Medida regular

En matemáticas , una medida regular en un espacio topológico es una medida para la cual todo conjunto medible puede ser aproximado desde arriba por conjuntos mesurables abiertos y desde abajo por conjuntos mesurables compactos.

Definición

Sea ( X ,  T ) un espacio topológico y sea Σ una σ-álgebra sobre X . Sea μ una medida sobre ( X , Σ ). Se dice que un subconjunto medible A de X es regular interno si

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (F)\mid F\subseteq A,F{\text{ compact and measurable}}\}}$

Esta propiedad se denomina a veces en palabras "aproximación desde dentro por conjuntos compactos". Algunos autores ^{[1] [2]} utilizan el término ajustado como sinónimo de regular internamente. Este uso del término está estrechamente relacionado con la estrechez de una familia de medidas , ya que una medida finita μ es regular internamente si y solo si , para todo ε > 0, existe algún subconjunto compacto K de X tal que μ ( X \ K ) <  ε . Esta es precisamente la condición de que la colección singleton de medidas { μ } sea ajustada.

Se dice que es regular exterior si

${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (G)\mid G\supseteq A,G{\text{ open and measurable}}\}}$

• Una medida se llama regular interna si todo conjunto medible es regular internamente. Algunos autores utilizan una definición diferente: una medida se llama regular internamente si todo conjunto medible abierto es regular internamente.
• Una medida se denomina regular externa si todo conjunto medible es regular externamente.
• Una medida se llama regular si es regular externamente y regular internamente.

Ejemplos

Medidas regulares

• La medida de Lebesgue en la línea real es una medida regular: consulte el teorema de regularidad para la medida de Lebesgue .
• Cualquier medida de probabilidad de Baire en cualquier espacio de Hausdorff σ-compacto localmente compacto es una medida regular.
• Cualquier medida de probabilidad de Borel en un espacio de Hausdorff localmente compacto con una base contable para su topología, o espacio métrico compacto, o espacio de Radon , es regular.

Medidas regulares internas que no son regulares externas

• Un ejemplo de una medida en la línea real con su topología usual que no es regular externa es la medida donde , , y para cualquier otro conjunto . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$ ${\displaystyle \mu \left(\{1\}\right)=0\,\,}$ ${\displaystyle \mu (A)=\infty \,\,}$ ${\displaystyle A}$
• La medida de Borel en el plano que asigna a cualquier conjunto de Borel la suma de las medidas (unidimensionales) de sus secciones horizontales es regular internamente pero no externamente, ya que todo conjunto abierto no vacío tiene medida infinita. Una variación de este ejemplo es una unión disjunta de un número incontable de copias de la recta real con medida de Lebesgue.
• Bourbaki (2004, Capítulo IV, Ejercicio 5 de la sección 1) ofrece un ejemplo de una medida de Borel en un espacio de Hausdorff localmente compacto que es regular internamente, σ-finito y localmente finito pero no regular externamente, como sigue. El espacio topológico tiene como conjunto subyacente el subconjunto del plano real dado por el eje y junto con los puntos (1/ n , m / n ² ) con m , n enteros positivos. La topología se da como sigue. Los puntos individuales (1/ n , m / n ² ) son todos conjuntos abiertos. Una base de vecindades del punto (0, y ) se da por cuñas que consisten en todos los puntos en X de la forma ( u , v ) con | v  −  y | ≤ | u | ≤ 1/ n para un entero positivo n . Este espacio X es localmente compacto. La medida μ se obtiene haciendo que el eje y tenga medida 0 y que el punto (1/ n , m / n ² ) tenga medida 1/ n ³ . Esta medida es regular interna y localmente finita, pero no es regular externamente ya que cualquier conjunto abierto que contenga el eje y tiene medida infinita. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} }$

Medidas regulares externas que no son regulares internas

• Si μ es la medida regular interna en el ejemplo anterior, y M es la medida dada por M ( S ) = inf _{U ⊇ S}  μ ( U ) donde el inf se toma sobre todos los conjuntos abiertos que contienen el conjunto de Borel S , entonces M es una medida de Borel regular externa localmente finita en un espacio de Hausdorff localmente compacto que no es regular internamente en el sentido fuerte, aunque todos los conjuntos abiertos son regulares internamente por lo que es regular internamente en el sentido débil. Las medidas M y μ coinciden en todos los conjuntos abiertos, todos los conjuntos compactos y todos los conjuntos en los que M tiene medida finita. El eje y tiene una medida M infinita aunque todos los subconjuntos compactos del mismo tienen medida 0.
• Un cardinal medible con la topología discreta tiene una medida de probabilidad de Borel tal que cada subconjunto compacto tiene medida 0, por lo que esta medida es regular externa pero no interna. La existencia de cardinales mesurables no se puede demostrar en la teoría de conjuntos ZF, pero (a partir de 2013) se piensa que es consistente con ella.

Medidas que no son regulares ni internas ni externas

• El espacio de todos los ordinales como máximo iguales al primer ordinal incontable Ω, con la topología generada por intervalos abiertos, es un espacio de Hausdorff compacto. La medida que asigna la medida 1 a los conjuntos de Borel que contienen un subconjunto cerrado no acotado de los ordinales contables y asigna 0 a otros conjuntos de Borel es una medida de probabilidad de Borel que no es regular interna ni regular externa.

Véase también

• Medida regular de borel
• Medición del radón
• Teorema de regularidad para la medida de Lebesgue

Referencias

1. Ambrosio, L., Gigli, N. y Savaré, G. (2005). Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad . Basilea: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
2. Parthasarathy, KR (2005). Medidas de probabilidad en espacios métricos . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. Señor 2169627

Bibliografía

• Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
• Bourbaki, Nicolás (2004). Integración I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-41129-1.
• Parthasarathy, KR (2005). Medidas de probabilidad en espacios métricos . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. pág. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR 2169627 (Ver capítulo 2)
• Dudley, RM (1989). Análisis real y probabilidad . Chapman & Hall.