ecuación de Schrödinger

Descripción de un sistema mecánico cuántico.

La ecuación de Schrödinger inscrita en la lápida de Annemarie y Erwin Schrödinger. ( Se utiliza la notación de puntos de Newton para la derivada del tiempo).

La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial parcial lineal que gobierna la función de onda de un sistema mecánico cuántico. ^{[1] : 1–2} Su descubrimiento fue un hito importante en el desarrollo de la mecánica cuántica . Lleva el nombre de Erwin Schrödinger , quien postuló la ecuación en 1925 y la publicó en 1926, formando la base del trabajo que resultó en su Premio Nobel de Física en 1933. ^{[2] [3]}

Conceptualmente, la ecuación de Schrödinger es la contraparte cuántica de la segunda ley de Newton en la mecánica clásica . Dado un conjunto de condiciones iniciales conocidas, la segunda ley de Newton hace una predicción matemática sobre qué camino tomará un sistema físico determinado con el tiempo. La ecuación de Schrödinger da la evolución en el tiempo de una función de onda , la caracterización mecánico-cuántica de un sistema físico aislado. La ecuación fue postulada por Schrödinger basándose en un postulado de Louis de Broglie de que toda materia tiene una onda de materia asociada . La ecuación predijo los estados ligados del átomo de acuerdo con las observaciones experimentales. ^{[4] :II:268}

La ecuación de Schrödinger no es la única forma de estudiar sistemas mecánicos cuánticos y hacer predicciones. Otras formulaciones de la mecánica cuántica incluyen la mecánica matricial , introducida por Werner Heisenberg , y la formulación integral de trayectoria , desarrollada principalmente por Richard Feynman . Cuando se comparan estos enfoques, el uso de la ecuación de Schrödinger a veces se denomina "mecánica ondulatoria". Paul Dirac incorporó la relatividad especial y la mecánica cuántica en una única formulación que simplifica a la ecuación de Schrödinger cuando los efectos relativistas no son significativos.

Definición

Preliminares

Gráfico complejo de una función de onda que satisface la ecuación de Schrödinger no relativista con V = 0 . Para más detalles ver paquete de ondas

Los cursos de introducción a la física o la química generalmente introducen la ecuación de Schrödinger de una manera que se puede apreciar conociendo solo los conceptos y notaciones del cálculo básico , particularmente las derivadas con respecto al espacio y el tiempo. Un caso especial de la ecuación de Schrödinger que admite una afirmación en esos términos es la ecuación de Schrödinger en el espacio de posición para una sola partícula no relativista en una dimensión:

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\right]\Psi (x,t).}$$

número complejopotencial^{[5] : 74}unidad imaginariaconstante de Planckacciónenergía^{[5] : 10} ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V(x,t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hbar }$

Ampliando más allá de este simple caso, la formulación matemática de la mecánica cuántica desarrollada por Paul Dirac , ^[6] David Hilbert , ^[7] John von Neumann , ^[8] y Hermann Weyl ^[9] define el estado de un sistema de mecánica cuántica como un vector perteneciente a un espacio de Hilbert ( separable ) . Se postula que este vector está normalizado bajo el producto interno del espacio de Hilbert, es decir, en notación de Dirac obedece . La naturaleza exacta de este espacio de Hilbert depende del sistema; por ejemplo, para describir la posición y el momento, el espacio de Hilbert es el espacio de funciones complejas integrables al cuadrado , ^[10] mientras que el espacio de Hilbert para el giro de un solo protón es simplemente el espacio de vectores complejos bidimensionales con el producto interno habitual. ^{[5] : 322} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Las cantidades físicas de interés (posición, momento, energía, giro) están representadas por "observables", que son operadores lineales hermitianos (más precisamente, autoadjuntos ) que actúan en el espacio de Hilbert. Una función de onda puede ser un vector propio de un observable, en cuyo caso se llama estado propio , y el valor propio asociado corresponde al valor del observable en ese estado propio. De manera más general, un estado cuántico será una combinación lineal de estados propios, conocida como superposición cuántica . Cuando se mide un observable, el resultado será uno de sus valores propios con probabilidad dada por la regla de Born : en el caso más simple el valor propio no es degenerado y la probabilidad está dada por , donde está su vector propio asociado. De manera más general, el valor propio es degenerado y la probabilidad está dada por , donde está el proyector en su espacio propio asociado. ^{[nota 1]} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\langle \lambda |\psi \rangle |^{2}}$ ${\displaystyle |\lambda \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{\lambda }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$

