anillo sigma

Anillo cerrado bajo uniones contables.

En matemáticas , una colección no vacía de conjuntos se llama anillo 𝜎 (se pronuncia anillo sigma ) si está cerrada bajo unión contable y complementación relativa .

Definicion formal

Sea una colección de conjuntos no vacía . Entonces es un anillo 𝜎 si: ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

1. Cerrado bajo uniones contables : si es para todos ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. Cerrado bajo complementación relativa : si ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$

Propiedades

Estas dos propiedades implican:

$${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$$

${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

Esto es porque

$${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \bigcup _{n=2}^{\infty }\left(A_{1}\setminus A_{n}\right).}$$

Cada anillo 𝜎 es un anillo δ , pero existen anillos δ que no son anillos 𝜎.

Conceptos similares

Si la primera propiedad se debilita hasta el cierre bajo una unión finita (es decir, siempre que ) pero no una unión contable, entonces es un anillo pero no un anillo 𝜎. ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Usos

Se pueden utilizar anillos 𝜎 en lugar de campos 𝜎 (álgebras 𝜎) en el desarrollo de la teoría de la medida y la integración , si no se desea exigir que el conjunto universal sea mensurable. Todo campo 𝜎 es también un anillo 𝜎, pero un anillo 𝜎 no tiene por qué ser un campo 𝜎.

Un anillo 𝜎 que es una colección de subconjuntos de induce un campo 𝜎 para Definir. Entonces hay un campo 𝜎 sobre el conjunto ; para verificar el cierre bajo una unión contable, recuerde que un anillo está cerrado bajo intersecciones contables. De hecho, es el mínimo campo 𝜎 que contiene, ya que debe estar contenido en cada campo 𝜎 que contiene ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{E\subseteq X:E\in {\mathcal {R}}\ {\text{or}}\ E^{c}\in {\mathcal {R}}\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

Ver también

• δ -ring  - Anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos
• Unión (álgebra sigma)  : estructura algebraica del álgebra de conjuntosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Sistema 𝜆 (sistema Dynkin)  : familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables
• Función medible  : función para la cual la preimagen de un conjunto mensurable es mensurable
• Clase monótona  – teoremaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativaPáginas que muestran descripciones breves sin espacios.
• π -sistema  - Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• Espacio muestral  : conjunto de todos los resultados o resultados posibles de un ensayo o experimento estadístico.
• 𝜎 aditividad  – Función de mapeo
• σ-álgebra  - Estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• 𝜎-ideal  – Familia cerrada en subconjuntos y uniones contables

Referencias

• Walter Rudin , 1976. Principios del Análisis Matemático , 3º. ed. McGraw-Hill. El capítulo final utiliza anillos 𝜎 en el desarrollo de la teoría de Lebesgue.