . Trabajando en , debería ser fácil encontrar un subconjunto distinto de por cada elemento de . (Para simplificar, esta familia de subconjuntos se puede caracterizar con un solo subconjunto ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$ ${\displaystyle X\subseteq \aleph _{2}^{M}\times \mathbb {N} }$

Sin embargo, en cierto sentido, puede ser deseable "construir el modelo ampliado internamente ". Esto ayudaría a garantizar que "se parezca" en ciertos aspectos, como ser igual (de manera más general, que no se produzca un colapso cardinal ) y permitiría un control preciso sobre las propiedades de . Más precisamente, a cada miembro de se le debe dar un nombre (no único) en . El nombre se puede pensar como una expresión en términos de , al igual que en una extensión de campo simple, cada elemento de se puede expresar en términos de . Un componente importante del forzamiento es manipular esos nombres internos , por lo que a veces puede ser útil pensar directamente en "el universo", sabiendo que la teoría del forzamiento garantiza que corresponderá a un modelo real. ${\displaystyle M[X]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[X]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \aleph _{2}^{M[X]}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$ ${\displaystyle M[X]}$ ${\displaystyle M[X]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=K(\theta )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[X]}$

Un punto sutil del forzamiento es que, si se considera un "subconjunto faltante" arbitrario de algún conjunto en , entonces el "dentro" construido puede ni siquiera ser un modelo. Esto se debe a que puede codificar información "especial" que es invisible en su interior (por ejemplo, la contabilidad de ) y, por tanto, probar la existencia de conjuntos que son "demasiado complejos para describirlos". ^{[1] [2]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[X]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Forzar evita tales problemas al requerir que el conjunto recién introducido sea un conjunto genérico relativo a . ^[1] Algunas declaraciones están "obligadas" a ser válidas para cualquier genérico : por ejemplo, un genérico está "obligado" a ser infinito. Además, cualquier propiedad (descriptible en ) de un conjunto genérico está "obligada" a mantenerse bajo alguna condición forzada . El concepto de "forzamiento" se puede definir en , y proporciona suficiente poder de razonamiento para demostrar que efectivamente es un modelo que satisface las propiedades deseadas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[X]}$

La técnica original de Cohen, ahora llamada forzamiento ramificado , es ligeramente diferente del forzamiento no ramificado expuesto aquí. Forzar también es equivalente al método de los modelos con valores booleanos , que algunos consideran conceptualmente más natural e intuitivo, pero normalmente mucho más difícil de aplicar. ^[3]

El papel del modelo.

Para que el enfoque anterior funcione sin problemas, debe haber un modelo transitivo estándar en , de modo que la membresía y otras nociones elementales puedan manejarse intuitivamente tanto en como en . Se puede obtener un modelo transitivo estándar a partir de cualquier modelo estándar mediante el lema de colapso de Mostowski , pero la existencia de cualquier modelo estándar de (o cualquier variante del mismo) es en sí misma una suposición más fuerte que la consistencia de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Para solucionar este problema, una técnica estándar es dejar un modelo transitivo estándar de un subconjunto finito arbitrario de (cualquier axiomatización de tiene al menos un esquema de axioma y, por lo tanto, un número infinito de axiomas), cuya existencia está garantizada por El principio de reflexión . Como el objetivo de un argumento forzado es demostrar resultados de consistencia , esto es suficiente ya que cualquier inconsistencia en una teoría debe manifestarse con una derivación de una longitud finita y, por lo tanto, involucrar solo un número finito de axiomas. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Condiciones forzadas y posturas forzadas.

Cada condición forzada puede considerarse como una información finita sobre el objeto adjunto al modelo. Hay muchas formas diferentes de proporcionar información sobre un objeto, lo que da lugar a diferentes nociones de forzamiento . Un enfoque general para formalizar las nociones de forzamiento es considerar las condiciones de forzamiento como objetos abstractos con una estructura poset . ${\displaystyle X}$

Un poset forzado es un triple ordenado, , donde hay un preorden en , y es el elemento más grande. Los miembros de son las condiciones forzadas (o simplemente condiciones ). La relación de orden significa " es más fuerte que ". (Intuitivamente, la condición "más pequeña" proporciona "más" información, al igual que el intervalo más pequeño proporciona más información sobre el número π que el intervalo ). Además, el preorden debe ser sin átomos , lo que significa que debe satisfacer la condición de división : ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle p\leq q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle [3.1415926,3.1415927]}$ ${\displaystyle [3.1,3.2]}$ ${\displaystyle \leq }$

• Para cada uno hay tales que , sin tal que . ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle q,r\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle q,r\leq p}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle s\leq q,r}$

En otras palabras, debe ser posible fortalecer cualquier condición forzada en al menos dos direcciones incompatibles. Intuitivamente, esto se debe a que es solo una información finita, mientras que para determinar se necesita una información infinita . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

