Limitar inferior y limitar superior

Límites de una secuencia

En matemáticas , el límite inferior y el límite superior de una secuencia pueden considerarse límites limitantes (es decir, eventuales y extremos) de la secuencia. Se pueden considerar de manera similar para una función (ver límite de una función ). Para un conjunto , son el mínimo y el supremo de los puntos límite del conjunto , respectivamente. En general, cuando existen múltiples objetos alrededor de los cuales se acumula una secuencia, función o conjunto, los límites inferior y superior extraen el menor y el mayor de ellos; el tipo de objeto y la medida de tamaño dependen del contexto, pero la noción de límites extremos es invariante. El límite inferior también se llama límite ínfimo , límite ínfimo , límite inferior , límite inferior , o límite interior ; El límite superior también se conoce como límite supremum , límite supremum , limsup , límite superior , límite superior o límite exterior .

Una ilustración del límite superior y del límite inferior. La secuencia x _n se muestra en azul. Las dos curvas rojas se acercan al límite superior y al límite inferior de x _n , que se muestran como líneas discontinuas negras. En este caso, la secuencia se acumula alrededor de los dos límites. El límite superior es el mayor de los dos y el límite inferior es el menor. Los límites inferior y superior concuerdan si y sólo si la secuencia es convergente (es decir, cuando hay un único límite).

El límite inferior de una secuencia se denota por ${\displaystyle (x_{n})}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varliminf _{n\to \infty }x_{n},}$$

${\displaystyle (x_{n})}$

$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}.}$$

Definición de secuencias

ElEl límite inferior de una secuencia (x _n ) está definido por

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup \,\{\,\inf \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

De manera similar, elEl límite superior de (x _n ) está definido por

$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$

$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf \,\{\,\sup \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

Alternativamente, a veces se utilizan las notaciones y . ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$

Los límites superior e inferior pueden definirse equivalentemente utilizando el concepto de límites subsiguientes de la secuencia . ^[1] Un elemento de los números reales extendidos es un límite subsiguiente de si existe una secuencia estrictamente creciente de números naturales tal que . Si es el conjunto de todos los límites subsiguientes de , entonces ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (n_{k})}$ ${\displaystyle \xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}}$ ${\displaystyle E\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E}$

y

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.}$

Si los términos de la secuencia son números reales , el límite superior y el límite inferior siempre existen, ya que los números reales junto con ±∞ (es decir, la recta numérica real extendida ) están completos . De manera más general, estas definiciones tienen sentido en cualquier conjunto parcialmente ordenado , siempre que existan el suprema y el ínfima , como en un retículo completo .

Siempre que existe el límite ordinario, el límite inferior y el límite superior son ambos iguales a él; por lo tanto, cada uno puede considerarse una generalización del límite ordinario que es principalmente interesante en los casos en que el límite no existe . Siempre que existan lim inf  x _n y lim sup  x _n , tenemos

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

Los límites inferior y superior están relacionados con la notación con O grande en el sentido de que limitan una secuencia sólo "en el límite"; la secuencia puede exceder el límite. Sin embargo, con la notación O grande la secuencia sólo puede exceder el límite en un prefijo finito de la secuencia, mientras que el límite superior de una secuencia como e ^{− n} en realidad puede ser menor que todos los elementos de la secuencia. La única promesa que se hace es que alguna cola de la secuencia puede estar acotada arriba por el límite superior más una constante positiva arbitrariamente pequeña, y acotada abajo por el límite inferior menos una constante positiva arbitrariamente pequeña.

El límite superior y el límite inferior de una secuencia son un caso especial de los de una función (ver más abajo).

El caso de sucesiones de números reales.

En el análisis matemático , el límite superior y el límite inferior son herramientas importantes para estudiar secuencias de números reales . Dado que el supremo y el mínimo de un conjunto ilimitado de números reales pueden no existir (los reales no son una red completa), es conveniente considerar secuencias en el sistema de números reales afínmente extendido : sumamos los infinitos positivos y negativos a la recta real. para dar el conjunto completo totalmente ordenado [−∞,∞], que es una red completa.

