σ-álgebra

Estructura algebraica del álgebra de conjuntos

En análisis matemático y en teoría de probabilidad , una σ-álgebra ("álgebra sigma"; también σ-cuerpo , donde σ proviene del alemán "Summe" ^[1] ) sobre un conjunto X es una colección no vacía Σ de subconjuntos de X cerrados bajo complemento , uniones contables e intersecciones contables . El par ordenado se denomina espacio medible . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

Un σ-álgebra de subconjuntos es un álgebra de conjuntos de subconjuntos; los elementos de esta última sólo necesitan estar cerrados bajo la unión o intersección de un número finito de subconjuntos, lo cual es una condición más débil. ^[2]

El uso principal de las σ-álgebras es en la definición de medidas ; específicamente, la colección de aquellos subconjuntos para los cuales se define una medida dada es necesariamente una σ-álgebra. Este concepto es importante en el análisis matemático como la base para la integración de Lebesgue , y en la teoría de la probabilidad , donde se interpreta como la colección de eventos a los que se les puede asignar probabilidades. Además, en probabilidad, las σ-álgebras son fundamentales en la definición de la esperanza condicional .

En estadística , las (sub)σ-álgebras son necesarias para la definición matemática formal de una estadística suficiente , ^[3] particularmente cuando la estadística es una función o un proceso aleatorio y la noción de densidad condicional no es aplicable.

Si una posible σ-álgebra en es donde es el conjunto vacío . En general, un álgebra finita es siempre una σ-álgebra. ${\displaystyle X=\{a,b,c,d\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\},}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Si es una partición contable de entonces la colección de todas las uniones de conjuntos en la partición (incluido el conjunto vacío) es una σ-álgebra. ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \},}$ ${\displaystyle X}$

Un ejemplo más útil es el conjunto de subconjuntos de la línea real formado al comenzar con todos los intervalos abiertos y agregar todas las uniones contables, intersecciones contables y complementos relativos y continuar este proceso (mediante iteración transfinita a través de todos los ordinales contables ) hasta que se logran las propiedades de cierre relevantes (una construcción conocida como la jerarquía de Borel ).

Motivación

Hay al menos tres motivadores clave para las σ-álgebras: definir medidas, manipular límites de conjuntos y gestionar información parcial caracterizada por conjuntos.

Medida

Una medida de es una función que asigna un número real no negativo a subconjuntos de esto puede considerarse como una forma de precisar una noción de "tamaño" o "volumen" para conjuntos. Queremos que el tamaño de la unión de conjuntos disjuntos sea la suma de sus tamaños individuales, incluso para una secuencia infinita de conjuntos disjuntos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X;}$

A uno le gustaría asignar un tamaño a cada subconjunto de pero en muchos entornos naturales, esto no es posible. Por ejemplo, el axioma de elección implica que cuando el tamaño en consideración es la noción ordinaria de longitud para subconjuntos de la línea real, entonces existen conjuntos para los cuales no existe tamaño, por ejemplo, los conjuntos de Vitali . Por esta razón, uno considera en cambio una colección más pequeña de subconjuntos privilegiados de Estos subconjuntos serán llamados conjuntos medibles. Son cerrados bajo operaciones que uno esperaría para conjuntos medibles, esto es, el complemento de un conjunto medible es un conjunto medible y la unión contable de conjuntos medibles es un conjunto medible. Las colecciones no vacías de conjuntos con estas propiedades son llamadas σ-álgebras. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Límites de conjuntos

Muchos usos de la medida, como el concepto de probabilidad de convergencia casi segura , implican límites de secuencias de conjuntos . Para ello, el cierre bajo uniones e intersecciones contables es primordial. Los límites de conjuntos se definen de la siguiente manera en σ-álgebras.