Un estado propio de momento sería una onda perfectamente monocromática de extensión infinita, que no es integrable en cuadrado. Del mismo modo, un estado propio de posición sería una distribución delta de Dirac , no integrable al cuadrado y técnicamente no es una función en absoluto. En consecuencia, ninguno de los dos puede pertenecer al espacio de Hilbert de la partícula. Los físicos a veces introducen "bases" ficticias para un espacio de Hilbert que comprende elementos fuera de ese espacio. Estos se inventaron por conveniencia de cálculo y no representan estados físicos. ^{[11] : 100–105} Por lo tanto, una función de onda de posición-espacio como la utilizada anteriormente se puede escribir como el producto interno de un vector de estado dependiente del tiempo con "estados propios de posición" no físicos pero convenientes : ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$

$${\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x|\Psi (t)\rangle .}$$

Ecuación dependiente del tiempo

La forma de la ecuación de Schrödinger depende de la situación física. La forma más general es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, que da una descripción de un sistema que evoluciona con el tiempo: ^{[12] : 143}

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  (general)

yo ℏ d d t | Ψ ( t ) ⟩ = H ^ | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \Psi (t)\rangle ={\hat {H}}\vert \Psi (t)\rangle }

donde es el tiempo, es el vector de estado del sistema cuántico ( siendo la letra griega psi ), y es un observable, el operador hamiltoniano . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \vert \Psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Cada una de estas tres filas es una función de onda que satisface la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para un oscilador armónico . Izquierda: La parte real (azul) y la parte imaginaria (roja) de la función de onda. Derecha: La distribución de probabilidad de encontrar la partícula con esta función de onda en una posición determinada. Las dos filas superiores son ejemplos de estados estacionarios , que corresponden a ondas estacionarias . La fila inferior es un ejemplo de un estado que no es estacionario. La columna de la derecha ilustra por qué los estados estacionarios se denominan "estacionarios".

El término "ecuación de Schrödinger" puede referirse tanto a la ecuación general como a la versión no relativista específica. De hecho, la ecuación general es bastante general y se utiliza en toda la mecánica cuántica, desde la ecuación de Dirac hasta la teoría cuántica de campos , al incluir diversas expresiones para el hamiltoniano. La versión no relativista específica es una aproximación que produce resultados precisos en muchas situaciones, pero sólo hasta cierto punto (ver mecánica cuántica relativista y teoría cuántica de campos relativista ).

Para aplicar la ecuación de Schrödinger, escriba el hamiltoniano del sistema, teniendo en cuenta las energías cinética y potencial de las partículas que constituyen el sistema, luego insértelo en la ecuación de Schrödinger. La ecuación diferencial parcial resultante se resuelve para la función de onda, que contiene información sobre el sistema. En la práctica, se toma el cuadrado del valor absoluto de la función de onda en cada punto para definir una función de densidad de probabilidad . ^{[5] : 78} Por ejemplo, dada una función de onda en el espacio de posiciones como la anterior, tenemos ${\displaystyle \Psi (x,t)}$

$${\displaystyle \Pr(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}.}$$

Ecuación independiente del tiempo

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo descrita anteriormente predice que las funciones de onda pueden formar ondas estacionarias , llamadas estados estacionarios . Estos estados son particularmente importantes ya que su estudio individual simplifica posteriormente la tarea de resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para cualquier estado. Los estados estacionarios también pueden describirse mediante una forma más simple de la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ( general )

${\displaystyle \operatorname {\hat {H}} |\Psi \rangle =E|\Psi \rangle }$

¿ Dónde está la energía del sistema? ^{[5] : 134} Esto sólo se utiliza cuando el hamiltoniano en sí no depende explícitamente del tiempo. Sin embargo, incluso en este caso la función de onda total depende del tiempo, como se explica en la sección sobre linealidad a continuación. En el lenguaje del álgebra lineal , esta ecuación es una ecuación de valores propios . Por lo tanto, la función de onda es una función propia del operador hamiltoniano con sus valores propios correspondientes . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Propiedades

Linealidad

La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal , lo que significa que si dos vectores de estado y son soluciones, también lo será cualquier combinación lineal. ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =a|\psi _{1}\rangle +b|\psi _{2}\rangle }$$

ab^{[13] : 25}las superposiciones de estados cuánticosde energía ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$

$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}A_{n}e^{{-iE_{n}t}/\hbar }|\psi _{E_{n}}\rangle ,}$$

${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle |\psi _{E_{n}}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{E_{n}}\rangle =E_{n}|\psi _{E_{n}}\rangle }$

