Teoría descriptiva de conjuntos

Subcampo de la lógica matemática

En lógica matemática , la teoría descriptiva de conjuntos ( DST ) es el estudio de ciertas clases de subconjuntos " bien comportados " de la línea real y otros espacios polacos . Además de ser una de las principales áreas de investigación en teoría de conjuntos , tiene aplicaciones en otras áreas de las matemáticas como el análisis funcional , la teoría ergódica , el estudio de álgebras de operadores y acciones de grupo , y la lógica matemática .

espacios polacos

La teoría descriptiva de conjuntos comienza con el estudio de los espacios polacos y sus conjuntos de Borel .

Un espacio polaco es un espacio topológico contable en segundo lugar que es metrizable con una métrica completa . Heurísticamente, es un espacio métrico completamente separable cuya métrica ha sido "olvidada". Los ejemplos incluyen la recta real , el espacio de Baire , el espacio de Cantor y el cubo de Hilbert . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle I^{\mathbb {N} }}$

Propiedades de universalidad

La clase de espacios polacos tiene varias propiedades de universalidad, que muestran que no hay pérdida de generalidad al considerar espacios polacos de ciertas formas restringidas.

• Todo espacio polaco es homeomorfo a un subespacio G δ del cubo de Hilbert , y cada subespacio G _δ del cubo de Hilbert es polaco.
• Cada espacio polaco se obtiene como una imagen continua del espacio de Baire; de hecho, cada espacio polaco es la imagen de una biyección continua definida en un subconjunto cerrado del espacio de Baire. De manera similar, todo espacio polaco compacto es una imagen continua del espacio de Cantor.

Debido a estas propiedades de universalidad, y debido a que el espacio de Baire tiene la conveniente propiedad de que es homeomorfo , muchos resultados en la teoría descriptiva de conjuntos se prueban únicamente en el contexto del espacio de Baire. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{\omega }}$

Conjuntos de Borel

La clase de conjuntos de Borel de un espacio topológico X consta de todos los conjuntos del σ-álgebra más pequeño que contienen los conjuntos abiertos de X. Esto significa que los conjuntos de Borel de X son la colección más pequeña de conjuntos tales que:

• Todo subconjunto abierto de X es un conjunto de Borel.
• Si A es un conjunto de Borel, también lo es . Es decir, la clase de conjuntos de Borel está cerrada bajo complementación. ${\displaystyle X\setminus A}$
• Si An es un _conjunto de Borel para cada número natural n , entonces la unión es un conjunto de Borel. Es decir, los conjuntos de Borel están cerrados bajo uniones contables. ${\displaystyle \bigcup A_{n}}$

Un resultado fundamental muestra que dos espacios polacos incontables X e Y son isomorfos de Borel : hay una biyección de X a Y tal que la preimagen de cualquier conjunto de Borel es Borel, y la imagen de cualquier conjunto de Borel es Borel. Esto da una justificación adicional a la práctica de restringir la atención al espacio de Baire y al espacio de Cantor, ya que estos y cualquier otro espacio polaco son todos isomórficos al nivel de los conjuntos de Borel.

Jerarquía de Borel

Cada conjunto de Borel de un espacio polaco se clasifica en la jerarquía de Borel en función de cuántas veces se deben utilizar las operaciones de unión y complementación contables para obtener el conjunto, comenzando por los conjuntos abiertos. La clasificación se realiza en términos de números ordinales contables . Para cada ordinal contable α distinto de cero hay clases , y . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$

• Se declara que todo conjunto abierto es . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$
• Se declara que un conjunto es si y sólo si su complemento es . ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$
• Se declara que un conjunto A es , δ > 1, si existe una secuencia ⟨ A _i ⟩ de conjuntos, cada uno de los cuales es para algún λ ( i ) < δ , tal que . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\delta }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\lambda (i)}^{0}}$ ${\displaystyle A=\bigcup A_{i}}$
• Un conjunto es si y sólo si es ambos y . ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$

Un teorema muestra que cualquier conjunto que es o es , y cualquier conjunto es ambos y para todo α > β . Así, la jerarquía tiene la siguiente estructura, donde las flechas indican inclusión. ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\beta }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Sigma } _{2}^{0}&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\\mathbf {\Delta } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{2}^{0}&&&&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\&&\mathbf {\Pi } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Pi } _{2}^{0}&&\cdots \end{matrix}}{\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow \\\quad \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow \\&&\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \end{matrix}}}$

Propiedades de regularidad de los conjuntos de Borel.