Hay varias convenciones en uso. Algunos autores exigen que sea también antisimétrico , para que la relación sea de orden parcial . Algunos usan el término orden parcial de todos modos, lo que entra en conflicto con la terminología estándar, mientras que otros usan el término pedido anticipado . Se puede prescindir del elemento más grande. También se utiliza el orden inverso, sobre todo por Saharon Shelah y sus coautores. ${\displaystyle \leq }$

Ejemplos

Sea cualquier conjunto infinito (como ) y sea el objeto genérico en cuestión un nuevo subconjunto . En la formulación original de cohen sobre forzamiento, cada condición forzada es un conjunto finito de oraciones, ya sea de la forma o , que son autoconsistentes (es decir, y para el mismo valor de no aparecen en la misma condición). Esta noción de forzamiento suele denominarse forzamiento de Cohen . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X\subseteq S}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle a\notin X}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle a\notin X}$ ${\displaystyle a}$

El poset de forzamiento para el forzamiento de Cohen se puede escribir formalmente como , las funciones parciales finitas desde hasta bajo inclusión inversa . El forzado de Cohen satisface la condición de división porque dada cualquier condición , siempre se puede encontrar un elemento no mencionado en y agregar la oración o para obtener dos nuevas condiciones forzadas, incompatibles entre sí. ${\displaystyle (\operatorname {Fin} (S,2),\supseteq ,0)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a\in S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle a\notin X}$ ${\displaystyle p}$

Otro ejemplo instructivo de un poset forzado es donde y es la colección de subconjuntos de Borel con medida de Lebesgue distinta de cero . El objeto genérico asociado con este poset forzado es un número real aleatorio . Se puede demostrar que cae en cada subconjunto de Borel con medida 1, siempre que el subconjunto de Borel esté "descrito" en el universo original no expandido (esto se puede formalizar con el concepto de códigos de Borel ). Cada condición forzada puede considerarse como un evento aleatorio con una probabilidad igual a su medida. Debido a la fácil intuición que este ejemplo puede proporcionar, el lenguaje probabilístico a veces se utiliza con otros posets de forzamiento divergentes. ${\displaystyle (\operatorname {Bor} (I),\subseteq ,I)}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r\in [0,1]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Filtros genéricos

Aunque cada condición forzada individual no puede determinar completamente el objeto genérico , el conjunto de todas las condiciones forzadas verdaderas sí lo determina . De hecho, sin pérdida de generalidad, comúnmente se considera que es el objeto genérico contiguo a , por lo que se denomina modelo expandido . Generalmente es bastante fácil demostrar que el objeto originalmente deseado está efectivamente en el modelo . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[G]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M[G]}$

Según esta convención, el concepto de "objeto genérico" puede describirse de forma general. Específicamente, el conjunto debe ser un filtro genérico en relación con . La condición de " filtro " significa que tiene sentido que sea un conjunto de todas las condiciones de forzamiento verdaderas: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} ;}$
• ${\displaystyle \mathbf {1} \in G;}$
• si entonces ${\displaystyle p\geq q\in G}$ ${\displaystyle p\in G;}$
• si entonces existe tal que ${\displaystyle p,q\in G}$ ${\displaystyle r\in G}$ ${\displaystyle r\leq p,q.}$

Porque ser "genérico relativo a " significa: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$

• Si es un subconjunto "denso" de (es decir, para cada uno , existe tal que ), entonces . ${\displaystyle D\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle q\in D}$ ${\displaystyle q\leq p}$ ${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$

Dado que es un modelo contable, la existencia de un filtro genérico se deriva del lema de Rasiowa-Sikorski . De hecho, algo más es cierto: dada una condición , se puede encontrar un filtro genérico tal que . Debido a la condición de división , si es un filtro, entonces es denso. Si , entonces porque es un modelo de . Por este motivo, nunca hay un filtro genérico en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\in G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G}$ ${\displaystyle G\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle M}$

P-nombres e interpretaciones

Asociada con un poset forzado está la clase de -nombres . Un -name es un conjunto de la forma ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{is a}}~\mathbb {P} {\text{-name and}}~p\in \mathbb {P} \}.}$

Dado cualquier filtro en , el mapa de interpretación o valoración de -names viene dado por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \operatorname {val} (u,G)=\{\operatorname {val} (v,G)\mid \exists p\in G:~(v,p)\in u\}.}$

Los -nombres son, en realidad, una expansión del universo . Dado , uno define como el -nombre ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle {\check {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle {\check {x}}=\{({\check {y}},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.}$

Desde entonces , se deduce que . En cierto sentido, es un "nombre para " que no depende de la elección específica de . ${\displaystyle \mathbf {1} \in G}$ ${\displaystyle \operatorname {val} ({\check {x}},G)=x}$ ${\displaystyle {\check {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$