Interpretación

Considere una secuencia que consta de números reales. Supongamos que el límite superior y el límite inferior son números reales (por lo tanto, no infinitos). ${\displaystyle (x_{n})}$

• El límite superior de es el número real más pequeño tal que, para cualquier número real positivo , existe un número natural tal que para todos . En otras palabras, cualquier número mayor que el límite superior es un eventual límite superior para la secuencia. Sólo un número finito de elementos de la secuencia son mayores que . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{n}<b+\varepsilon }$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle b+\varepsilon }$
• El límite inferior de es el mayor número real tal que, para cualquier número real positivo , existe un número natural tal que para todos . En otras palabras, cualquier número por debajo del límite inferior es un eventual límite inferior para la secuencia. Sólo un número finito de elementos de la secuencia son menores que . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{n}>b-\varepsilon }$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle b-\varepsilon }$

Propiedades

En caso de que la secuencia esté acotada, casi todos los miembros de la secuencia se encuentran en el intervalo abierto. ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle (\liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon ,\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon ).}$

La relación de límite inferior y límite superior para secuencias de números reales es la siguiente:

$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(-x_{n}\right)=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$$

Como se mencionó anteriormente, es conveniente extender a Entonces, en converge si y sólo si ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\liminf _{n\to \infty }x_{n}&=\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}}$$

Si y , entonces el intervalo no necesita contener ninguno de los números , pero cada pequeña ampliación arbitrariamente pequeña contendrá todos los índices excepto un número finito . De hecho, el intervalo es el intervalo cerrado más pequeño con esta propiedad. Podemos formalizar esta propiedad así: existen subsecuencias y de (donde y son crecientes) para las cuales tenemos ${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle [I,S]}$ ${\displaystyle x_{n},}$ ${\displaystyle [I-\epsilon ,S+\epsilon ],}$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle [I,S]}$ ${\displaystyle x_{k_{n}}}$ ${\displaystyle x_{h_{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$$

Por otro lado, existe un modo de que para todos ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon }$$

Recapitular:

• Si es mayor que el límite superior, hay como mucho un finito de mayores que si es menor, hay infinitos. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda ;}$
• Si es menor que el límite inferior, hay como mucho un finito menos que si es mayor, hay infinitos. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \lambda ;}$

Por el contrario, también se puede demostrar que:

• Si hay infinitos mayores o iguales que , entonces es menor o igual que el límite supremo; si sólo hay un número finito de valores mayores que , entonces es mayor o igual que el límite supremo. ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$
• Si hay infinitos menores o iguales que , entonces es mayor o igual que el límite inferior; si sólo hay un número finito de menores que , entonces es menor o igual que el límite inferior. ^[2] ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

En general,

$${\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}.}$$

puntos de grupo^[3]

• Para dos secuencias cualesquiera de números reales, el límite superior satisface la subaditividad siempre que se define el lado derecho de la desigualdad (es decir, no o ): ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$ ${\displaystyle \infty -\infty }$ ${\displaystyle -\infty +\infty }$
  $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\ \limsup _{n\to \infty }b_{n}.}$$

De manera análoga, el límite inferior satisface la superaditividad :

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\ \liminf _{n\to \infty }b_{n}.}$$

${\displaystyle a_{n}\to a,}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a}$

• Para dos secuencias cualesquiera de números reales no negativos, las desigualdades ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$
  $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\!\right)\!\!\left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\!\right)}$$
  y
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\!\!\left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)}$$

mantener siempre que el lado derecho no tenga la forma ${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

Si existe (incluido el caso ) y luego siempre que no sea de la forma ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$ ${\displaystyle A=+\infty }$ ${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}b_{n}\right)=AB}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