La teoría descriptiva de conjuntos clásica incluye el estudio de las propiedades de regularidad de los conjuntos de Borel. Por ejemplo, todos los conjuntos de Borel de un espacio polaco tienen la propiedad de Baire y la propiedad del conjunto perfecto . La teoría descriptiva de conjuntos moderna incluye el estudio de las formas en que estos resultados se generalizan, o no se generalizan, a otras clases de subconjuntos de espacios polacos.

Conjuntos analíticos y coanalíticos.

Un poco más allá de los conjuntos de Borel en complejidad están los conjuntos analíticos y coanalíticos . Un subconjunto de un espacio polaco X es analítico si es la imagen continua de un subconjunto de Borel de algún otro espacio polaco. Aunque cualquier preimagen continua de un conjunto de Borel es Borel, no todos los conjuntos analíticos son conjuntos de Borel. Un conjunto es coanalítico si su complemento es analítico.

Conjuntos proyectivos y grados Wadge

Muchas cuestiones de la teoría descriptiva de conjuntos dependen en última instancia de consideraciones de la teoría de conjuntos y de las propiedades de los números ordinales y cardinales . Este fenómeno es particularmente evidente en los conjuntos proyectivos . Estos se definen mediante la jerarquía proyectiva en un espacio polaco X :

• Se declara que un conjunto lo es si es analítico. ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{1}}$
• Un conjunto lo es si es coanalítico. ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{1}}$
• Un conjunto A es si existe un subconjunto B tal que A es la proyección de B a la primera coordenada. ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle X\times X}$
• Un conjunto A es si existe un subconjunto B tal que A es la proyección de B a la primera coordenada. ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle X\times X}$
• Un conjunto es si es ambos y . ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$

Al igual que con la jerarquía de Borel, para cada n , cualquier conjunto es a la vez y . ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$

Las propiedades de los conjuntos proyectivos no están completamente determinadas por ZFC. Bajo el supuesto V = L , no todos los conjuntos proyectivos tienen la propiedad del conjunto perfecto o la propiedad de Baire. Sin embargo, bajo el supuesto de determinación proyectiva , todos los conjuntos proyectivos tienen tanto la propiedad del conjunto perfecto como la propiedad de Baire. Esto está relacionado con el hecho de que ZFC demuestra la determinación de Borel , pero no la determinación proyectiva.

También hay extensiones genéricas de para cualquier número natural que consta de todos los subconjuntos de lightface . ^[1] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )\cap L}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \omega }$

De manera más general, toda la colección de conjuntos de elementos de un espacio polaco X se puede agrupar en clases de equivalencia, conocidas como grados Wadge , que generalizan la jerarquía proyectiva. Estos grados están ordenados en la jerarquía Wadge . El axioma de determinación implica que la jerarquía de Wadge en cualquier espacio polaco está bien fundada y tiene una longitud Θ , con una estructura que extiende la jerarquía proyectiva.

Relaciones de equivalencia de Borel

Un área contemporánea de investigación en teoría descriptiva de conjuntos estudia las relaciones de equivalencia de Borel . Una relación de equivalencia de Borel en un espacio polaco X es un subconjunto de Borel que es una relación de equivalencia en X . ${\displaystyle X\times X}$

Teoría descriptiva de conjuntos efectiva

El área de la teoría descriptiva de conjuntos eficaz combina los métodos de la teoría descriptiva de conjuntos con los de la teoría de la recursividad generalizada (especialmente la teoría hiperaritmética ). En particular, se centra en los análogos de las jerarquías de la teoría descriptiva de conjuntos clásica. Así, se estudia la jerarquía hiperaritmética en lugar de la jerarquía de Borel, y la jerarquía analítica en lugar de la jerarquía proyectiva. Esta investigación está relacionada con versiones más débiles de la teoría de conjuntos, como la teoría de conjuntos de Kripke-Platek y la aritmética de segundo orden .

Mesa

Esta caja:

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Ver también

• clase de puntos
• Preordenar
• Propiedad de escala

Referencias

• Kechris, Alexander S. (1994). Teoría descriptiva clásica de conjuntos . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9.
• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos. Holanda del Norte. pag. 2.ISBN _ 0-444-70199-0.

Citas

1. V. Kanovei, V. Lyubetsky, "Sobre el problema Δ n 1 {\displaystyle \Delta _{n}^{1}} de Harvey Friedman. En Lógica matemática y sus aplicaciones (2020), DOI 10.3380/math8091477.

enlaces externos

• Teoría descriptiva de conjuntos, David Marker, 2002. Apuntes de conferencias.