• El límite supremo o límite exterior de una sucesión de subconjuntos de es Consiste en todos los puntos que están en un número infinito de estos conjuntos (o equivalentemente, que están en un número cofinal de ellos). Es decir, si y solo si existe una subsucesión infinita (donde ) de conjuntos que todos contengan a es decir, tal que ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup A_{n+1}\cup \cdots .}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n_{1}},A_{n_{2}},\ldots }$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x\in A_{n_{1}}\cap A_{n_{2}}\cap \cdots .}$
• El límite ínfimo o límite interior de una sucesión de subconjuntos de es Consiste en todos los puntos que están en todos menos un número finito de estos conjuntos (o equivalentemente, que están eventualmente en todos ellos). Es decir, si y solo si existe un índice tal que todos contienen a es decir, tal que ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap A_{n+1}\cap \cdots .}$$ ${\displaystyle x\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A_{N},A_{N+1},\ldots }$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x\in A_{N}\cap A_{N+1}\cap \cdots .}$

El límite interno es siempre un subconjunto del límite externo: si estos dos conjuntos son iguales, entonces su límite existe y es igual a este conjunto común: $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}~\subseteq ~\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}:=\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$

Sub σ-álgebras

En gran parte de la probabilidad, especialmente cuando se trata de la expectativa condicional , nos interesan los conjuntos que representan solo una parte de toda la información posible que se puede observar. Esta información parcial se puede caracterizar con una σ-álgebra más pequeña que es un subconjunto de la σ-álgebra principal; consiste en la colección de subconjuntos relevantes solo para la información parcial y determinados solo por ella. Formalmente, si son σ-álgebras en , entonces es una subσ-álgebra de si . Un ejemplo ilustrará cómo surge esta idea. ${\displaystyle \Sigma ,\Sigma '}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma '}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma '\subseteq \Sigma }$

Imaginemos que dos personas apuestan en un juego que consiste en lanzar una moneda repetidamente y observar si sale cara ( ) o cruz ( ). Se supone que ambos jugadores son infinitamente ricos, por lo que no hay límite para la duración del juego. Esto significa que el espacio muestral Ω debe constar de todas las posibles secuencias infinitas de o ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T:}$ $${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.}$$

La información observada después de que se han producido los lanzamientos es una de las posibilidades que describen la secuencia de los primeros lanzamientos. Esto se codifica como la subσ-álgebra ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \{H,T\}^{\infty }:A\subseteq \{H,T\}^{n}\}}$$

que bloquea los primeros lanzamientos y es agnóstico sobre el resultado de los restantes. Observe que entonces donde es la σ-álgebra más pequeña que contiene a todos los demás. ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {G}}_{3}\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {G}}_{\infty },}$$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$

Definición y propiedades

Definición

Sea un conjunto y represente su conjunto potencia . Entonces, un subconjunto se denomina σ-álgebra si y solo si satisface las tres propiedades siguientes: ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle \Sigma \subseteq P(X)}$

1. ${\displaystyle X}$está en . ${\displaystyle \Sigma }$
2. ${\displaystyle \Sigma }$está cerrado bajo complementación : si algún conjunto está en entonces también lo está su complemento , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X\setminus A.}$
3. ${\displaystyle \Sigma }$está cerrado bajo uniones contables : si están en entonces también lo está ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots .}$

De estas propiedades se deduce que el σ-álgebra también está cerrada bajo intersecciones numerables (aplicando las leyes de De Morgan ).

También se deduce que el conjunto vacío está en ya que por (1) está en y (2) afirma que su complemento, el conjunto vacío, también está en Además, como satisface también la condición (3) , se deduce que es la σ-álgebra más pequeña posible en La σ-álgebra más grande posible en es ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X).}$

Los elementos de la σ-álgebra se denominan conjuntos medibles . Un par ordenado donde es un conjunto y es una σ-álgebra sobre se denomina espacio medible . Una función entre dos espacios medibles se denomina función medible si la preimagen de cada conjunto medible es medible. La colección de espacios medibles forma una categoría , con las funciones medibles como morfismos . Las medidas se definen como ciertos tipos de funciones de una σ-álgebra a ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [0,\infty ].}$

Un σ-álgebra es a la vez un sistema π y un sistema Dynkin (sistema λ). La inversa también es cierta, según el teorema de Dynkin (ver más abajo).