Esto también permite definir un "nombre para " sin hacer referencia explícita a : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\underline {G}}=\{({\check {p}},p)\mid p\in \mathbb {P} \}}$

de modo que . ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {G}},G)=\{\operatorname {val} ({\check {p}},G)\mid p\in G\}=G}$

Definiciones rigurosas

Los conceptos de -nombres, interpretaciones y en realidad se definen mediante recursividad transfinita . Con el conjunto vacío, el ordinal sucesor de ordinal , el operador de conjunto de potencias y un ordinal límite , defina la siguiente jerarquía: ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle {\check {x}}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Name} (\varnothing )&=\varnothing ,\\\operatorname {Name} (\alpha +1)&={\mathcal {P}}(\operatorname {Name} (\alpha )\times \mathbb {P} ),\\\operatorname {Name} (\lambda )&=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )\mid \alpha <\lambda \}.\end{aligned}}}$

Entonces la clase de -names se define como ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )~|~\alpha ~{\text{is an ordinal}}\}.}$

El mapa de interpretación y el mapa se pueden definir de manera similar con una construcción jerárquica. ${\displaystyle x\mapsto {\check {x}}}$

forzando

Dado un filtro genérico , se procede de la siguiente manera. La subclase de -names en se denota . Dejar ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{(\mathbb {P} )}}$

${\displaystyle M[G]=\left\{\operatorname {val} (u,G)~{\Big |}~u\in M^{(\mathbb {P} )}\right\}.}$

Para reducir el estudio de la teoría de conjuntos de al de , se trabaja con el "lenguaje forzado", que se construye como la lógica ordinaria de primer orden , con la pertenencia como relación binaria y todos los nombres como constantes. ${\displaystyle M[G]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Definir (que debe leerse como " fuerzas en el modelo con poset "), donde es una condición, es una fórmula en el lenguaje de forzado, y los 'son -nombres, para significar que si es un filtro genérico que contiene , entonces . El caso especial suele escribirse como " " o simplemente " ". Tales afirmaciones son ciertas en cualquier caso . ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$ ${\displaystyle \mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$ ${\displaystyle M[G]}$ ${\displaystyle G}$

Lo importante es que esta definición externa de la relación forzada es equivalente a una definición interna dentro de , definida por inducción transfinita (específicamente -inducción ) sobre los nombres en instancias de y , y luego por inducción ordinaria sobre la complejidad de las fórmulas. Esto tiene el efecto de que todas las propiedades de son realmente propiedades de y la verificación de in se vuelve sencilla. Esto generalmente se resume en las siguientes tres propiedades clave: ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle u\in v}$ ${\displaystyle u=v}$ ${\displaystyle M[G]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle M[G]}$

• Verdad : si y sólo si es forzado por , es decir, por alguna condición , lo tenemos . ${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\in G}$ ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$
• Definibilidad : La declaración " " se puede definir en . ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$ ${\displaystyle M}$
• Coherencia : . ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$

Definición interna

Hay muchas formas diferentes pero equivalentes de definir la relación de forzamiento en . ^[4] Una forma de simplificar la definición es definir primero una relación de forzamiento modificada que sea estrictamente más fuerte que . La relación modificada todavía satisface las tres propiedades clave del forzamiento, pero y no son necesariamente equivalentes incluso si las fórmulas de primer orden y son equivalentes. La relación de forzamiento no modificada se puede definir entonces como ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$ ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi }$ ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi '}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi '}$

$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi \iff p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \neg \varphi .}$$

^[3] ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$

La relación de forzamiento modificada se puede definir recursivamente de la siguiente manera: ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$

1. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\in v}$medio ${\displaystyle (\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w=u).}$
2. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\neq v}$medio ${\displaystyle (\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin u)\vee (\exists (w,q)\in u)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin v).}$
3. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \varphi }$medio ${\displaystyle \neg (\exists q\leq p)(q\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi ).}$
4. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}(\varphi \vee \psi )}$medio ${\displaystyle (p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi )\vee (p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\psi ).}$
5. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\exists x\,\varphi (x)}$medio ${\displaystyle (\exists u\in M^{(\mathbb {P} )})(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi (u)).}$

