Medida de Lebesgue

Concepto de área en cualquier dimensión

En teoría de la medida , una rama de las matemáticas , la medida de Lebesgue , llamada así por el matemático francés Henri Lebesgue , es la forma estándar de asignar una medida a subconjuntos de n -espacios euclidianos de dimensión superior . Para dimensiones inferiores n = 1, 2 o 3, coincide con la medida estándar de longitud , área o volumen . En general, también se denomina volumen n -dimensional , n -volumen , hipervolumen o simplemente volumen . ^[1] Se utiliza en todo el análisis real , en particular para definir la integración de Lebesgue . Los conjuntos a los que se les puede asignar una medida de Lebesgue se denominan Lebesgue-medibles ; la medida del conjunto Lebesgue-medible A se denota aquí por λ ( A ).

Henri Lebesgue describió esta medida en el año 1901 y, un año después, la describió de la integral de Lebesgue . Ambas fueron publicadas como parte de su tesis en 1902. ^[2]

Definición

Para cualquier intervalo , o , en el conjunto de números reales, sea su longitud. Para cualquier subconjunto , la medida externa de Lebesgue ^[3] se define como un ínfimo ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle I=(a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell (I)=b-a}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)}$

${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$

La definición anterior se puede generalizar a dimensiones superiores de la siguiente manera. ^[4] Para cualquier cuboide rectangular que sea un producto cartesiano de intervalos abiertos, sea (un producto de números reales) su volumen. Para cualquier subconjunto , ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R^{n}} }$

${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.}$

Algunos conjuntos satisfacen el criterio de Carathéodory , que requiere que para cada , ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{c}).}$

Los conjuntos que satisfacen el criterio de Carathéodory se denominan Lebesgue-medibles, y su medida de Lebesgue se define como su medida externa de Lebesgue: . El conjunto de todos ellos forma una σ -álgebra . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)}$ ${\displaystyle E}$

Un conjunto que no satisface el criterio de Carathéodory no es medible según Lebesgue. ZFC demuestra que existen conjuntos no mesurables ; un ejemplo son los conjuntos de Vitali . ${\displaystyle E}$

Intuición

La primera parte de la definición establece que el subconjunto de los números reales se reduce a su medida exterior mediante la cobertura por conjuntos de intervalos abiertos. Cada uno de estos conjuntos de intervalos cubre en cierto sentido, ya que la unión de estos intervalos contiene . La longitud total de cualquier conjunto de intervalos de cobertura puede sobreestimar la medida de porque es un subconjunto de la unión de los intervalos, y por lo tanto los intervalos pueden incluir puntos que no están en . La medida exterior de Lebesgue surge como el límite inferior máximo (ínfimo) de las longitudes de entre todos los conjuntos posibles de este tipo. Intuitivamente, es la longitud total de esos conjuntos de intervalos que se ajustan mejor y no se superponen. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Esto caracteriza a la medida externa de Lebesgue. Si esta medida externa se traduce o no en la medida de Lebesgue propiamente dicha depende de una condición adicional. Esta condición se prueba tomando subconjuntos de los números reales utilizando como instrumento para dividir en dos particiones: la parte de la cual se interseca con y la parte restante de la cual no está en : la diferencia de conjuntos de y . Estas particiones de están sujetas a la medida externa. Si para todos los subconjuntos posibles de los números reales, las particiones de cortadas por tienen medidas externas cuya suma es la medida externa de , entonces la medida externa de Lebesgue de da su medida de Lebesgue. Intuitivamente, esta condición significa que el conjunto no debe tener algunas propiedades curiosas que causen una discrepancia en la medida de otro conjunto cuando se utiliza como una "máscara" para "recortar" ese conjunto, lo que sugiere la existencia de conjuntos para los cuales la medida externa de Lebesgue no da la medida de Lebesgue. (De hecho, dichos conjuntos no son medibles según Lebesgue). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Ejemplos

• Cualquier intervalo cerrado [ a , b ] de números reales es medible según el método de Lebesgue, y su medida de Lebesgue es la longitud b − a . El intervalo abierto ( a , b ) tiene la misma medida, ya que la diferencia entre los dos conjuntos consiste únicamente en los puntos extremos a y b , que tienen cada uno una medida cero .
• Cualquier producto cartesiano de intervalos [ a , b ] y [ c , d ] es medible mediante el método de Lebesgue, y su medida de Lebesgue es ( b − a )( d − c ) , el área del rectángulo correspondiente .
• Además, todo conjunto de Borel es medible según Lebesgue. Sin embargo, existen conjuntos mesurables según Lebesgue que no son conjuntos de Borel. ^{[5] [6]}
• Cualquier conjunto contable de números reales tiene medida de Lebesgue 0. En particular, la medida de Lebesgue del conjunto de números algebraicos es 0, aunque el conjunto sea denso en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El conjunto de Cantor y el conjunto de números de Liouville son ejemplos de conjuntos incontables que tienen medida de Lebesgue 0.
• Si se cumple el axioma de determinación , entonces todos los conjuntos de números reales son medibles según el método de Lebesgue. Sin embargo, la determinación no es compatible con el axioma de elección .
• Los conjuntos de Vitali son ejemplos de conjuntos que no son medibles con respecto a la medida de Lebesgue. Su existencia depende del axioma de elección .
• Las curvas de Osgood son curvas planas simples con medida de Lebesgue positiva ^[7] (pueden obtenerse mediante una pequeña variación de la construcción de la curva de Peano ). La curva del dragón es otro ejemplo inusual.
• Cualquier línea en , para , tiene una medida de Lebesgue cero. En general, cada hiperplano propio tiene una medida de Lebesgue cero en su espacio ambiente . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• El volumen de una bola n se puede calcular en términos de la función gamma de Euler.