Ejemplos

• Como ejemplo, considere la secuencia dada por la función seno : Usando el hecho de que π es irracional , se deduce que ${\displaystyle x_{n}=\sin(n).}$
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1}$$
  y
  $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1.}$$
  (Esto se debe a que la secuencia está equidistribuida mod 2π , una consecuencia del teorema de la equidistribución ). ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$

• Un ejemplo de la teoría de números es
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(p_{n+1}-p_{n}),}$$
  ¿ Dónde está el -ésimo número primo ? ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Se conjetura que el valor de este límite inferior es 2 (esta es la conjetura de los primos gemelos ), pero hasta abril de 2014 ^[update]solo se ha demostrado que es menor o igual a 246. ^[4] El límite superior correspondiente es , porque hay arbitrariamente Grandes brechas entre números primos consecutivos . ${\displaystyle +\infty }$

Funciones de valor real

Supongamos que una función se define a partir de un subconjunto de números reales hasta los números reales. Como en el caso de las sucesiones, el límite inferior y el límite superior siempre están bien definidos si permitimos los valores +∞ y −∞; de hecho, si ambos están de acuerdo, entonces el límite existe y es igual a su valor común (nuevamente posiblemente incluyendo los infinitos). Por ejemplo, dado , tenemos y . La diferencia entre los dos es una medida aproximada de qué tan "salvajemente" oscila la función y, en observación de este hecho, se le llama oscilación de f en 0. Esta idea de oscilación es suficiente para, por ejemplo, caracterizar la función integrable de Riemann. funciona como continuo excepto en un conjunto de medida cero . ^[5] Tenga en cuenta que los puntos de oscilación distinta de cero (es decir, puntos en los que f se " comporta mal ") son discontinuidades que, a menos que formen un conjunto de cero, están confinadas a un conjunto insignificante. ${\displaystyle f(x)=\sin(1/x)}$ ${\displaystyle \limsup _{x\to 0}f(x)=1}$ ${\displaystyle \liminf _{x\to 0}f(x)=-1}$

Funciones desde espacios topológicos hasta celosías completas.

Funciones de espacios métricos

Existe una noción de limsup y liminf para funciones definidas en un espacio métrico cuya relación con los límites de funciones con valores reales refleja la relación entre limsup, liminf y el límite de una secuencia real. Tome un espacio métrico , un subespacio contenido en y una función . Defina, para cualquier punto límite de , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$

y

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$

donde denota la bola métrica de radio aproximadamente . ${\displaystyle B(a,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle a}$

Tenga en cuenta que a medida que ε se reduce, el supremo de la función sobre la pelota es monótono decreciente , por lo que tenemos

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$

y de manera similar

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right).}$

Funciones de espacios topológicos.

Esto finalmente motiva las definiciones de espacios topológicos generales . Tome X , E y a como antes, pero ahora sea X un espacio topológico. En este caso, reemplazamos bolas métricas con vecindades :

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf \,\{\,\sup \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup \,\{\,\inf \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

(Hay una manera de escribir la fórmula usando "lim" usando redes y el filtro de vecindad ). Esta versión suele ser útil en discusiones sobre semicontinuidad que surgen con bastante frecuencia en el análisis. Una nota interesante es que esta versión subsume la versión secuencial al considerar secuencias como funciones de los números naturales como un subespacio topológico de la línea real extendida, en el espacio (el cierre de N en [−∞,∞], el número real extendido línea , es  N  ∪ {∞}.)

Secuencias de conjuntos

El conjunto potencia ℘( X ) de un conjunto X es una red completa que está ordenada por inclusión de conjuntos , por lo que el supremo y el mínimo de cualquier conjunto de subconjuntos (en términos de inclusión de conjuntos) siempre existen. En particular, cada subconjunto Y de X está acotado arriba por X y abajo por el conjunto vacío ∅ porque ∅ ⊆ Y ⊆ X . Por lo tanto, es posible (y a veces útil) considerar límites superior e inferior de secuencias en ℘( X ) (es decir, secuencias de subconjuntos de X ).