Otros símbolos del lenguaje forzado se pueden definir en términos de estos símbolos: por ejemplo, medios , medios , etc. Los casos 1 y 2 dependen entre sí y del caso 3, pero la recursividad siempre se refiere a -nombres con rangos menores , por lo que La inducción transfinita permite que se realice la definición. ${\displaystyle u=v}$ ${\displaystyle \neg (u\neq v)}$ ${\displaystyle \forall x\,\varphi (x)}$ ${\displaystyle \neg \exists x\,\neg \varphi (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Por construcción, (y por tanto ) satisface automáticamente la Definibilidad . La prueba que también satisface la Verdad y la Coherencia es la inspección inductiva de cada uno de los cinco casos anteriores. Los casos 4 y 5 son triviales (gracias a la elección de y como símbolos elementales ^[5] ), los casos 1 y 2 se basan únicamente en el supuesto de que es un filtro, y sólo el caso 3 requiere ser un filtro genérico . ^[3] ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Formalmente, una definición interna de la relación forzada (como la presentada anteriormente) es en realidad una transformación de una fórmula arbitraria en otra fórmula donde y son variables adicionales. El modelo no aparece explícitamente en la transformación (tenga en cuenta que dentro de , simplemente significa " es un -nombre") y, de hecho, uno puede tomar esta transformación como una definición "sintáctica" de la relación de fuerza en el universo de todos los conjuntos independientemente de cualquier modelo transitivo contable. Sin embargo, si uno quiere forzar algún modelo transitivo contable , entonces la última fórmula debe interpretarse como (es decir, con todos los cuantificadores sólo sobre ), en cuyo caso es equivalente a la definición "semántica" externa de descrita en la parte superior de esta sección: ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\dots ,u_{n})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u\in M^{(\mathbb {P} )}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$

Para cualquier fórmula existe un teorema de la teoría (por ejemplo, conjunción de un número finito de axiomas) tal que para cualquier modelo transitivo contable tal que y cualquier orden parcial sin átomos y cualquier filtro genérico sobre ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\models T}$ ${\displaystyle \mathbb {P} \in M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle (\forall a_{1},\ldots ,a_{n}\in M^{\mathbb {P} })(\forall p\in \mathbb {P} )(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})\,\Leftrightarrow \,M\models p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})).}$$

Éste es el sentido en el que la relación de fuerza es realmente "definible en ". ${\displaystyle M}$

Consistencia

La discusión anterior se puede resumir en el resultado de consistencia fundamental de que, dado un poset forzador , podemos asumir la existencia de un filtro genérico , que no pertenece al universo , tal que nuevamente es un universo de teoría de conjuntos que modela . Además, todas las verdades en pueden reducirse a verdades en que involucran la relación de fuerza. ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle V}$

Ambos estilos, adjuntos a un modelo transitivo contable o al universo completo , se utilizan comúnmente. Se ve menos comúnmente el enfoque que utiliza la definición "interna" de forzamiento, en el que no se hace mención de modelos de conjuntos o clases. Este era el método original de Cohen y, en una elaboración, se convierte en el método de análisis de valores booleanos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$

Cohen forzando

El poset de forzamiento no trivial más simple es , las funciones parciales finitas desde hasta bajo inclusión inversa . Es decir, una condición es esencialmente dos subconjuntos finitos disjuntos y de , que deben considerarse como las partes "sí" y "no" de , sin proporcionar información sobre valores fuera del dominio de . " es más fuerte que " significa que , en otras palabras, las partes "sí" y "no" de son superconjuntos de las partes "sí" y "no" de y, en ese sentido, proporcionan más información. ${\displaystyle (\operatorname {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,0)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {p^{-1}}[1]}$ ${\displaystyle {p^{-1}}[0]}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q\supseteq p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Sea un filtro genérico para este poset. Si y están ambos en , entonces es una condición porque es un filtro. Esto significa que es una función parcial bien definida desde hasta porque dos condiciones cualesquiera coinciden en su dominio común. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\cup q}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g=\bigcup G}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle G}$

De hecho, es una función total. Dado , vamos . Entonces es denso. (Dado cualquiera , si no está en el dominio de, agregue un valor para : el resultado está en ). Una condición tiene en su dominio, y como , encontramos que está definida. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n\in \omega }$ ${\displaystyle D_{n}=\{p\mid p(n)~{\text{is defined}}\}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle p\in G\cap D_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p\subseteq g}$ ${\displaystyle g(n)}$

Sea , el conjunto de todos los miembros "sí" de las condiciones genéricas. Es posible darle un nombre directamente. Dejar ${\displaystyle X={g^{-1}}[1]}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\underline {X}}=\left\{\left({\check {n}},p\right)\mid p(n)=1\right\}.}$

Entonces supongamos ahora que en . Eso lo afirmamos . Dejar ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {X}},G)=X.}$ ${\displaystyle A\subseteq \omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X\neq A}$

${\displaystyle D_{A}=\{p\mid (\exists n)(n\in \operatorname {Dom} (p)\land (p(n)=1\iff n\notin A))\}.}$

Entonces es denso. (Dado cualquiera , busque que no esté en su dominio y agregue un valor contrario al estado de " ".) Luego, cualquier testigo . En resumen, es un "nuevo" subconjunto de , necesariamente infinito. ${\displaystyle D_{A}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in A}$ ${\displaystyle p\in G\cap D_{A}}$ ${\displaystyle X\neq A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$

