Teorema de equidistribución

Los múltiplos enteros de cualquier irracional mod 1 están distribuidos uniformemente en el círculo

Ilustración de cómo llenar el intervalo unitario (eje horizontal) con los primeros n términos usando el teorema de equidistribución con cuatro números irracionales comunes, para n de 0 a 999 (eje vertical). Las 113 bandas distintas para π se deben a la cercanía de su valor al número racional 355/113. De manera similar, los 7 grupos distintos se deben a que π es aproximadamente 22/7.
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En matemáticas , el teorema de la equidistribución es la afirmación de que la secuencia

un , 2 un , 3 un , ... mod 1

se distribuye uniformemente en el círculo , cuando a es un número irracional . Es un caso especial del teorema ergódico donde se toma la medida del ángulo normalizado . ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mu ={\frac {d\theta }{2\pi }}}$

Historia

Si bien este teorema fue demostrado en 1909 y 1910 por separado por Hermann Weyl , Wacław Sierpiński y Piers Bohl , se siguen estudiando variantes de este teorema hasta el día de hoy.

En 1916, Weyl demostró que la secuencia a , 2 ² a , 3 ² a , ... mod 1 está distribuida uniformemente en el intervalo unitario. En 1937, Ivan Vinogradov demostró que la secuencia p _n a mod 1 está distribuida uniformemente, donde p _n es el enésimo primo . La prueba de Vinogradov fue un subproducto de la conjetura impar de Goldbach , de que todo número impar suficientemente grande es la suma de tres primos.

George Birkhoff , en 1931, y Aleksandr Khinchin , en 1933, demostraron que la generalización x  +  na , para casi todo x , está equidistribuida en cualquier subconjunto mensurable de Lebesgue del intervalo unitario. Jean Bourgain demostró las correspondientes generalizaciones de los resultados de Weyl y Vinogradov en 1988.

Específicamente, Khinchin demostró que la identidad

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f((x+ka){\bmod {1}})=\int _{0}^{1}f(y)\,dy}$

es válido para casi todos los x y cualquier función integrable de Lebesgue ƒ. En las formulaciones modernas, se pregunta bajo qué condiciones la identidad

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f((x+b_{k}a){\bmod {1}})=\int _{0}^{1}f(y)\,dy}$

podría ser válido, dada alguna secuencia general b _k .

Un resultado digno de mención es que la secuencia 2 ^k a  mod 1 está distribuida uniformemente para casi todos, pero no todos, los a irracionales . De manera similar, para la secuencia b _k  = 2 ^k a, para cada irracional a , y casi todos los x , existe una función ƒ para la cual la suma diverge. En _este sentido, esta secuencia se considera una secuencia de promedio universalmente mala , a diferencia de bk  =  k , que se denomina secuencia de promedio universalmente buena , porque no tiene este último inconveniente.

Un resultado general poderoso es el criterio de Weyl , que muestra que la equidistribución equivale a tener una estimación no trivial de las sumas exponenciales formadas con la secuencia como exponentes. Para el caso de múltiplos de a , el criterio de Weyl reduce el problema a sumar series geométricas finitas .

Ver también

• Aproximación diofántica
• Secuencia de baja discrepancia
• Teorema de aproximación de Dirichlet
• Teorema de las tres brechas

Referencias

Referencias históricas

• P. Bohl, (1909) Über ein in der Theorie der säkularen Störungen vorkommendes Problem , J. reine angew. Matemáticas. 135 , págs. 189-283.
• Weyl, H. (1910). "Über die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 330 : 377–407. doi :10.1007/bf03014883. S2CID  122545523.
• W. Sierpinski, (1910) Sur la valeur asymptotique d'une suree somme , Bull Intl. Acad. Polonesa de ciencia. et des Lettres (Cracovia) serie A , págs. 9-11.
• Weyl, H. (1916). "Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins". Matemáticas. Ana . 77 (3): 313–352. doi :10.1007/BF01475864. S2CID  123470919.
• Birkhoff, GD (1931). "Demostración del teorema ergódico". Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE.UU . 17 (12): 656–660. Código bibliográfico : 1931PNAS...17..656B. doi : 10.1073/pnas.17.12.656 . PMC  1076138 . PMID  16577406.
• Sí. Khinchin, A. (1933). "Lösung des Ergodensproblems de Zur Birkhoff". Matemáticas. Ana . 107 : 485–488. doi :10.1007/BF01448905. S2CID  122289068.

Referencias modernas

• Joseph M. Rosenblatt y Máté Weirdl, Teoremas ergódicos puntuales mediante análisis armónico , (1993) que aparecen en Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Actas de la Conferencia de Alejandría de 1993 , (1995) Karl E. Petersen e Ibrahim A. Salama, eds. . , Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0 . (Un estudio extenso de las propiedades ergódicas de las generalizaciones del teorema de equidistribución de mapas de desplazamiento en el intervalo unitario . Se centra en los métodos desarrollados por Bourgain). 
• Elias M. Stein y Rami Shakarchi, Análisis de Fourier. Introducción , (2003) Princeton University Press, págs. 105-113 (Demostración del teorema de Weyl basada en el análisis de Fourier)