Teorema π-λ de Dynkin

Este teorema (o el teorema de la clase monótona relacionado ) es una herramienta esencial para demostrar muchos resultados sobre propiedades de σ-álgebras específicas. Aprovecha la naturaleza de dos clases más simples de conjuntos, a saber, las siguientes.

• Un sistema π es una colección de subconjuntos de que está cerrado bajo un número finito de intersecciones, y ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$
• Un sistema Dynkin (o λ-sistema) es una colección de subconjuntos que contiene y está cerrado bajo complemento y bajo uniones contables de subconjuntos disjuntos . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El teorema π-λ de Dynkin dice que si es un π-sistema y es un sistema de Dynkin que contiene entonces la σ-álgebra generada por está contenida en Dado que ciertos π-sistemas son clases relativamente simples, puede que no sea difícil verificar que todos los conjuntos en disfrutan de la propiedad en consideración mientras que, por otro lado, demostrar que la colección de todos los subconjuntos con la propiedad es un sistema de Dynkin también puede ser sencillo. El teorema π-λ de Dynkin implica entonces que todos los conjuntos en disfrutan de la propiedad, evitando la tarea de comprobarla para un conjunto arbitrario en ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle \sigma (P).}$

Uno de los usos más fundamentales del teorema π-λ es mostrar la equivalencia de medidas o integrales definidas por separado. Por ejemplo, se utiliza para igualar una probabilidad para una variable aleatoria con la integral de Lebesgue-Stieltjes que se asocia típicamente con el cálculo de la probabilidad: para todos en el σ-álgebra de Borel en donde es la función de distribución acumulativa para definido en mientras que es una medida de probabilidad , definida en un σ-álgebra de subconjuntos de algún espacio muestral ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega .}$

Combinando σ-álgebras

Supongamos que es una colección de σ-álgebras en un espacio ${\displaystyle \textstyle \left\{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$

Encontrarse

La intersección de una colección de σ-álgebras es una σ-álgebra. Para enfatizar su carácter de σ-álgebra, a menudo se la denota por: $${\displaystyle \bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.}$$

Bosquejo de la demostración: Sea la intersección. Como está en cada no está vacío. El cierre bajo complemento y uniones numerables para cada implica que lo mismo debe ser cierto para Por lo tanto, es una σ-álgebra. ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha },\Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}.}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$

Unirse

La unión de una colección de σ-álgebras no es generalmente una σ-álgebra, o incluso un álgebra, pero genera una σ-álgebra conocida como la unión que típicamente se denota Un π-sistema que genera la unión es Bosquejo de la demostración: Por el caso se ve que cada uno por lo que Esto implica por la definición de una σ-álgebra generada por una colección de subconjuntos. Por otro lado, lo que, por el teorema π-λ de Dynkin, implica $${\displaystyle \bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}},\alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.}$$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }\subset {\mathcal {P}},}$ $${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\subseteq {\mathcal {P}}.}$$ $${\displaystyle \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)\subseteq \sigma ({\mathcal {P}})}$$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)}$$ $${\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$

σ-álgebras para subespacios

Supongamos que es un subconjunto de y sea un espacio medible. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

• La colección es una σ-álgebra de subconjuntos de ${\displaystyle \{Y\cap B:B\in \Sigma \}}$ ${\displaystyle Y.}$
• Supongamos que es un espacio medible. La colección es una σ-álgebra de subconjuntos de ${\displaystyle (Y,\Lambda )}$ ${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}}$ ${\displaystyle X.}$

Relación con el anillo σ

Un σ -álgebra es simplemente un σ -anillo que contiene el conjunto universal ^[5]. Un σ -anillo no necesita ser un σ -álgebra, como por ejemplo los subconjuntos medibles de medida de Lebesgue cero en la recta real son un σ -anillo, pero no un σ -álgebra ya que la recta real tiene medida infinita y por lo tanto no puede obtenerse por su unión contable. Si, en lugar de medida cero, uno toma subconjuntos medibles de medida de Lebesgue finita, estos son un anillo pero no un σ -anillo, ya que la recta real puede obtenerse por su unión contable pero su medida no es finita. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X.}$