Hay dos formas comunes de definir el límite de secuencias de conjuntos. En ambos casos:

• La secuencia se acumula alrededor de conjuntos de puntos en lugar de puntos individuales en sí. Es decir, debido a que cada elemento de la secuencia es en sí mismo un conjunto, existen conjuntos de acumulación que de alguna manera están cerca de una infinidad de elementos de la secuencia.
• El límite supremo/superior/externo es un conjunto que une estos conjuntos de acumulación. Es decir, es la unión de todos los conjuntos de acumulación. Al ordenar por inclusión de conjuntos, el límite supremo es el límite superior mínimo del conjunto de puntos de acumulación porque contiene a cada uno de ellos. Por tanto, es el supremo de los puntos límite.
• El límite mínimo/inferior/interno es un conjunto donde se encuentran todos estos conjuntos de acumulación . Es decir, es la intersección de todos los conjuntos de acumulación. Al ordenar por inclusión de conjuntos, el límite mínimo es el límite inferior mayor del conjunto de puntos de acumulación porque está contenido en cada uno de ellos. Por tanto, es el mínimo de los puntos límite.
• Debido a que el orden se realiza por inclusión de conjuntos, entonces el límite externo siempre contendrá el límite interno (es decir, lim inf  X _n ⊆ lim sup  X _n ). Por tanto, al considerar la convergencia de una secuencia de conjuntos, generalmente basta con considerar la convergencia del límite exterior de esa secuencia.

La diferencia entre las dos definiciones implica cómo se define la topología (es decir, cómo cuantificar la separación). De hecho, la segunda definición es idéntica a la primera cuando se utiliza la métrica discreta para inducir la topología en X.

Convergencia de conjuntos generales

Una secuencia de conjuntos en un espacio metrizable se acerca a un conjunto límite cuando los elementos de cada miembro de la secuencia se acercan a los elementos del conjunto límite. En particular, si es una secuencia de subconjuntos de entonces: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X_{n})}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle \limsup X_{n},}$que también se llama límite exterior , consta de aquellos elementos que son límites de puntos tomados de (contablemente) infinitos Es decir, si y sólo si existe una secuencia de puntos y una subsecuencia de tales que y ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle x\in \limsup X_{n}}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle (X_{n_{k}})}$ ${\displaystyle (X_{n})}$ ${\displaystyle x_{k}\in X_{n_{k}}}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$
• ${\displaystyle \liminf X_{n},}$que también se llama límite interno , consta de aquellos elementos que son límites de puntos para todos menos un número finito (es decir, un número finito ). Es decir, si y sólo si existe una secuencia de puntos tal que y ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in \liminf X_{n}}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}\in X_{k}}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$

El límite existe si y sólo si y concuerdan, en cuyo caso ^[6] Los límites exterior e interior no deben confundirse con los límites superior e inferior de la teoría de conjuntos , ya que estos últimos conjuntos no son sensibles a la estructura topológica del espacio. ${\displaystyle \lim X_{n}}$ ${\displaystyle \liminf X_{n}}$ ${\displaystyle \limsup X_{n}}$ ${\displaystyle \lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.}$

Caso especial: métrica discreta

Esta es la definición utilizada en la teoría de la medida y la probabilidad . Más discusiones y ejemplos desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, a diferencia del punto de vista topológico que se analiza a continuación, se encuentran en el límite de la teoría de conjuntos .

Según esta definición, una secuencia de conjuntos se aproxima a un conjunto limitante cuando el conjunto limitante incluye elementos que están en todos excepto en un número finito de conjuntos de la secuencia y no incluye elementos que están en todos excepto en un número finito de complementos de conjuntos de la secuencia. Es decir, este caso especializa la definición general cuando la topología en el conjunto X se induce a partir de la métrica discreta .

Específicamente, para los puntos x , y ∈ X , la métrica discreta se define por

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}}$

bajo el cual una secuencia de puntos ( x _k ) converge al punto x ∈ X si y sólo si x _k = x para todos menos un número finito de k . Por lo tanto, si el conjunto límite existe, contiene los puntos y solo los puntos que están en todos los conjuntos de la secuencia, excepto en un número finito. Dado que la convergencia en la métrica discreta es la forma más estricta de convergencia (es decir, la que requiere más), esta definición de un conjunto de límites es la más estricta posible.