Reemplazando con , es decir, considere funciones parciales finitas cuyas entradas sean de la forma , con y , y cuyas salidas sean o , se obtienen nuevos subconjuntos de . Todos son distintos, por un argumento de densidad: dado , sea ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \times \omega _{2}}$ ${\displaystyle (n,\alpha )}$ ${\displaystyle n<\omega }$ ${\displaystyle \alpha <\omega _{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha <\beta <\omega _{2}}$

${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid (\exists n)(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta ))\},}$

entonces cada uno es denso, y una condición genérica en él demuestra que el α-ésimo nuevo conjunto no está de acuerdo en algún punto con el ésimo nuevo conjunto. ${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle \beta }$

Esta no es todavía la refutación de la hipótesis del continuo. Hay que demostrar que no se han introducido nuevos mapas que se asignen a , o sobre . Por ejemplo, si en cambio se consideran funciones parciales finitas de a , el primer ordinal incontable , se obtiene una biyección de a . En otras palabras, se ha derrumbado , y en la extensión forzada, es un ordinal contable. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\omega _{1})}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Entonces, el último paso para demostrar la independencia de la hipótesis del continuo es demostrar que el forzamiento de Cohen no colapsa los cardinales. Para ello, una propiedad combinatoria suficiente es que todas las anticadenas del poset forzante sean contables.

La condición de la cadena contable.

Una anticadena (fuerte) de es un subconjunto tal que si y , entonces y son incompatibles (escrito ), lo que significa que no existe tal que y . En el ejemplo de los conjuntos de Borel, la incompatibilidad significa que tiene medida cero. En el ejemplo de funciones parciales finitas, la incompatibilidad significa que no es una función, en otras palabras, y asigna valores diferentes a alguna entrada de dominio. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle p,q\in A}$ ${\displaystyle p\neq q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\perp q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle r\leq p}$ ${\displaystyle r\leq q}$ ${\displaystyle p\cap q}$ ${\displaystyle p\cup q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbb {P} }$Satisface la condición de cadena contable (ccc) si y solo si cada anticadena es contable. (El nombre, que es obviamente inapropiado, es un vestigio de una terminología más antigua. Algunos matemáticos escriben "cac" para "condición anticadena contable".) ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Es fácil ver que satisface el ccc porque las medidas suman como máximo . Además, satisface el ccc, pero la prueba es más difícil. ${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$

Dada una subfamilia incontable , reduzca a una subfamilia incontable de conjuntos de tamaño , para algunos . Si es para muchos incontables , reduzca esto a una subfamilia incontable y repita, obteniendo un conjunto finito y una familia incontable de condiciones de tamaño incompatibles, de modo que cada uno sea como máximo para muchos contables . Ahora, elija un , cualquiera que no sea uno de los muchos miembros que tienen un miembro de dominio en común con . Entonces y son compatibles, por lo que no es una anticadena. En otras palabras, las anticadenas son contables. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle W\subseteq \operatorname {Fin} (E,2)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n<\omega }$ ${\displaystyle p(e_{1})=b_{1}}$ ${\displaystyle p\in W_{0}}$ ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (p)}$ ${\displaystyle p\in W_{k}}$ ${\displaystyle p\in W_{k}}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$ ${\displaystyle q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$

La importancia de las anticadenas en el forzamiento es que, para la mayoría de los propósitos, los conjuntos densos y las anticadenas máximas son equivalentes. Una anticadena máxima es aquella que no se puede extender a una anticadena más grande. Esto significa que cada elemento es compatible con algún miembro de . La existencia de una anticadena máxima se deriva del lema de Zorn . Dada una anticadena máxima , sea ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle D=\left\{p\in \mathbb {P} \mid (\exists q\in A)(p\leq q)\right\}.}$

Entonces es denso, y si y sólo si . Por el contrario, dado un conjunto denso , el lema de Zorn muestra que existe una anticadena máxima , y ​​luego si y sólo si . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A\subseteq D}$ ${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$

Supongamos que satisface el ccc Dado , con una función en , se puede aproximar el interior de la siguiente manera. Sea un nombre para (según la definición de ) y sea una condición que obliga a ser una función de a . Definir una función , por ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle f:x\to y}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F:x\to {\mathcal {P}}(y)}$

${\displaystyle F(a){\stackrel {\text{df}}{=}}\left\{b\left|(\exists q\in \mathbb {P} )\left[(q\leq p)\land \left(q\Vdash ~u\left({\check {a}}\right)={\check {b}}\right)\right]\right\}.\right.}$

Por la definibilidad de forzar, esta definición tiene sentido dentro de . Por la coherencia del forzamiento, lo diferente procede de lo incompatible . Por ccc, es contable. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(a)}$