Unitaridad

Manteniendo la constante hamiltoniana , la ecuación de Schrödinger tiene solución ^[12] ${\displaystyle {\hat {H}}}$

$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .}$$

unitario^[13] ${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$ ${\displaystyle |\Psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\Psi (0)\rangle }$$

Sin pérdida de generalidad^[14] ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t/N)^{N}={\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {G}}t}}$$

generadorunidades naturales ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)\approx {\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t}$

$${\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)^{\dagger }{\hat {U}}(\delta t)\approx ({\hat {U}}(0)^{\dagger }+i{\hat {G}}^{\dagger }\delta t)({\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t)=I+i\delta t({\hat {G}}^{\dagger }-{\hat {G}})+O(\delta t^{2}),}$$

^[15] ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$

Cambios de base

La ecuación de Schrödinger a menudo se presenta utilizando cantidades que varían en función de la posición, pero como ecuación de operador vectorial tiene una representación válida en cualquier base completa arbitraria de kets en el espacio de Hilbert . Como se mencionó anteriormente, las "bases" que se encuentran fuera del espacio físico de Hilbert también se emplean con fines de cálculo. Esto se ilustra con las ecuaciones de Schrödinger en el espacio de posición y en el espacio de momento para una partícula no relativista y sin espín. ^{[11] : 182} El espacio de Hilbert para dicha partícula es el espacio de funciones complejas integrables al cuadrado en el espacio euclidiano tridimensional, y su hamiltoniano es la suma de un término de energía cinética que es cuadrático en el operador de momento y un potencial. -término de energía:

$${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle =\left({\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+{\hat {V}}\right)|\Psi (t)\rangle .}$$

${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$

transformadas de Fourier

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)+(2\pi \hbar )^{-3/2}\int d^{3}\mathbf {p} '\,{\tilde {V}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} '){\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ',t).}$$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} |\Psi (t)\rangle ,}$$

$${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)=\langle \mathbf {p} |\Psi (t)\rangle ,}$$

${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} \rangle }$

Cuando se restringe de tres dimensiones a una, la ecuación posición-espacio es solo la primera forma de la ecuación de Schrödinger dada anteriormente. La relación entre posición y momento en la mecánica cuántica se puede apreciar en una única dimensión. En la cuantificación canónica , las variables clásicas y se promueven a operadores autoadjuntos y que satisfacen la relación de conmutación canónica. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

^{[11] : 190}

$${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\Psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\Psi (x),}$$

segunda derivadalaplaciana ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

La relación de conmutación canónica también implica que los operadores de posición y momento son conjugados de Fourier entre sí. En consecuencia, las funciones originalmente definidas en términos de su dependencia de la posición se pueden convertir en funciones de momento utilizando la transformada de Fourier. En física del estado sólido , la ecuación de Schrödinger a menudo se escribe para funciones de momento, ya que el teorema de Bloch asegura que el potencial periódico de la red cristalina se aparee solo con vectores de red recíprocos discretos . Esto hace que sea conveniente resolver la ecuación de Schrödinger espacio-momento en cada punto de la zona de Brillouin independientemente de los otros puntos de la zona de Brillouin. ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p+K)}$ ${\displaystyle K}$

probabilidad actual

La ecuación de Schrödinger es consistente con la conservación de la probabilidad local . ^{[11] : 238} También garantiza que una función de onda normalizada permanezca normalizada después de la evolución del tiempo. En mecánica matricial, esto significa que el operador de evolución temporal es un operador unitario . ^[16] A diferencia de, por ejemplo, la ecuación de Klein Gordon, aunque un producto interno redefinido de una función de onda puede ser independiente del tiempo, la integral de volumen total del módulo cuadrado de la función de onda no tiene por qué ser independiente del tiempo. ^[17]

La ecuación de continuidad para la probabilidad en mecánica cuántica no relativista se expresa como:

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$

corriente de probabilidad

Si la función de onda se representa como donde hay una función real que representa la fase compleja de la función de onda, entonces el flujo de probabilidad se calcula como: ${\textstyle \psi ({\bf {x}},t)={\sqrt {\rho ({\bf {x}},t)}}\exp \left({\frac {iS({\bf {x}},t)}{\hbar }}\right),}$ ${\displaystyle S(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\rho \nabla S}{m}}}$$

el principio de incertidumbre^[dieciséis] ${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$

Separación de variables

Si el hamiltoniano no es una función explícita del tiempo, la ecuación de Schrödinger dice:

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$

separación de variables^[18]

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\tau (t),}$$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \tau (t)}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau (t)}$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i{Et/\hbar }}.}$$

estacionaria,^{[12] : 143 y sigs.}

La parte espacial de la función de onda completa resuelve: ^[19]