Propiedades

Invariancia de traducción: La medida de Lebesgue de y son la misma. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+t}$

La medida de Lebesgue sobre R ⁿ tiene las siguientes propiedades:

1. Si A es un producto cartesiano de intervalos I ₁ × I ₂ × ⋯ × I _n , entonces A es medible según Lebesgue y ${\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.}$
2. Si A es una unión de un número contable de conjuntos disjuntos y mensurables según el método de Lebesgue, entonces A es en sí mismo mensurable según el método de Lebesgue y λ ( A ) es igual a la suma (o serie infinita ) de las medidas de los conjuntos mensurables involucrados.
3. Si A es medible según el método de Lebesgue, entonces también lo es su complemento .
4. λ ( A ) ≥ 0 para cada conjunto A medible mediante Lebesgue .
5. Si A y B son medibles mediante el método de Lebesgue y A es un subconjunto de B , entonces λ ( A ) ≤ λ ( B ). (Una consecuencia de 2.)
6. Las uniones e intersecciones contables de conjuntos medibles según Lebesgue son medibles según Lebesgue. (No es una consecuencia de 2 y 3, porque una familia de conjuntos que está cerrada bajo complementos y uniones contables disjuntas no necesita estar cerrada bajo uniones contables: .) ${\displaystyle \{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}}$
7. Si A es un subconjunto abierto o cerrado de R ⁿ (o incluso un conjunto de Borel , véase espacio métrico ), entonces A es medible según el método de Lebesgue.
8. Si A es un conjunto medible según Lebesgue, entonces es "aproximadamente abierto" y "aproximadamente cerrado" en el sentido de la medida de Lebesgue.
9. Un conjunto medible según Lebesgue puede "comprimirse" entre un conjunto abierto contenedor y un conjunto cerrado contenedor. Esta propiedad se ha utilizado como una definición alternativa de la mensurabilidad según Lebesgue. Más precisamente, es medible según Lebesgue si y solo si para cada uno existe un conjunto abierto y un conjunto cerrado tales que y . ^[8] ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\subset E\subset G}$ ${\displaystyle \lambda (G\setminus F)<\varepsilon }$
10. Un conjunto medible según Lebesgue puede "comprimirse" entre un conjunto G δ que lo contiene y un conjunto F _σ que lo contiene . Es decir, si A es medible según Lebesgue, entonces existe un conjunto G δ G y un conjunto F σ F tal que G  ⊇  A  ⊇  F y λ ( G  \  A ) =  λ ( A  \  F ) = 0.
11. La medida de Lebesgue es a la vez localmente finita y regular internamente , y por lo tanto es una medida de Radon .
12. La medida de Lebesgue es estrictamente positiva en conjuntos abiertos no vacíos, por lo que su soporte es la totalidad de R ⁿ .
13. Si A es un conjunto medible según el método de Lebesgue con λ( A ) = 0 (un conjunto nulo ), entonces cada subconjunto de A es también un conjunto nulo. A fortiori , cada subconjunto de A es medible.
14. Si A es medible mediante Lebesgue y x es un elemento de R ⁿ , entonces la traslación de A por x , definida por A + x = { a + x  : a ∈ A }, también es medible mediante Lebesgue y tiene la misma medida que A .
15. Si A es medible según Lebesgue y , entonces la dilatación de por definida por también es medible según Lebesgue y tiene medida ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta A=\{\delta x:x\in A\}}$ ${\displaystyle \delta ^{n}\lambda \,(A).}$
16. De manera más general, si T es una transformación lineal y A es un subconjunto medible de R ⁿ , entonces T ( A ) también es medible mediante el método de Lebesgue y tiene la medida . ${\displaystyle \left|\det(T)\right|\lambda (A)}$

Todo lo anterior puede resumirse sucintamente de la siguiente manera (aunque las dos últimas afirmaciones no están trivialmente vinculadas a lo siguiente):

Los conjuntos medibles de Lebesgue forman una σ -álgebra que contiene todos los productos de intervalos, y λ es la única medida completa invariante en la traducción en esa σ-álgebra con ${\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.}$

La medida de Lebesgue también tiene la propiedad de ser σ -finita .

Conjuntos nulos

Un subconjunto de R ⁿ es un conjunto nulo si, para cada ε > 0, puede cubrirse con un número contable de productos de n intervalos cuyo volumen total sea como máximo ε. Todos los conjuntos contables son conjuntos nulos.