Nota tipográfica

Las σ -álgebras se denotan a veces utilizando letras mayúsculas caligráficas o la tipografía Fraktur . Por lo tanto, se pueden denotar como o ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

Casos particulares y ejemplos

σ-álgebras separables

Un -álgebra separable ${\displaystyle \sigma }$ (o -cuerpo separable ${\displaystyle \sigma }$ ) es un -álgebra que es un espacio separable cuando se considera como un espacio métrico con métrica para y una medida finita dada (y con siendo el operador de diferencia simétrica ). ^[6] Cualquier -álgebra generada por una colección contable de conjuntos es separable, pero no necesariamente se cumple lo inverso. Por ejemplo, el -álgebra de Lebesgue es separable (ya que cada conjunto medible de Lebesgue es equivalente a algún conjunto de Borel) pero no se genera de manera contable (ya que su cardinalidad es mayor que la del continuo). ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Un espacio de medida separable tiene una pseudométrica natural que lo hace separable como un espacio pseudométrico . La distancia entre dos conjuntos se define como la medida de la diferencia simétrica de los dos conjuntos. La diferencia simétrica de dos conjuntos distintos puede tener medida cero; por lo tanto, la pseudométrica definida anteriormente no necesita ser una métrica verdadera. Sin embargo, si los conjuntos cuya diferencia simétrica tiene medida cero se identifican en una sola clase de equivalencia , el conjunto cociente resultante puede metrizarse correctamente mediante la métrica inducida. Si el espacio de medida es separable, se puede demostrar que el espacio métrico correspondiente también lo es.

Ejemplos simples basados ​​en conjuntos

Sea un conjunto cualquiera. ${\displaystyle X}$

• La familia que consta únicamente del conjunto vacío y el conjunto llamado σ-álgebra mínima o trivial sobre ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$
• El conjunto de potencias se denomina σ-álgebra discreta . ${\displaystyle X,}$
• La colección es una σ-álgebra simple generada por el subconjunto ${\displaystyle \{\varnothing ,A,X\setminus A,X\}}$ ${\displaystyle A.}$
• La colección de subconjuntos de los cuales son contables o cuyos complementos son contables es una σ-álgebra (que es distinta del conjunto potencia de si y solo si es incontable). Esta es la σ-álgebra generada por los singletons de Nota: "contable" incluye finito o vacío. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• La colección de todas las uniones de conjuntos en una partición contable de es una σ-álgebra. ${\displaystyle X}$

Algebras sigma que detienen el tiempo

Un tiempo de parada puede definir un -álgebra , la llamada sigma-álgebra del tiempo de parada , que en un espacio de probabilidad filtrado describe la información hasta el tiempo aleatorio en el sentido de que, si el espacio de probabilidad filtrado se interpreta como un experimento aleatorio, la máxima información que se puede descubrir sobre el experimento al repetirlo arbitrariamente con frecuencia hasta el tiempo es ^[7]. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau },}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }.}$

σ-álgebras generadas por familias de conjuntos

σ-álgebra generada por una familia arbitraria

Sea una familia arbitraria de subconjuntos de Entonces existe una única σ-álgebra mínima que contiene cada conjunto en (aunque puede o no ser ella misma una σ-álgebra). Es, de hecho, la intersección de todas las σ-álgebras que contienen (Ver intersecciones de σ-álgebras más arriba). Esta σ-álgebra se denota y se llama σ-álgebra generada por ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \sigma (F)}$ ${\displaystyle F.}$

Si está vacío, entonces De lo contrario consta de todos los subconjuntos de que pueden formarse a partir de elementos de mediante un número contable de operaciones de complemento, unión e intersección. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,X\}.}$ ${\displaystyle \sigma (F)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$

Para un ejemplo simple, considere el conjunto Entonces, el σ-álgebra generada por el subconjunto único es Por un abuso de notación , cuando una colección de subconjuntos contiene solo un elemento, se puede escribir en lugar de en el ejemplo anterior en lugar de De hecho, usar para significar también es bastante común. ${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \sigma (\{1\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle \sigma (\{A\});}$ ${\displaystyle \sigma (\{1\})}$ ${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\}).}$ ${\displaystyle \sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots \right\}\right)}$

Existen muchas familias de subconjuntos que generan σ-álgebras útiles. Aquí se presentan algunas de ellas.