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[E-V(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} )=0.}$$

${\displaystyle E}$

Esto se generaliza a cualquier número de partículas en cualquier número de dimensiones (en un potencial independiente del tiempo): las soluciones de onda estacionaria de la ecuación dependiente del tiempo son los estados con energía definida, en lugar de una distribución de probabilidad de diferentes energías. En física, estas ondas estacionarias se denominan " estados estacionarios " o " estados propios de energía "; en química se les llama " orbitales atómicos " u " orbitales moleculares ". Las superposiciones de estados propios de energía cambian sus propiedades de acuerdo con las fases relativas entre los niveles de energía. Los estados propios de energía forman una base: cualquier función de onda puede escribirse como una suma de los estados de energía discretos o una integral de estados de energía continuos, o más generalmente como una integral de una medida. Este es el teorema espectral en matemáticas, y en un espacio de estados de dimensión finita es solo una declaración de la integridad de los vectores propios de una matriz hermitiana .

La separación de variables también puede ser un método útil para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Por ejemplo, dependiendo de la simetría del problema, los ejes cartesianos podrían estar separados,

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\psi _{z}(z),}$$

las coordenadas radiales y angulares

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{r}(r)\psi _{\theta }(\theta )\psi _{\phi }(\phi ).}$$

Ejemplos

Partícula en una caja

Caja de energía potencial unidimensional (o pozo de potencial infinito)

La partícula en una caja de energía potencial unidimensional es el ejemplo matemáticamente más simple en el que las restricciones conducen a la cuantificación de niveles de energía. La caja se define como una que tiene energía potencial cero dentro de una determinada región y energía potencial infinita en el exterior . ^{[11] : 77–78} Para el caso unidimensional en la dirección, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo puede escribirse ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$$

Con el operador diferencial definido por

$${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$$

clásico análogo de la energía cinética

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$$

${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle E}$

Las soluciones generales de la ecuación de Schrödinger para la partícula en una caja son

$${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$$

la fórmula de Euler

$${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).}$$

Las infinitas paredes potenciales de la caja determinan los valores de y en y dónde deben ser cero. Así, en , ${\displaystyle C,D,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x=0}$

$${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$$

${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle x=L}$

$${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$$

${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \sin(kL)=0}$ ${\displaystyle kL}$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$$

Esta restricción implica una restricción en los niveles de energía, lo que produce ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

Un pozo de potencial finito es la generalización del problema del pozo de potencial infinito a pozos potenciales que tienen una profundidad finita. El problema del pozo de potencial finito es matemáticamente más complicado que el problema de las partículas infinitas en una caja, ya que la función de onda no está fijada a cero en las paredes del pozo. En cambio, la función de onda debe satisfacer condiciones de contorno matemáticas más complicadas, ya que es distinta de cero en las regiones fuera del pozo. Otro problema relacionado es el de la barrera de potencial rectangular , que proporciona un modelo para el efecto túnel cuántico que desempeña un papel importante en el funcionamiento de tecnologías modernas como la memoria flash y la microscopía de efecto túnel .

Oscilador armónico

Un oscilador armónico en mecánica clásica (A – B) y mecánica cuántica (C – H). En (A–B), una bola unida a un resorte oscila hacia adelante y hacia atrás. (C – H) son seis soluciones a la ecuación de Schrödinger para esta situación. El eje horizontal es la posición, el eje vertical es la parte real (azul) o la parte imaginaria (roja) de la función de onda . Los estados estacionarios , o estados propios de energía, que son soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, se muestran en C, D, E, F, pero no en G o H.

La ecuación de Schrödinger para esta situación es

$${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi ,}$$

átomos vibrantes, moléculas^[20][21]base de los métodos de perturbación ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$

Las soluciones en el espacio de posiciones son

$${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\ \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\ e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\ {\mathcal {H}}_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),}$$

polinomios ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\right)^{n}\left(x-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\frac {-m\omega x^{2}}{2\hbar }}.}$$

Los valores propios son

$${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

El caso se llama estado fundamental , su energía se llama energía de punto cero y la función de onda es gaussiana . ^[22] ${\displaystyle n=0}$

El oscilador armónico, como la partícula en una caja, ilustra la característica genérica de la ecuación de Schrödinger de que las energías de los estados propios ligados están discretizadas. ^{[11] : 352}

