Juego de choquet

El juego de Choquet es un juego topológico que lleva el nombre de Gustave Choquet , quien en 1969 fue el primero en investigar este tipo de juegos. ^[1] Un juego estrechamente relacionado se conoce como el juego de Choquet fuerte .

Sea un espacio topológico no vacío . El juego de Choquet de , , se define de la siguiente manera: el jugador I elige , un subconjunto abierto no vacío de , luego el jugador II elige , un subconjunto abierto no vacío de , luego el jugador I elige , un subconjunto abierto no vacío de , etc. Los jugadores continúan este proceso, construyendo una secuencia . Si entonces el jugador I gana, de lo contrario el jugador II gana. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle U_{0}\supseteq V_{0}\supseteq U_{1}\supseteq V_{1}\supseteq U_{2}...}$ ${\displaystyle \bigcap \limits _{i=0}^{\infty }U_{i}=\emptyset }$

John C. Oxtoby demostró que un espacio topológico no vacío es un espacio de Baire si y solo si el Jugador I no tiene una estrategia ganadora . Un espacio topológico no vacío en el que el Jugador II tiene una estrategia ganadora se llama espacio de Choquet . (Obsérvese que es posible que ninguno de los jugadores tenga una estrategia ganadora). Por lo tanto, todo espacio de Choquet es de Baire. Por otro lado, hay espacios de Baire (incluso los separables metrizables ) que no son espacios de Choquet, por lo que la proposición inversa no es válida. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El juego fuerte de Choquet de , , se define de manera similar, excepto que el Jugador I elige , luego el Jugador II elige , luego el Jugador I elige , etc., de modo que para todo . Un espacio topológico en el que el Jugador II tiene una estrategia ganadora para se denomina espacio fuerte de Choquet . Todo espacio fuerte de Choquet es un espacio de Choquet, aunque no se cumple la recíproca. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G^{s}(X)}$ ${\displaystyle (x_{0},U_{0})}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle (x_{1},U_{1})}$ ${\displaystyle x_{i}\in U_{i},V_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G^{s}(X)}$

Todos los espacios métricos completos no vacíos y los espacios compactos T 2 son Choquet fuerte. (En el primer caso, el Jugador II, dado , elige tales que y . Entonces la secuencia para todos los .) Cualquier subconjunto de un espacio de Choquet fuerte que sea un conjunto es Choquet fuerte. Los espacios metrizables son completamente metrizables si y solo si son Choquet fuerte. ^{[2] [3]} ${\displaystyle (x_{i},U_{i})}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} (V_{i})<1/i}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (V_{i})\subseteq V_{i-1}}$ ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}\to x\in V_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$

Referencias

1. Choquet, Gustave (1969). Lecciones de análisis: integración y espacios vectoriales topológicos. WA Benjamin. ISBN 9780805369601.
2. Becker, Howard; Kechris, AS (1996). La teoría descriptiva de conjuntos de las acciones grupales polacas. Cambridge University Press. pág. 59. ISBN 9780521576055.
3. Kechris, Alexander (2012). Teoría clásica de conjuntos descriptivos. Springer Science & Business Media. Págs. 43-45. ISBN. 9781461241904.