σ-álgebra generada por una función

Si es una función de un conjunto a un conjunto y es un -álgebra de subconjuntos de entonces el -álgebra generada por la función denotada por es la colección de todas las imágenes inversas de los conjuntos en Es decir, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \sigma (f),}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B.}$ $${\displaystyle \sigma (f)=\left\{f^{-1}(S)\,:\,S\in B\right\}.}$$

Una función de un conjunto a un conjunto es medible con respecto a una σ-álgebra de subconjuntos de si y solo si es un subconjunto de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle \Sigma .}$

Una situación común, y entendida por defecto si no se especifica explícitamente, es cuando es un espacio métrico o topológico y es la colección de conjuntos de Borel en ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y.}$

Si es una función de a entonces se genera por la familia de subconjuntos que son imágenes inversas de intervalos/rectángulos en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:}$ $${\displaystyle \sigma (f)=\sigma \left(\left\{f^{-1}(\left[a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

Una propiedad útil es la siguiente. Supóngase que es una función medible de a y es una función medible de a Si existe una función medible de a tal que para todo entonces Si es finito o numerablemente infinito o, más generalmente, es un espacio de Borel estándar (por ejemplo, un espacio métrico completo separable con sus conjuntos de Borel asociados), entonces la inversa también es verdadera. ^[8] Ejemplos de espacios de Borel estándar incluyen con sus conjuntos de Borel y con el σ-álgebra de cilindros que se describe a continuación. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right).}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right)}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (g).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

σ-álgebras de Borel y Lebesgue

Un ejemplo importante es el álgebra de Borel sobre cualquier espacio topológico : la σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos (o, equivalentemente, por los conjuntos cerrados ). Esta σ-álgebra no es, en general, el conjunto potencia entero. Para un ejemplo no trivial que no es un conjunto de Borel, véase el conjunto de Vitali o los conjuntos no-Borel .

En el espacio euclidiano es importante otra σ-álgebra: la de todos los conjuntos mensurables de Lebesgue . Esta σ-álgebra contiene más conjuntos que la σ-álgebra de Borel y es la preferida en la teoría de la integración , ya que proporciona un espacio de medida completo . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Producto σ-álgebra

Sean y dos espacios medibles. La σ-álgebra para el espacio producto correspondiente se denomina σ-álgebra producto y se define por ${\displaystyle \left(X_{1},\Sigma _{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(X_{2},\Sigma _{2}\right)}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ $${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma \left(\left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}\right).}$$

Observe que es un sistema π. ${\displaystyle \{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}}$

El álgebra σ de Borel para se genera a partir de rectángulos semiinfinitos y de rectángulos finitos. Por ejemplo, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{n},b_{n}\right]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

Para cada uno de estos dos ejemplos, la familia generadora es un sistema π.

σ-álgebra generada por conjuntos de cilindros

Suponer $${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f(t)\in \mathbb {R} ,\ t\in \mathbb {T} \}}$$

es un conjunto de funciones de valor real. Sea el subconjunto de Borel de Un subconjunto cilíndrico de es un conjunto finitamente restringido definido como ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\left\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\right\}.}$$

Cada uno es un π-sistema que genera un σ-álgebra Entonces la familia de subconjuntos es un álgebra que genera el σ-álgebra cilíndrica para Este σ-álgebra es un subálgebra del σ-álgebra de Borel determinada por la topología del producto de restringida a $${\displaystyle \left\{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\right\}}$$ ${\displaystyle \textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle X.}$