Átomo de hidrógeno

La ecuación de Schrödinger para el electrón en un átomo de hidrógeno (o un átomo similar al hidrógeno) es

$${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi }$$

interacción de Coulombpermitividad del espacio libre ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

$${\displaystyle \mu ={\frac {m_{q}m_{p}}{m_{q}+m_{p}}}}$$

es la masa reducidanúcleoprotón ${\displaystyle m_{p}}$ ${\displaystyle m_{q}}$

La ecuación de Schrödinger para un átomo de hidrógeno se puede resolver separando variables. ^[23] En este caso, las coordenadas polares esféricas son las más convenientes. De este modo,

$${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi ),}$$

Rarmónicos esféricos^[24] ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

• ${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}}}$es el radio de Bohr ,
• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )}$son los polinomios de grado de Laguerre generalizados , ${\displaystyle n-\ell -1}$
• ${\displaystyle n,\ell ,m}$son los números cuánticos principal , azimutal y magnético respectivamente, que toman los valores ${\displaystyle n=1,2,3,\dots ,}$ ${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,n-1,}$ ${\displaystyle m=-\ell ,\dots ,\ell .}$

Soluciones aproximadas

Normalmente no es posible resolver la ecuación de Schrödinger exactamente para situaciones de interés físico. En consecuencia, las soluciones aproximadas se obtienen utilizando técnicas como los métodos variacionales y la aproximación WKB . También es común tratar un problema de interés como una pequeña modificación de un problema que puede resolverse exactamente, método conocido como teoría de la perturbación .

Límite semiclásico

Una forma sencilla de comparar la mecánica clásica con la cuántica es considerar la evolución temporal de la posición y el impulso esperados , que luego pueden compararse con la evolución temporal de la posición y el impulso ordinarios en la mecánica clásica. ^{[25] : 302} Los valores esperados cuánticos satisfacen el teorema de Ehrenfest . Para una partícula cuántica unidimensional que se mueve en un potencial , dice el teorema de Ehrenfest ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .}$$

${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$

$${\displaystyle -V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$$

${\displaystyle -\left\langle V'(X)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V'}$

Para los sistemas generales, lo mejor que podemos esperar es que la posición y el impulso esperados sigan aproximadamente las trayectorias clásicas. Si la función de onda está muy concentrada alrededor de un punto , entonces y será casi igual, ya que ambos serán aproximadamente iguales a . En ese caso, la posición esperada y el impulso esperado permanecerán muy cerca de las trayectorias clásicas, al menos mientras la función de onda permanezca altamente localizada en su posición. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'(x_{0})}$

La ecuación de Schrödinger en su forma general

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\hat {H}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}$$

ecuación de Hamilton-Jacobi

$${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}S(q_{i},t)=H\left(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}},t\right)}$$

acciónfunción hamiltoniana^{[25] : 308}coordenadas generalizadas ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =(q_{1},q_{2},q_{3})=(x,y,z)}$

Sustituyendo

$${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\rho (\mathbf {r} ,t)}}e^{iS(\mathbf {r} ,t)/\hbar }}$$

ecuación de Hamilton-Jacobi ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$

Matrices de densidad

Las funciones de onda no siempre son la forma más conveniente de describir los sistemas cuánticos y su comportamiento. Cuando la preparación de un sistema se conoce sólo de manera imperfecta, o cuando el sistema bajo investigación es parte de un todo mayor, se pueden utilizar matrices de densidad . ^{[25] : 74} Una matriz de densidad es un operador semidefinido positivo cuya traza es igual a 1. (El término "operador de densidad" también se utiliza, particularmente cuando el espacio de Hilbert subyacente es de dimensión infinita). El conjunto de todas las densidades Las matrices son convexas y los puntos extremos son los operadores que se proyectan sobre vectores en el espacio de Hilbert. Éstas son las representaciones en matriz de densidad de las funciones de onda; en notación de Dirac, se escriben

$${\displaystyle {\hat {\rho }}=|\Psi \rangle \langle \Psi |.}$$

El análogo de matriz de densidad de la ecuación de Schrödinger para funciones de onda es ^{[26] [27]}

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}=[{\hat {H}},{\hat {\rho }}],}$$

conmutador^{[25] : 312}

$${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {\rho }}(0)e^{i{\hat {H}}t/\hbar }.}$$

De manera más general, si el operador unitario describe la evolución de la función de onda en algún intervalo de tiempo, entonces la evolución temporal de una matriz de densidad en ese mismo intervalo viene dada por ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$

$${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)^{\dagger }.}$$

La evolución unitaria de una matriz de densidad conserva su entropía de von Neumann . ^{[25] : 267}

Física cuántica relativista y teoría cuántica de campos.

