Sobre (ondas)

Curva suave que describe los extremos de una señal oscilante.

En física e ingeniería , la envolvente de una señal oscilante es una curva suave que delinea sus extremos. ^[1] La envolvente generaliza así el concepto de amplitud constante en una amplitud instantánea . La figura ilustra una onda sinusoidal modulada que varía entre una envolvente superior y una envolvente inferior . La función envolvente puede ser función del tiempo, el espacio, el ángulo o incluso de cualquier variable.

Envolvente para una onda sinusoidal modulada.

En olas batiendo

Onda modulada que resulta de la suma de dos ondas sinusoidales de idéntica amplitud y longitud de onda y frecuencia casi idénticas.

Una situación común que resulta en una función envolvente tanto en el espacio x como en el tiempo t es la superposición de dos ondas de casi la misma longitud de onda y frecuencia: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}}$

que utiliza la fórmula trigonométrica para la suma de dos ondas sinusoidales , y la aproximación Δ λ  ≪  λ :

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.}$

Aquí la longitud de onda de modulación λ _mod viene dada por: ^{[2] [3]}

${\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .}$

La longitud de onda de modulación es el doble que la de la propia envolvente porque cada media longitud de onda de la onda coseno moduladora gobierna los valores positivos y negativos de la onda sinusoidal modulada. Asimismo, la frecuencia de batido es la de la envolvente, el doble que la de la onda moduladora, o 2Δ f . ^[4]

Si esta onda es una onda sonora, el oído escucha la frecuencia asociada con f y la amplitud de este sonido varía con la frecuencia del latido. ^[4]

Velocidad de fase y grupo.

El cuadrado rojo se mueve con la velocidad de fase y los círculos verdes se propagan con la velocidad de grupo .

El argumento de las sinusoides anteriores, aparte de un factor 2 π , es:

${\displaystyle \xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,}$

${\displaystyle \xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,}$

con los subíndices C y E referidos al transportista y al sobre . La misma amplitud F de la onda resulta de los mismos valores de ξ _C y ξ _E , cada uno de los cuales puede volver al mismo valor a través de elecciones diferentes pero adecuadamente relacionadas de x y t . Esta invariancia significa que se pueden rastrear estas formas de onda en el espacio para encontrar la velocidad de una posición de amplitud fija a medida que se propaga en el tiempo; Para que el argumento de la onda portadora permanezca igual, la condición es:

${\displaystyle \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,}$

lo que muestra que para mantener una amplitud constante la distancia Δ x está relacionada con el intervalo de tiempo Δ t por la llamada velocidad de fase v _p

${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .}$

Por otro lado, las mismas consideraciones muestran que la envolvente se propaga a la llamada velocidad de grupo v _g : ^[5]

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .}$

Una expresión más común para la velocidad del grupo se obtiene introduciendo el vector de onda k :

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .}$

Observamos que para pequeños cambios Δ λ , la magnitud del pequeño cambio correspondiente en el vector de onda, digamos Δ k , es:

${\displaystyle \Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,}$

entonces la velocidad del grupo se puede reescribir como:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,}$

donde ω es la frecuencia en radianes/s: ω = 2 π f . En todos los medios, la frecuencia y el vector de onda están relacionados por una relación de dispersión , ω = ω ( k ), y la velocidad del grupo se puede escribir:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .}$

Relación de dispersión ω=ω( k ) para algunas ondas correspondientes a vibraciones reticulares en GaAs. ^[6]

En un medio como el vacío clásico, la relación de dispersión de las ondas electromagnéticas es:

${\displaystyle \omega =c_{0}k}$

donde c ₀ es la velocidad de la luz en el vacío clásico. Para este caso, las velocidades de fase y de grupo son c ₀ .

En los llamados medios dispersivos, la relación de dispersión puede ser una función complicada del vector de onda, y las velocidades de fase y de grupo no son las mismas. Por ejemplo, para varios tipos de ondas exhibidas por vibraciones atómicas ( fonones ) en GaAs , las relaciones de dispersión se muestran en la figura para varias direcciones del vector de onda k . En el caso general, las velocidades de fase y de grupo pueden tener direcciones diferentes. ^[7]

En aproximación de funciones

Probabilidades de electrones en los dos estados cuánticos más bajos de un pozo cuántico de GaAs de 160 Å en una heteroestructura de GaAs- GaAlAs calculadas a partir de funciones de envolvente. ^[8]

En física de la materia condensada, una función propia de energía para un portador de carga móvil en un cristal se puede expresar como una onda de Bloch :

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

donde n es el índice de la banda (por ejemplo, banda de conducción o valencia), r es una ubicación espacial y k es un vector de onda . La exponencial es una función que varía sinusoidalmente correspondiente a una envolvente que varía lentamente y modula la parte que varía rápidamente de la función de onda _un , _{k que} describe el comportamiento de la función de onda cerca de los núcleos de los átomos de la red. La envolvente está restringida a valores k dentro de un rango limitado por la zona de Brillouin del cristal, y eso limita la rapidez con la que puede variar con la ubicación r .

