Medida finita local

En matemáticas , una medida localmente finita es una medida para la cual cada punto del espacio de medida tiene un vecindario de medida finita . ^{[1] [2]}

Definición

Sea un espacio topológico de Hausdorff y sea un -álgebra en que contiene la topología (de modo que todo conjunto abierto es un conjunto medible y es al menos tan fino como el -álgebra de Borel en ). Una medida/ medida con signo / medida compleja definida en se llama localmente finita si, para cada punto del espacio hay un entorno abierto de tal que la -medida de es finita. ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N_{p}}$

En notación más condensada, es localmente finito si y sólo si ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle {\text{for all }}p\in X,{\text{ there exists }}N_{p}\in T{\mbox{ such that }}p\in N_{p}{\mbox{ and }}\left|\mu \left(N_{p}\right)\right|<+\infty .}$$

Ejemplos

1. Cualquier medida de probabilidad en es localmente finita, ya que asigna una medida unitaria a todo el espacio. De manera similar, cualquier medida que asigne una medida finita a todo el espacio es localmente finita. ${\displaystyle X}$
2. La medida de Lebesgue en el espacio euclidiano es localmente finita.
3. Por definición, cualquier medida de radón es localmente finita.
4. La medida de conteo a veces es localmente finita y a veces no: la medida de conteo en los números enteros con su topología discreta habitual es localmente finita, pero la medida de conteo en la línea real con su topología de Borel habitual no lo es.

Véase también

• Medida regular interna  – medida borel que es regular interna y externaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Medida estrictamente positiva

Referencias

1. Berge, Claude (1963). Espacios topológicos . p. 31. ISBN 0486696537.
2. Gemignani, Michael C. (1972). Topología elemental . pág. 228. ISBN 0486665224.