La ecuación de Schrödinger de una partícula descrita anteriormente es válida esencialmente en el dominio no relativista. Por una razón, es esencialmente invariante bajo las transformaciones galileanas , que comprenden el grupo de simetría de la dinámica newtoniana . ^{[nota 2]} Además, los procesos que cambian el número de partículas son naturales en la relatividad, por lo que una ecuación para una partícula (o cualquier número fijo de ella) sólo puede ser de uso limitado. ^[29] Una forma más general de la ecuación de Schrödinger que también se aplica en situaciones relativistas se puede formular dentro de la teoría cuántica de campos (QFT), un marco que permite la combinación de la mecánica cuántica con la relatividad especial. La región en la que ambos se aplican simultáneamente puede describirse mediante la mecánica cuántica relativista . Estas descripciones pueden utilizar la evolución temporal generada por un operador hamiltoniano, como en el método funcional de Schrödinger . ^{[30] [31] [32] [33]}

Ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac

Los intentos de combinar la física cuántica con la relatividad especial comenzaron con la construcción de ecuaciones de onda relativistas a partir de la relación relativista energía-momento.

$${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2},}$$

ecuación de Klein-Gordonecuación de Dirac

$${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi +\nabla ^{2}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,}$$

${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\beta }$

$${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}.}$$

Esto tiene nuevamente la forma de la ecuación de Schrödinger, donde la derivada temporal de la función de onda viene dada por un operador hamiltoniano que actúa sobre la función de onda. Incluir influencias sobre la partícula requiere modificar el operador hamiltoniano. Por ejemplo, el hamiltoniano de Dirac para una partícula de masa m y carga eléctrica q en un campo electromagnético (descrito por los potenciales electromagnéticos φ y A ) es:

$${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Dirac}}=\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right)+mc^{2}+\gamma ^{0}q\varphi \right],}$$

γ = ( γ ¹ , γ ² , γ ³ )γ ⁰matrices gammade espín 1 ⁄ 2campos de espino de 4 componentesantipartícula

Para la ecuación de Klein-Gordon, la forma general de la ecuación de Schrödinger es incómoda de usar y, en la práctica, el hamiltoniano no se expresa de manera análoga al hamiltoniano de Dirac. Las ecuaciones para campos cuánticos relativistas, de las cuales las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac son dos ejemplos, se pueden obtener de otras maneras, como partiendo de una densidad lagrangiana y usando las ecuaciones de Euler-Lagrange para campos, o usando la teoría de representación de el grupo de Lorentz en el que se pueden utilizar ciertas representaciones para fijar la ecuación de una partícula libre de espín (y masa) determinados.

En general, el hamiltoniano que se sustituirá en la ecuación general de Schrödinger no es sólo una función de los operadores de posición y momento (y posiblemente del tiempo), sino también de las matrices de espín. Además, las soluciones a una ecuación de onda relativista, para una partícula masiva de espín s , son campos de espinores de 2 (2 s + 1) componentes de valor complejo .

espacio de mierda

Tal como se formuló originalmente, la ecuación de Dirac es una ecuación para una sola partícula cuántica, al igual que la ecuación de Schrödinger de una sola partícula con función de onda . Esto tiene un uso limitado en la mecánica cuántica relativista, donde el número de partículas no es fijo. Heurísticamente, esta complicación puede ser motivada al observar que la equivalencia masa-energía implica que se pueden crear partículas materiales a partir de energía. Una forma común de abordar esto en QFT es introducir un espacio de Hilbert donde los estados básicos están etiquetados por el número de partículas, el llamado espacio de Fock . Luego se puede formular la ecuación de Schrödinger para estados cuánticos en este espacio de Hilbert. ^[29] Sin embargo, debido a que la ecuación de Schrödinger selecciona un eje de tiempo preferido, la invariancia de Lorentz de la teoría ya no es manifiesta y, en consecuencia, la teoría a menudo se formula de otras maneras. ^[34] ${\displaystyle \Psi (x,t)}$

Historia

Erwin Schrodinger

Siguiendo la cuantificación de la luz por parte de Max Planck (ver radiación del cuerpo negro ), Albert Einstein interpretó los cuantos de Planck como fotones , partículas de luz , y propuso que la energía de un fotón es proporcional a su frecuencia , uno de los primeros signos de onda. –dualidad de partículas . Dado que la energía y el momento están relacionados de la misma manera que la frecuencia y el número de onda en la relatividad especial , se deduce que el momento de un fotón es inversamente proporcional a su longitud de onda , o proporcional a su número de onda : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k,}$$

constante de PlanckLouis de Broglieondas de materiaondas estacionarias^[35]niveles de energíadel modelo de Bohr ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \hbar ={h}/{2\pi }}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar .}$$

$${\displaystyle n\lambda =2\pi r.}$$

Este enfoque esencialmente confinó la onda del electrón en una dimensión, a lo largo de una órbita circular de radio . ${\displaystyle r}$