Un caso especial importante es cuando es el conjunto de números naturales y es un conjunto de sucesiones de valores reales. En este caso, basta con considerar los conjuntos cilíndricos para los cuales es una sucesión no decreciente de σ-álgebras. ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right)=\left(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty }\right)\cap X=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\right\},}$$ $${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma \left(\{C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}\right)}$$

Álgebra σ de bola

La σ-álgebra de bolas es la σ-álgebra más pequeña que contiene todas las bolas abiertas (y/o cerradas). Esta nunca es mayor que la σ-álgebra de Borel . Nótese que las dos σ-álgebras son iguales para espacios separables. Para algunos espacios no separables, algunas aplicaciones son medibles mediante bolas aunque no sean medibles mediante Borel, lo que hace que el uso de la σ-álgebra de bolas sea útil en el análisis de dichas aplicaciones. ^[9]

σ-álgebra generada por variable aleatoria o vector

Supongamos que es un espacio de probabilidad . Si es medible con respecto a la σ-álgebra de Borel en entonces se denomina variable aleatoria ( ) o vector aleatorio ( ). La σ-álgebra generada por es ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right\}.}$$

σ-álgebra generada por un proceso estocástico

Supongamos que es un espacio de probabilidad y es el conjunto de funciones de valor real en Si es medible con respecto al cilindro σ-álgebra (ver arriba) para entonces se llama proceso estocástico o proceso aleatorio . El σ-álgebra generado por es el σ-álgebra generado por las imágenes inversas de conjuntos de cilindros. ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} .}$ ${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)\right\}=\sigma \left(\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\right\}\right),}$$

Véase también

• Función medible  – Función para la cual la preimagen de un conjunto medible es medible
• Espacio muestral  : conjunto de todos los resultados posibles de un ensayo o experimento estadístico.
• Función de conjunto sigma-aditivo  – Función de mapeo
• Anillo sigma  : Familia de conjuntos cerrados bajo uniones contables

Referencias

1. Elstrodt, J. (2018). Maß-Und Integrationstheorie. Springer Spektrum Berlín, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-57939-8
2. "11. Espacios medibles". Aleatorio: probabilidad, estadística matemática, procesos estocásticos . Universidad de Alabama en Huntsville, Departamento de Ciencias Matemáticas . Consultado el 30 de marzo de 2016. Claramente, una σ-álgebra de subconjuntos es también un álgebra de subconjuntos, por lo que los resultados básicos para las álgebras en aún se mantienen.
3. Billingsley, Patrick (2012). Probabilidad y medida (edición de aniversario). Wiley. ISBN 978-1-118-12237-2.
4. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . McGraw-Hill . ISBN. 0-07-054234-1.
5. Vestrup, Eric M. (2009). La teoría de las medidas y la integración . John Wiley & Sons. pág. 12. ISBN 978-0-470-31795-2.
6. Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). "Propiedades de la clase de espacios compactos separables por medida" (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. Si es una medida de Borel en el álgebra de medida de es el álgebra de Boole de todos los conjuntos de Borel módulo -conjuntos nulos. Si es finito, entonces dicha álgebra de medida es también un espacio métrico, siendo la distancia entre los dos conjuntos la medida de su diferencia simétrica. Entonces, decimos que es separable si y solo si este espacio métrico es separable como un espacio topológico. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$
7. Fischer, Tom (2013). "Sobre representaciones simples de tiempos de parada y álgebras sigma de tiempos de parada". Statistics and Probability Letters . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi :10.1016/j.spl.2012.09.024.
8. Kallenberg, Olav (2001). Fundamentos de la probabilidad moderna (2.ª ed.). Springer . p. 7. ISBN 0-387-95313-2.
9. van der Vaart, AW, y Wellner, JA (1996). Convergencia débil y procesos empíricos. En Springer Series in Statistics. Springer Nueva York. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2545-2

Enlaces externos

• "Álgebra de conjuntos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Álgebra Sigma de PlanetMath.