En resumen, se desconoce porque depende de , pero no es del todo desconocido para un forzado ccc. Se puede identificar un conjunto contable de conjeturas sobre cuál es el valor de en cualquier entrada, independientemente de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

Esto tiene la siguiente consecuencia muy importante. Si en , hay una sobreyección de un ordinal infinito sobre otro, entonces hay una sobreyección en y , en consecuencia, una sobreyección en . En particular, los cardenales no pueden colapsar. La conclusión es que en . ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle f:\alpha \to \beta }$ ${\displaystyle g:\omega \times \alpha \to \beta }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h:\alpha \to \beta }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}}$ ${\displaystyle V[G]}$

Easton forzando

El valor exacto del continuo en el modelo de Cohen anterior, y variantes como para los cardenales en general, fue elaborado por Robert M. Solovay , quien también descubrió cómo violar (la hipótesis del continuo generalizado ), solo para cardenales regulares , un finito. numero de veces. Por ejemplo, en el modelo de Cohen anterior, si se mantiene en , entonces se mantiene en . ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \kappa ,2)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {CH}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$ ${\displaystyle V[G]}$

William B. Easton elaboró ​​la versión de clase adecuada de la violación de los cardenales regulares, mostrando básicamente que las restricciones conocidas (monotonicidad, teorema de Cantor y teorema de König ) eran las únicas restricciones demostrables (ver Teorema de Easton ). ${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

El trabajo de Easton fue notable porque implicó forzar con una clase adecuada de condiciones. En general, el método de forzar con una clase adecuada de condiciones no proporciona un modelo de . Por ejemplo, forzar con , donde está la clase adecuada de todos los ordinales, convierte al continuo en una clase adecuada. Por otro lado, forzar con introduce una enumeración contable de los ordinales. En ambos casos, el resultado no es visiblemente un modelo de . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \mathbf {On} ,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {On} }$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\mathbf {On} )}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Hubo un tiempo en que se pensó que un forzamiento más sofisticado también permitiría una variación arbitraria en los poderes de los cardenales singulares . Sin embargo, esto ha resultado ser un problema difícil, sutil e incluso sorprendente, con varias restricciones más demostrables en y con los modelos de forzamiento dependiendo de la consistencia de varias propiedades cardinales grandes . Quedan muchos problemas abiertos. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

reales aleatorios

El forzamiento aleatorio se puede definir como forzar sobre el conjunto de todos los subconjuntos compactos de medida positiva ordenados por relación (el conjunto más pequeño en el contexto de inclusión es un conjunto más pequeño en el ordenamiento y representa la condición con más información). Hay dos tipos de conjuntos densos importantes: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \subseteq }$

1. Para cualquier entero positivo el conjunto ${\displaystyle n}$
   $${\displaystyle D_{n}=\left\{p\in P:\operatorname {diam} (p)<{\frac {1}{n}}\right\}}$$
   es denso, donde es el diámetro del conjunto . ${\displaystyle \operatorname {diam} (p)}$ ${\displaystyle p}$
2. Para cualquier subconjunto de Borel de la medida 1, el conjunto ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$
   $${\displaystyle D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}}$$
   es denso.

Para cualquier filtro y para cualquier número finito de elementos existe uno que se cumple . En el caso de este orden, esto significa que cualquier filtro es un conjunto de conjuntos compactos con propiedad de intersección finita. Por este motivo, la intersección de todos los elementos de cualquier filtro no está vacía. Si hay un filtro que cruza el conjunto denso para cualquier número entero positivo , entonces el filtro contiene condiciones de diámetro positivo arbitrariamente pequeño. Por lo tanto, la intersección de todas las condiciones tiene diámetro 0. Pero los únicos conjuntos no vacíos de diámetro 0 son singletons. Entonces hay exactamente un número real tal que . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in G}$ ${\displaystyle q\in G}$ ${\displaystyle q\leq p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r_{G}}$ ${\displaystyle r_{G}\in \bigcap G}$

Sea cualquier conjunto de Borel de medida 1. Si se cruza , entonces . ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D_{B}}$ ${\displaystyle r_{G}\in B}$