En 1921, antes de De Broglie, Arthur C. Lunn de la Universidad de Chicago había utilizado el mismo argumento basado en la compleción del 4-vector relativista energía-momento para derivar lo que ahora llamamos la relación de De Broglie. ^{[36] [37]} A diferencia de De Broglie, Lunn pasó a formular la ecuación diferencial ahora conocida como ecuación de Schrödinger y resolvió sus valores propios de energía para el átomo de hidrógeno; El artículo fue rechazado por Physical Review , según Kamen. ^[38]

Siguiendo las ideas de De Broglie, el físico Peter Debye hizo un comentario casual de que si las partículas se comportaran como ondas, deberían satisfacer algún tipo de ecuación de onda. Inspirado por el comentario de Debye, Schrödinger decidió encontrar una ecuación de onda tridimensional adecuada para el electrón. Se guió por la analogía de William Rowan Hamilton entre mecánica y óptica , codificada en la observación de que el límite de longitud de onda cero de la óptica se asemeja a un sistema mecánico: las trayectorias de los rayos de luz se convierten en pistas afiladas que obedecen al principio de Fermat , un análogo del principio . de mínima acción . ^[39]

La ecuación que encontró es ^[40]

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$

Para entonces Arnold Sommerfeld había refinado el modelo de Bohr con correcciones relativistas . ^{[41] [42]} Schrödinger utilizó la relación relativista energía-momento para encontrar lo que ahora se conoce como la ecuación de Klein-Gordon en un potencial de Coulomb (en unidades naturales ):

$${\displaystyle \left(E+{\frac {e^{2}}{r}}\right)^{2}\psi (x)=-\nabla ^{2}\psi (x)+m^{2}\psi (x).}$$

Encontró las ondas estacionarias de esta ecuación relativista, pero las correcciones relativistas no estaban de acuerdo con la fórmula de Sommerfeld. Desanimado, dejó de lado sus cálculos y se recluyó con una amante en una cabaña de montaña en diciembre de 1925. ^[43]

Mientras estaba en la cabaña, Schrödinger decidió que sus cálculos no relativistas anteriores eran lo suficientemente novedosos como para publicarlos y decidió dejar de lado el problema de las correcciones relativistas para el futuro. A pesar de las dificultades para resolver la ecuación diferencial del hidrógeno (había buscado ayuda de su amigo el matemático Hermann Weyl ^{[44] : 3} ), Schrödinger demostró que su versión no relativista de la ecuación de onda producía las energías espectrales correctas del hidrógeno en un artículo publicado en 1926. ^{[44] : 1  [45]} Schrödinger calculó la serie espectral del hidrógeno tratando el electrón de un átomo de hidrógeno como una onda , moviéndose en un pozo de potencial , creado por el protón . Este cálculo reprodujo con precisión los niveles de energía del modelo de Bohr . ${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle V}$

La ecuación de Schrödinger detalla el comportamiento pero no dice nada sobre su naturaleza . Schrödinger intentó interpretar la parte real de como densidad de carga y luego revisó esta propuesta, diciendo en su siguiente artículo que el módulo al cuadrado de es una densidad de carga. Sin embargo, este enfoque no tuvo éxito. ^{[nota 3]} En 1926, apenas unos días después de la publicación de este artículo, Max Born la interpretó con éxito como la amplitud de probabilidad , cuyo módulo al cuadrado es igual a la densidad de probabilidad . ^{[46] : 220} Posteriormente, el propio Schrödinger explicó esta interpretación de la siguiente manera: ^[49] ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

La ya mencionada función psi... es ahora el medio para predecir la probabilidad de los resultados de las mediciones. En él se encarna la suma momentáneamente alcanzada de expectativas futuras con base teórica, algo así como lo establecido en un catálogo.

-  Erwin Schrodinger

Interpretación

La ecuación de Schrödinger proporciona una forma de calcular la función de onda de un sistema y cómo cambia dinámicamente en el tiempo. Sin embargo, la ecuación de Schrödinger no dice directamente qué es exactamente la función de onda. El significado de la ecuación de Schrödinger y cómo las entidades matemáticas que contiene se relacionan con la realidad física depende de la interpretación de la mecánica cuántica que se adopte.

