En la disciplina matemática de la topología general , un espacio polaco es un espacio topológico separable y completamente metrizable ; es decir, un espacio homeomorfo a un espacio métrico completo que tiene un subconjunto denso contable . Los espacios polacos reciben ese nombre porque fueron estudiados exhaustivamente por primera vez por topólogos y lógicos polacos: Sierpiński , Kuratowski , Tarski y otros. Sin embargo, los espacios polacos se estudian principalmente hoy porque son el escenario principal para la teoría descriptiva de conjuntos , incluido el estudio de las relaciones de equivalencia de Borel . Los espacios polacos también son un escenario conveniente para la teoría de medidas más avanzada , en particular en la teoría de la probabilidad .
Ejemplos comunes de espacios polacos son la línea real , cualquier espacio de Banach separable , el espacio de Cantor y el espacio de Baire . Además, algunos espacios que no son espacios métricos completos en la métrica habitual pueden ser polacos; por ejemplo, el intervalo abierto (0, 1) es polaco.
Entre dos espacios polacos incontables , existe un isomorfismo de Borel ; es decir, una biyección que conserva la estructura de Borel. En particular, cada incontable espacio polaco tiene la cardinalidad del continuo .
Los espacios Lusin , los espacios Suslin y los espacios Radon son generalizaciones de los espacios polacos.
Los siguientes espacios son polacos:
Existen numerosas caracterizaciones que indican cuándo un segundo espacio topológico contable es metrizable, como el teorema de metrización de Urysohn . El problema de determinar si un espacio metrizable es completamente metrizable es más difícil. A los espacios topológicos como el intervalo unitario abierto (0,1) se les pueden dar tanto métricas completas como métricas incompletas generando su topología.
Existe una caracterización de espacios métricos separables completos en términos de un juego conocido como juego de Choquet fuerte . Un espacio métrico separable es completamente metrizable si y sólo si el segundo jugador tiene una estrategia ganadora en este juego.
Una segunda caracterización se desprende del teorema de Alexandrov. Afirma que un espacio métrico separable es completamente metrizable si y sólo si es un subconjunto de su finalización en la métrica original.
Aunque los espacios polacos son metrizables, no son en sí mismos espacios métricos ; cada espacio polaco admite muchas métricas completas que dan lugar a la misma topología, pero ninguna de ellas es singularizada o distinguida. Un espacio polaco con una métrica completa distinguida se llama espacio métrico polaco . Un enfoque alternativo, equivalente al dado aquí, es definir primero "espacio métrico polaco" como "espacio métrico separable completo", y luego definir un "espacio polaco" como el espacio topológico obtenido de un espacio métrico polaco olvidando la métrica.
Un espacio topológico de Hausdorff es un espacio de Lusin (llamado así en honor a Nikolai Lusin ) si alguna topología más fuerte lo convierte en un espacio polaco.
Hay muchas formas de formar espacios Lusin. En particular:
Un espacio topológico de Hausdorff es un espacio de Suslin (llamado así en honor a Mikhail Suslin ) si es la imagen de un espacio polaco bajo un mapeo continuo. Entonces cada espacio Lusin es Suslin. En un espacio polaco, un subconjunto es un espacio Suslin si y sólo si es un conjunto Suslin (una imagen de la operación Suslin ). [9]
Los siguientes son espacios de Suslin:
Tienen las siguientes propiedades:
Un espacio de radón , que lleva el nombre de Johann Radon , es un espacio topológico en el que cada medida de probabilidad de Borel en M es internamente regular . Dado que una medida de probabilidad es globalmente finita y, por tanto, una medida localmente finita , cada medida de probabilidad en un espacio de radón es también una medida de radón . En particular, un espacio métrico completo separable ( M , d ) es un espacio de radón.
Cada espacio de Suslin es un espacio de radón.
Un grupo polaco es un grupo topológico G que también es un espacio polaco, en otras palabras, homeomorfo a un espacio métrico completo separable. Hay varios resultados clásicos de Banach , Freudenthal y Kuratowski sobre los homomorfismos entre grupos polacos. [10] En primer lugar, el argumento de Banach [11] se aplica mutatis mutandis a grupos polacos no abelianos: si G y H son espacios métricos separables con G polaco, entonces cualquier homomorfismo de Borel de G a H es continuo. [12] En segundo lugar, existe una versión del teorema de mapeo abierto o del teorema del grafo cerrado debido a Kuratowski: [13] un homomorfismo inyectivo continuo de un subgrupo polaco G sobre otro grupo polaco H es un mapeo abierto. Como resultado, es un hecho notable acerca de los grupos polacos que las asignaciones medibles por Baire (es decir, para las cuales la preimagen de cualquier conjunto abierto tiene la propiedad de Baire ) que son homomorfismos entre ellos son automáticamente continuas. [14] El grupo de homeomorfismos del cubo de Hilbert [0,1] N es un grupo polaco universal, en el sentido de que cada grupo polaco es isomorfo a un subgrupo cerrado del mismo.
Ejemplos:
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