Si ( X _n ) es una secuencia de subconjuntos de X , entonces siempre existe lo siguiente:

• lim sup  X _n consta de elementos de X que pertenecen a X _n para infinitos n (ver contablemente infinito ). Es decir, x ∈ lim sup  X _n si y sólo si existe una subsecuencia ( X _{n k} ) de ( X _n ) tal que x ∈ X _{n k} para todo k .
• lim inf  X _n consta de elementos de X que pertenecen a X _n para todos excepto para un número finito de n (es decir, para un número finito de n ). Es decir, x ∈ lim inf  X _n si y sólo si existe algún m > 0 tal que x ∈ X _n para todo n > m .

Observe que x ∈ lim sup  X _n si y sólo si x ∉ lim inf  X _n ^c .

• lim  X _n existe si y solo si lim inf  X _n y lim sup  X _n están de acuerdo, en cuyo caso lim  X _n = lim sup  X _n = lim inf  X _n .

En este sentido, la secuencia tiene un límite siempre que cada punto en X aparezca en todos excepto en un número finito de X _n o aparezca en todos excepto en un número finito de X _n ^c .^[7]

Usando el lenguaje estándar de la teoría de conjuntos, la inclusión de conjuntos proporciona un ordenamiento parcial en la colección de todos los subconjuntos de X que permite que la intersección de conjuntos genere un límite inferior máximo y la unión de conjuntos genere un límite superior mínimo. Por lo tanto, el mínimo o encuentro de una colección de subconjuntos es el límite inferior mayor, mientras que el supremo o unión es el límite superior mínimo. En este contexto, el límite interior, lim inf  X _n , es la unión más grande de colas de la secuencia, y el límite exterior, lim sup  X _n , es la unión más pequeña de colas de la secuencia. Lo siguiente lo hace preciso.

• Sea I _n el encuentro de la enésima ^cola de la secuencia. Eso es,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

La secuencia ( I _{n )} no es decreciente (es decir, _In ⊆ In +1 ₎ porque cada _In +1 _es la intersección de menos conjuntos _que In . El límite superior mínimo en esta secuencia de encuentros de colas es

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup \,\{\,\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

Entonces, el límite mínimo contiene todos los subconjuntos que son límites inferiores para todos, excepto un número finito de conjuntos de la secuencia.

• De manera similar, sea J _n la unión de la enésima ^cola de la secuencia. Eso es,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}&=\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

La secuencia ( J _n ) no es creciente (es decir, J _n ⊇ J _{n +1} ) porque cada J _{n +1} es la unión de menos conjuntos que J _n . El mayor límite inferior de esta secuencia de uniones de colas es

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf \,\{\,\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el límite supremo está contenido en todos los subconjuntos que son límites superiores para todos, excepto un número finito de conjuntos de la secuencia.

Ejemplos

Los siguientes son varios ejemplos de convergencia de conjuntos. Se han dividido en secciones con respecto a la métrica utilizada para inducir la topología en el conjunto X.

Usando la métrica discreta

• El lema de Borel-Cantelli es un ejemplo de aplicación de estos constructos.

Usando la métrica discreta o la métrica euclidiana

• Considere el conjunto X = {0,1} y la secuencia de subconjuntos:

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

Los elementos "impar" y "par" de esta secuencia forman dos subsecuencias, ({0}, {0}, {0}, ...) y ({1}, {1}, {1}, ... ), que tienen puntos límite 0 y 1, respectivamente, por lo que el límite exterior o superior es el conjunto {0,1} de estos dos puntos. Sin embargo, no hay puntos límite que puedan tomarse de la secuencia ( X _n ) en su conjunto, por lo que el límite interior o inferior es el conjunto vacío {}. Eso es,