Para determinar el comportamiento de los portadores utilizando la mecánica cuántica , generalmente se utiliza la aproximación de la envolvente , en la que la ecuación de Schrödinger se simplifica para referirse sólo al comportamiento de la envolvente y las condiciones de contorno se aplican directamente a la función de la envolvente, en lugar de a la función completa. función de onda. ^[9] Por ejemplo, la función de onda de un portador atrapado cerca de una impureza se rige por una función envolvente F que gobierna una superposición de funciones de Bloch:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

donde los componentes de Fourier de la envolvente F ( k ) se encuentran a partir de la ecuación aproximada de Schrödinger. ^[10] En algunas aplicaciones, la parte periódica u _k se reemplaza por su valor cerca del borde de la banda, digamos k = k ₀ , y luego: ^[9]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .}$

En patrones de difracción

El patrón de difracción de una doble rendija tiene una envolvente de una sola rendija.

Los patrones de difracción de múltiples rendijas tienen envolventes determinadas por el patrón de difracción de una sola rendija. Para una sola rendija, el patrón viene dado por: ^[11]

${\displaystyle I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,}$

donde α es el ángulo de difracción, d es el ancho de la rendija y λ es la longitud de onda. Para múltiples rendijas, el patrón es ^[11]

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

donde q es el número de rendijas y g es la constante de la rejilla. El primer factor, el resultado de una sola rendija I ₁ , modula el segundo factor que varía más rápidamente y depende del número de rendijas y su espaciamiento.

Estimacion

Un detector de envolvente es un circuito electrónico que extrae la envolvente de una señal.

En el procesamiento de señales digitales , la envolvente se puede estimar empleando la transformada de Hilbert o una amplitud RMS en movimiento . ^[12]

Ver también

• Señal analítica § Envolvente compleja/banda base
• Descomposición en modo empírico
• Sobre (matemáticas)
• Seguimiento de sobres
• Fase instantánea
• Modulación
• Matemáticas de la oscilación.
• Potencia máxima de la envolvente
• envolvente espectral

Referencias

1. C. Richard Johnson, hijo; William A. Sethares; Andrew G. Klein (2011). "Figura C.1: La envolvente de una función delimita sus extremos de forma suave". Diseño de receptor de software: cree su propio sistema de comunicación digital en cinco sencillos pasos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 417.ISBN _ 978-0521189446.
2. Blair Kinsman (2002). Ondas de viento: su generación y propagación en la superficie del océano (Reimpresión de Prentice-Hall 1965 ed.). Publicaciones de Courier Dover . pag. 186.ISBN _ 0486495116.
3. Mark W. Denny (1993). Aire y agua: la biología y la física de los medios de vida . Prensa de la Universidad de Princeton . págs.289. ISBN 0691025185.
4. Paul Allen Tipler; Gen Mosca (2008). Física para científicos e ingenieros, volumen 1 (6ª ed.). Macmillan. pag. 538.ISBN _ 978-1429201247.
5. Peter W. Milonni ; Joseph H. Eberly (2010). "§8.3 Velocidad de grupo". Física del láser (2ª ed.). John Wiley e hijos . pag. 336.ISBN _ 978-0470387719.
6. Peter Y. Yu; Manuel Cardona (2010). "Fig. 3.2: Curvas de dispersión de fonones en GaAs a lo largo de ejes de alta simetría". Fundamentos de semiconductores: física y propiedades de los materiales (4ª ed.). Saltador. pag. 111.ISBN _ 978-3642007095.
7. V. Cerveny; Vlastislav Červený (2005). "§2.2.9 Relación entre los vectores de velocidad de fase y de grupo". Teoría de los rayos sísmicos . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 35.ISBN _ 0521018226.
8. G Bastardo; JA Brum; R Ferreira (1991). "Figura 10 en estados electrónicos en heteroestructuras de semiconductores". En Henry Ehrenreich; David Turnbull (eds.). Física del estado sólido: Heteroestructuras y Nanoestructuras de semiconductores . pag. 259.ISBN _ 0126077444.
9. Christian Schüller (2006). "§2.4.1 Aproximación de la función envolvente (EFA)". Dispersión inelástica de la luz de nanoestructuras semiconductoras: fundamentos y avances recientes . Saltador. pag. 22.ISBN _ 3540365257.
10. Por ejemplo, consulte Marco Fanciulli (2009). "§1.1 Aproximación de la función envolvente". "Resonancia de espín electrónico y fenómenos relacionados en estructuras de bajas dimensiones ". Saltador. págs. 224 y siguientes . ISBN 978-3540793649.
11. Kordt Griepenkerl (2002). "Distribución de intensidad para difracción por rendija y patrón de intensidad para difracción por rejilla". En John W. Harris; Walter Benenson; Horst Stöcker; Holger Lutz (eds.). Manual de física . Saltador. págs. 306 y siguientes . ISBN 0387952691.
12. "Extracción de sobres: MATLAB y Simulink". Trabajos de matemáticas . 2021-09-02 . Consultado el 16 de noviembre de 2021 .

Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Función de sobre", que tiene la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no la GFDL .