Si un subconjunto de R ⁿ tiene una dimensión de Hausdorff menor que n , entonces es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue n -dimensional. Aquí la dimensión de Hausdorff es relativa a la métrica euclidiana en R ⁿ (o cualquier métrica Lipschitz equivalente a ella). Por otro lado, un conjunto puede tener una dimensión topológica menor que n y tener una medida de Lebesgue n -dimensional positiva. Un ejemplo de esto es el conjunto Smith-Volterra-Cantor que tiene una dimensión topológica 0 pero tiene una medida de Lebesgue unidimensional positiva.

Para demostrar que un conjunto dado A es medible mediante el método de Lebesgue, generalmente se intenta encontrar un conjunto B "mejor" que difiera de A solo por un conjunto nulo (en el sentido de que la diferencia simétrica ( A − B ) ∪ ( B − A ) es un conjunto nulo) y luego demostrar que B puede generarse usando uniones e intersecciones contables de conjuntos abiertos o cerrados.

Construcción de la medida de Lebesgue

La construcción moderna de la medida de Lebesgue es una aplicación del teorema de extensión de Carathéodory . Se desarrolla de la siguiente manera:

Fije n ∈ N . Una caja en R ⁿ es un conjunto de la forma

${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,}$

donde b _i ≥ a _i , y el símbolo de producto aquí representa un producto cartesiano. El volumen de esta caja se define como

${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.}$

Para cualquier subconjunto A de R ⁿ , podemos definir su medida exterior λ *( A ) por:

${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.}$

Definimos entonces el conjunto A como medible según Lebesgue si para cada subconjunto S de R ⁿ ,

${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.}$

Estos conjuntos mesurables de Lebesgue forman un σ -álgebra , y la medida de Lebesgue está definida por λ ( A ) = λ *( A ) para cualquier conjunto mesurable de Lebesgue A .

La existencia de conjuntos que no son medibles según el método de Lebesgue es una consecuencia del axioma de elección de la teoría de conjuntos , que es independiente de muchos de los sistemas convencionales de axiomas de la teoría de conjuntos . El teorema de Vitali , que se desprende del axioma, establece que existen subconjuntos de R que no son medibles según el método de Lebesgue. Suponiendo el axioma de elección, se han demostrado conjuntos no medibles con muchas propiedades sorprendentes, como las de la paradoja de Banach-Tarski .

En 1970, Robert M. Solovay demostró que la existencia de conjuntos que no son medibles mediante el método de Lebesgue no es demostrable dentro del marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en ausencia del axioma de elección (véase el modelo de Solovay ). ^[9]

Relación con otras medidas

La medida de Borel concuerda con la medida de Lebesgue en aquellos conjuntos para los que está definida; sin embargo, hay muchos más conjuntos medibles mediante Lebesgue que conjuntos medibles mediante Borel. La medida de Borel es invariante a la traducción, pero no completa .

La medida de Haar se puede definir en cualquier grupo localmente compacto y es una generalización de la medida de Lebesgue ( R ⁿ con adición es un grupo localmente compacto).

La medida de Hausdorff es una generalización de la medida de Lebesgue que resulta útil para medir los subconjuntos de R ⁿ de dimensiones inferiores a n , como las subvariedades , por ejemplo, superficies o curvas en R ³ y conjuntos fractales . La medida de Hausdorff no debe confundirse con la noción de dimensión de Hausdorff .

Se puede demostrar que no existe un análogo de dimensión infinita de la medida de Lebesgue .

Véase también

• 4 volúmenes
• Edison Farah
• Teorema de densidad de Lebesgue
• Medida de Lebesgue del conjunto de números de Liouville
• Conjunto no medible
  • Conjunto Vitali
• Medida Peano-Jordan

Referencias

1. El término volumen también se utiliza, de forma más estricta, como sinónimo de volumen tridimensional.
2. Lebesgue, H. (1902). "Intégrale, Longueur, Aire". Annali di Matematica Pura ed Applicata . 7 : 231–359. doi :10.1007/BF02420592. S2CID  121256884.
3. Royden, HL (1988). Análisis real (3.ª ed.). Nueva York: Macmillan. pág. 56. ISBN 0-02-404151-3.
4. "Lebesgue-Maß". 29 de agosto de 2022 . Consultado el 9 de marzo de 2023 , a través de Wikipedia.
5. Asaf Karagila. "¿Qué conjuntos son medibles según el método Lebesgue?". Math Stack Exchange . Consultado el 26 de septiembre de 2015 .
6. Asaf Karagila. "¿Existe un álgebra sigma en R estrictamente entre las álgebras de Borel y Lebesgue?". math stack exchange . Consultado el 26 de septiembre de 2015 .
7. Osgood, William F. (enero de 1903). "Una curva de Jordan de área positiva". Transacciones de la American Mathematical Society . 4 (1). American Mathematical Society: 107–112. doi : 10.2307/1986455 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1986455.
8. Carothers, NL (2000). Análisis real. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 293. ISBN 9780521497565.
9. Solovay, Robert M. (1970). "Un modelo de teoría de conjuntos en el que cada conjunto de números reales es medible según el método de Lebesgue". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 92 (1): 1–56. doi :10.2307/1970696. JSTOR  1970696.