• límite sup  X _n = {0,1}
• límite inf  X _norte = { }

Sin embargo, para ( Y _n ) = ({0}, {0}, {0}, ...) y ( Z _n ) = ({1}, {1}, {1}, ...):

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {0}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {1}

• Considere el conjunto X = {50, 20, −100, −25, 0, 1} y la secuencia de subconjuntos:

${\displaystyle (X_{n})=(\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

Como en los dos ejemplos anteriores,

• límite sup  X _n = {0,1}
• límite inf  X _norte = { }

Es decir, los cuatro elementos que no coinciden con el patrón no afectan a lim inf y lim sup porque solo hay un número finito de ellos. De hecho, estos elementos podrían ubicarse en cualquier lugar de la secuencia. Mientras se mantengan las colas de la secuencia, los límites exterior e interior no cambiarán. Los conceptos relacionados de límites internos y externos esenciales , que utilizan el supremo esencial y el mínimo esencial , proporcionan una modificación importante que "aplasta" muchas (en lugar de un número finito) de adiciones intersticiales contables.

Usando la métrica euclidiana

• Considere la secuencia de subconjuntos de números racionales :

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots ).}$

Los elementos "pares" e impares de esta secuencia forman dos subsecuencias, ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) y ({1}, { 1/2}, {1/3}, {1/4}, ...), que tienen puntos límite 1 y 0, respectivamente, por lo que el límite exterior o superior es el conjunto {0,1} de estos dos puntos. Sin embargo, no hay puntos límite que puedan tomarse de la secuencia ( X _n ) en su conjunto, por lo que el límite interior o inferior es el conjunto vacío {}. Entonces, como en el ejemplo anterior,

• límite sup  X _n = {0,1}
• límite inf  X _norte = { }

Sin embargo, para ( Y _n ) = ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) y ( Z _n ) = ({1}, {1/2 }, {1/3}, {1/4}, ...):

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {1}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {0}

En cada uno de estos cuatro casos, los elementos de los conjuntos limitantes no son elementos de ninguno de los conjuntos de la secuencia original.

• El límite Ω (es decir, el conjunto de límites ) de una solución a un sistema dinámico es el límite exterior de las trayectorias de solución del sistema. ^{[6] : 50–51} Debido a que las trayectorias se acercan cada vez más a este límite establecido, las colas de estas trayectorias convergen al límite establecido.

• Por ejemplo, un sistema LTI que es la conexión en cascada de varios sistemas estables con un sistema LTI de segundo orden no amortiguado (es decir, relación de amortiguación cero ) oscilará infinitamente después de ser perturbado (por ejemplo, una campana ideal después de ser golpeada). Por lo tanto, si la posición y la velocidad de este sistema se comparan entre sí, las trayectorias se aproximarán a un círculo en el espacio de estados . Este círculo, que es el conjunto límite Ω del sistema, es el límite exterior de las trayectorias de solución del sistema. El círculo representa el lugar geométrico de una trayectoria correspondiente a una salida de tono sinusoidal pura; es decir, la salida del sistema se aproxima a un tono puro.

Definiciones generalizadas

Las definiciones anteriores son inadecuadas para muchas aplicaciones técnicas. De hecho, las definiciones anteriores son especializaciones de las siguientes definiciones.

Definición de un conjunto

El límite inferior de un conjunto X  ⊆  Y es el mínimo de todos los puntos límite del conjunto. Eso es,

${\displaystyle \liminf X:=\inf \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

Asimismo, el límite superior de X es el supremo de todos los puntos límite del conjunto. Eso es,

${\displaystyle \limsup X:=\sup \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

Tenga en cuenta que el conjunto X debe definirse como un subconjunto de un conjunto Y parcialmente ordenado que también sea un espacio topológico para que estas definiciones tengan sentido. Además, tiene que ser un entramado completo para que el suprema y el ínfima siempre existan. En ese caso cada conjunto tiene un límite superior y un límite inferior. Tenga en cuenta también que el límite inferior y el límite superior de un conjunto no tienen por qué ser elementos del conjunto.