Sin embargo, no existe un filtro genérico sobre un modelo transitivo contable . Lo real definido por probablemente no es un elemento de . El problema es que si , entonces " es compacto", pero desde el punto de vista de un universo más grande , puede no ser compacto y la intersección de todas las condiciones del filtro genérico está realmente vacía. Por esta razón, consideramos el conjunto de cierres topológicos de condiciones de G (es decir, ). Debido a y la propiedad de intersección finita de , el conjunto también tiene la propiedad de intersección finita. Los elementos del conjunto son conjuntos cerrados acotados como cierres de conjuntos acotados. ^{[ se necesita aclaración ]} Por lo tanto, es un conjunto de conjuntos compactos ^{[ se necesita aclaración ]} con la propiedad de intersección finita y, por lo tanto, tiene una intersección no vacía. Dado que y el modelo terrestre hereda una métrica del universo , el conjunto tiene elementos de diámetro arbitrariamente pequeño. Finalmente, hay exactamente un real que pertenece a todos los miembros del conjunto . El filtro genérico se puede reconstruir como . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r_{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle V\models }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U\supset V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C=\{{\bar {p}}:p\in G\}}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=p\cup \{\inf(p)\}\cup \{\sup(p)\}}$ ${\displaystyle {\bar {p}}\supseteq p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} ({\bar {p}})=\operatorname {diam} (p)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r_{G}}$ ${\displaystyle G=\{p\in P:r_{G}\in {\bar {p}}\}}$

Si es el nombre de , ^{[ se necesita aclaración ]} y para " es el conjunto de Borel de medida 1", entonces se mantiene ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r_{G}}$ ${\displaystyle B\in V}$ ${\displaystyle V\models }$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)}$

para algunos . Hay un nombre que sirve para cualquier filtro genérico. ${\displaystyle p\in G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \operatorname {val} (a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}}.}$

Entonces

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)}$

es válido para cualquier condición . ${\displaystyle p}$

Cada conjunto de Borel se puede construir, de forma no única, a partir de intervalos con puntos finales racionales y aplicando las operaciones de complemento y uniones contables, un número contable de veces. El registro de tal construcción se llama código Borel . Dado un conjunto de Borel en , se recupera un código de Borel y luego se aplica la misma secuencia de construcción en , obteniendo un conjunto de Borel . Se puede demostrar que se obtiene el mismo conjunto independientemente de la construcción de y que se conservan las propiedades básicas. Por ejemplo, si , entonces . Si tiene medida cero, entonces tiene medida cero. Este mapeo es inyectivo. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\subseteq C}$ ${\displaystyle B^{*}\subseteq C^{*}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle B\mapsto B^{*}}$

Para cualquier conjunto tal que y " es un conjunto de Borel de medida 1" se cumple . ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$ ${\displaystyle B\in V}$ ${\displaystyle V\models }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r\in B^{*}}$

Esto significa que es una "secuencia aleatoria infinita de 0 y 1" desde el punto de vista de , lo que significa que satisface todas las pruebas estadísticas del modelo terrestre . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Entonces , dado un real aleatorio, se puede demostrar que ${\displaystyle r}$

${\displaystyle G=\left\{B~({\text{in }}V)\mid r\in B^{*}~({\text{in }}V[G])\right\}.}$

Debido a la mutua interdefinibilidad entre y , generalmente se escribe para . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V[r]}$ ${\displaystyle V[G]}$

Dana Scott proporcionó una interpretación diferente de los reales . Los números racionales en tienen nombres que corresponden a muchos valores racionales distintos contables asignados a una anticadena máxima de conjuntos de Borel; en otras palabras, una determinada función con valores racionales en . Los números reales entonces corresponden a cortes de Dedekind de dichas funciones, es decir, funciones medibles . ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle V[G]}$

Modelos con valores booleanos

Quizás de manera más clara, el método pueda explicarse en términos de modelos con valores booleanos. En estos, a cualquier afirmación se le asigna un valor de verdad a partir de algún álgebra booleana completa y sin átomos , en lugar de solo un valor verdadero/falso. Luego se elige un ultrafiltro en esta álgebra booleana, que asigna valores verdadero/falso a los enunciados de nuestra teoría. La cuestión es que la teoría resultante tiene un modelo que contiene este ultrafiltro, que puede entenderse como un nuevo modelo obtenido ampliando el antiguo con este ultrafiltro. Al elegir un modelo con valor booleano de manera adecuada, podemos obtener un modelo que tenga la propiedad deseada. En él, sólo las declaraciones que deben ser verdaderas (están "obligadas" a ser verdaderas) serán verdaderas, en cierto sentido (ya que tiene esta propiedad de extensión/minimidad).

Explicación metamatemática

Al forzar, generalmente buscamos mostrar que alguna oración es consistente con (u opcionalmente alguna extensión de ). Una forma de interpretar el argumento es asumir que es consistente y luego demostrar que combinado con la nueva oración también es consistente. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Cada "condición" es una pieza finita de información; la idea es que sólo las piezas finitas son relevantes para la coherencia, ya que, según el teorema de la compacidad , una teoría es satisfactoria si y sólo si cada subconjunto finito de sus axiomas es satisfactoria. Entonces podemos elegir un conjunto infinito de condiciones consistentes para extender nuestro modelo. Por lo tanto, asumiendo la consistencia de , demostramos la consistencia de extendida por este conjunto infinito. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Explicación lógica