Definición de bases de filtro

Tome un espacio topológico X y una base de filtro B en ese espacio. El conjunto de todos los puntos de agrupación para esa base de filtro está dado por

${\displaystyle \bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

donde esta el cierre de . Este es claramente un conjunto cerrado y es similar al conjunto de puntos límite de un conjunto. Supongamos que X también es un conjunto parcialmente ordenado . El límite superior de la base del filtro B se define como ${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$ ${\displaystyle B_{0}}$

${\displaystyle \limsup B:=\sup \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

cuando ese supremo existe. Cuando X tiene un orden total , es una red completa y tiene la topología de orden ,

${\displaystyle \limsup B=\inf \,\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

De manera similar, el límite inferior de la base del filtro B se define como

${\displaystyle \liminf B:=\inf \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

cuando ese mínimo existe; si X está totalmente ordenado, es una red completa y tiene la topología de orden, entonces

${\displaystyle \liminf B=\sup \,\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

Si el límite inferior y el límite superior coinciden, entonces debe haber exactamente un punto de agrupación y el límite de la base del filtro es igual a este punto de agrupación único.

Especialización en secuencias y redes.

Tenga en cuenta que las bases de filtro son generalizaciones de redes , que son generalizaciones de secuencias . Por lo tanto, estas definiciones también dan el límite inferior y el límite superior de cualquier red (y por tanto de cualquier secuencia). Por ejemplo, tomemos el espacio topológico y la red , donde hay un conjunto dirigido y para todos . La base de filtro ("de colas") generada por esta red está definida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle (A,{\leq })}$ ${\displaystyle x_{\alpha }\in X}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B:=\{\{x_{\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}.\,}$

Por tanto, el límite inferior y el límite superior de la red son iguales al límite superior y al límite inferior de respectivamente. De manera similar, para el espacio topológico , tome la secuencia donde para cualquiera . La base de filtro ("de colas") generada por esta secuencia está definida por ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}\in X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C:=\{\{x_{n}:n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathbb {N} \}.\,}$

Por tanto, el límite inferior y el límite superior de la secuencia son iguales al límite superior y al límite inferior de respectivamente. ${\displaystyle C}$

Ver también

• Ínfimo esencial y supremo esencial
• Sobre (ondas)
• Límite unilateral
• derivados dini
• Límite de la teoría de conjuntos

Referencias

1. Rudin, W. (1976). Principios del análisis matemático. Nueva York: McGraw-Hill. pag. 56.ISBN _ 007054235X.
2. Gleason, Andrew M. (1992). Fundamentos del análisis abstracto . Boca Ratón, Florida. págs. 176-177. ISBN 978-1-4398-6481-4. OCLC  1074040561.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Gleason, Andrew M. (1992). Fundamentos del análisis abstracto . Boca Ratón, Florida. págs. 160–182. ISBN 978-1-4398-6481-4. OCLC  1074040561.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. "Brechas acotadas entre números primos". Wiki de polímatas . Consultado el 14 de mayo de 2014 .^{[ fuente poco confiable? ]}
5. "Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann (notas de la conferencia MATH314)" (PDF) . Universidad de Windsor . Archivado desde el original (PDF) el 3 de marzo de 2007 . Consultado el 24 de febrero de 2006 .
6. Goebel, Rafal; Sanfelice, Ricardo G.; Tel, Andrew R. (2009). "Sistemas dinámicos híbridos". Revista de sistemas de control IEEE . 29 (2): 28–93. doi :10.1109/MCS.2008.931718.
7. Halmos, Paul R. (1950). Teoría de la medida . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, Inc.

• Amann, H.; Escher, Joaquín (2005). Análisis . Basilea; Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-7153-6.
• González, Mario O (1991). Análisis complejo clásico . Nueva York: M. Dekker. ISBN 0-8247-8415-4.

enlaces externos

• "Límites superior e inferior", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]