Según el segundo teorema de incompletitud de Gödel , no se puede probar la consistencia de ninguna teoría formal suficientemente fuerte, como por ejemplo , usando sólo los axiomas de la teoría misma, a menos que la teoría sea inconsistente. En consecuencia, los matemáticos no intentan probar la consistencia de usar solo los axiomas de , ni probar que es consistente para cualquier hipótesis usando solo . Por esta razón, el objetivo de una prueba de consistencia es demostrar la consistencia de relativa a la consistencia de . Este tipo de problemas se conocen como problemas de consistencia relativa , uno de los cuales demuestra ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

A continuación se presenta el esquema general de las pruebas de consistencia relativa. Como cualquier prueba es finita, utiliza sólo un número finito de axiomas:

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land (T\vdash \lnot H)).}$

Para cualquier prueba dada, podemos verificar la validez de esta prueba. Esto se puede demostrar por inducción a lo largo de la prueba. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)((T\vdash \lnot H)\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).}$

Entonces resuelve

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).}$

Al demostrar lo siguiente

se puede concluir que

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} (T+H))),}$

que es equivalente a

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash \lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}),}$

lo que da (*). El núcleo de la prueba de coherencia relativa es demostrar (**). Se puede construir una prueba de para cualquier subconjunto finito dado de axiomas (mediante instrumentos, por supuesto). (No hay prueba universal, por supuesto). ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$

En , es demostrable que para cualquier condición , el conjunto de fórmulas (evaluadas por nombres) forzado por es deductivamente cerrado. Además, para cualquier axioma, se demuestra que este axioma es forzado por . Entonces basta demostrar que existe al menos una condición que obliga . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle H}$

En el caso del forzado con valores booleanos, el procedimiento es similar: demostrar que el valor booleano de no es . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Otro enfoque utiliza el teorema de la reflexión. Para cualquier conjunto finito de axiomas, existe una prueba de que este conjunto de axiomas tiene un modelo transitivo contable. Para cualquier conjunto finito de axiomas dado, existe un conjunto finito de axiomas tal que demuestra que si un modelo transitivo contable satisface , entonces satisface . Demostrando que existe un conjunto finito de axiomas tales que si un modelo transitivo contable satisface , entonces satisface la hipótesis . Entonces, para cualquier conjunto finito de axiomas, se demuestra . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle M[G]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T''}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T''}$ ${\displaystyle M[G]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$

A veces en (**), una teoría más sólida que la que se utiliza para demostrar . Entonces tenemos prueba de la consistencia de relativa a la consistencia de . Tenga en cuenta que , donde está (el axioma de constructibilidad). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\leftrightarrow \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFL}})}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFL}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+V=L}$

Ver también

• Lista de nociones de forzamiento
• Bonito nombre

Notas

1. Cohen 2008, pag. 111.
2. Como ejemplo concreto, tenga en cuenta que el tipo de orden de todos los ordinales en es un ordinal contable (en ) que no está en . Si se considera un buen orden de (como una relación sobre , es decir, un subconjunto de ), entonces cualquier universo que contenga también debe contener (gracias al axioma de reemplazo ). ^[1] (Un universo así tampoco se parecería en el sentido de que colapsaría todos los cardinales infinitos de ). ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$
3. Shoenfield 1971.
4. Kunen 1980.
5. En particular, si se define directamente en lugar de , sería necesario reemplazar con en el caso 4 y con en el caso 5 (además de hacer los casos 1 y 2 más complicados) para que esta definición interna concuerde con la definición externa. Sin embargo, entonces, cuando se intente probar la Verdad inductivamente, el caso 4 requerirá el hecho de que , como filtro , esté dirigido hacia abajo , y el caso 5 fracasará por completo. ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle G}$

Referencias

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• Jech, Thomas J. (2013) [1978]. Teoría de conjuntos: la edición del tercer milenio . Springer Verlag . ISBN 9783642078996.
• Kunen, Kenneth (1980). Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Compañía editorial de Holanda Septentrional . ISBN 978-0-444-85401-8.
• Shoenfield, JR (1971). "Forzamiento no ramificado". Teoría de conjuntos axiomática . Proc. Simposios. Matemática pura. vol. XIII, Parte I. Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc. págs. 357–381. SEÑOR  0280359.

Bibliografía

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• Kanamori, Akihiro (2007). "Teoría de conjuntos de Cantor a Cohen" (PDF) .
• Tejedor, Nik (2014). Forzamiento para matemáticos. Co. editorial científica mundial. 153. doi : 10.1142/8962. ISBN 978-9814566001. Escrito para matemáticos que quieran aprender la maquinaria básica del forzamiento. No se asume ninguna formación en lógica, más allá de la facilidad con la sintaxis formal que debería ser una segunda naturaleza para cualquier matemático bien formado.
• Weisstein, Eric W. "Forzando". MundoMatemático .