En las opiniones a menudo agrupadas como la interpretación de Copenhague , la función de onda de un sistema es una colección de información estadística sobre ese sistema. La ecuación de Schrödinger relaciona información sobre el sistema en un momento con información sobre él en otro. Si bien el proceso de evolución temporal representado por la ecuación de Schrödinger es continuo y determinista, en el sentido de que conocer la función de onda en un instante es en principio suficiente para calcularla para todos los tiempos futuros, las funciones de onda también pueden cambiar de manera discontinua y estocástica durante una medición . La función de onda cambia, según esta escuela de pensamiento, porque hay nueva información disponible. La función de onda posterior a la medición generalmente no se puede conocer antes de la medición, pero las probabilidades de las diferentes posibilidades se pueden calcular utilizando la regla de Born . ^{[25] [50] [nota 4]} Otras interpretaciones más recientes de la mecánica cuántica, como la mecánica cuántica relacional y el QBismo , también otorgan a la ecuación de Schrödinger un estatus de este tipo. ^{[53] [54]}

El propio Schrödinger sugirió en 1952 que los diferentes términos de una superposición que evoluciona bajo la ecuación de Schrödinger "no son alternativas, sino que en realidad todos suceden simultáneamente". Esto se ha interpretado como una versión temprana de la interpretación de muchos mundos de Everett . ^{[55] [56] [nota 5]} Esta interpretación, formulada de forma independiente en 1956, sostiene que todas las posibilidades descritas por la teoría cuántica ocurren simultáneamente en un multiverso compuesto por universos paralelos en su mayoría independientes. ^[58] Esta interpretación elimina el axioma del colapso de la función de onda, dejando solo la evolución continua bajo la ecuación de Schrödinger, por lo que todos los estados posibles del sistema medido y del aparato de medición, junto con el observador, están presentes en una superposición física cuántica real . Si bien el multiverso es determinista, percibimos un comportamiento no determinista regido por probabilidades, porque no observamos el multiverso como un todo, sino sólo un universo paralelo a la vez. Exactamente cómo se supone que funciona esto ha sido objeto de mucho debate. ¿Por qué deberíamos asignar probabilidades a resultados que con seguridad ocurrirán en algunos mundos, y por qué las probabilidades deberían estar dadas por la regla de Born? ^[59] Se han propuesto varias formas de responder a estas preguntas en el marco de muchos mundos, pero no hay consenso sobre si tienen éxito. ^{[60] [61] [62]}

La mecánica de Bohmian reformula la mecánica cuántica para hacerla determinista, al precio de hacerla explícitamente no local (un precio exigido por el teorema de Bell ). Atribuye a cada sistema físico no sólo una función de onda sino además una posición real que evoluciona de manera determinista bajo una ecuación guía no local. La evolución de un sistema físico viene dada en todo momento por la ecuación de Schrödinger junto con la ecuación rectora. ^[63]

Ver también

• ecuación de eckhaus
• ecuación de pauli
• Ecuación de Fokker-Planck
• Interpretaciones de la mecánica cuántica.
• Lista de cosas que llevan el nombre de Erwin Schrödinger
• Ecuación logarítmica de Schrödinger
• Ecuación de Schrödinger no lineal
• canal cuántico
• Relación entre la ecuación de Schrödinger y la formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica
• Imagen de Schrödinger
• Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner

Notas

1. Esta regla para obtener probabilidades de un vector de estado implica que los vectores que solo difieren en una fase general son físicamente equivalentes; y representan los mismos estados cuánticos. En otras palabras, los estados posibles son puntos en el espacio proyectivo de un espacio de Hilbert, habitualmente llamado espacio proyectivo complejo . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle e^{i\alpha }|\psi \rangle }$
2. Más precisamente, el efecto de una transformación galileana sobre la ecuación de Schrödinger puede cancelarse mediante una transformación de fase de la función de onda que deja sin cambios las probabilidades, calculadas mediante la regla de Born. ^[28]
3. Para obtener más detalles, consulte Moore, ^{[46] : 219} Jammer, ^{[47] : 24–25} y Karam. ^[48]
4. Una dificultad al discutir la posición filosófica de "la interpretación de Copenhague" es que no existe una fuente única y autorizada que establezca cuál es la interpretación. Otra complicación es que el trasfondo filosófico familiar para Einstein, Bohr, Heisenberg y sus contemporáneos lo es mucho menos para los físicos e incluso para los filósofos de la física de tiempos más recientes. ^{[51] [52]}
5. Los escritos posteriores de Schrödinger también contienen elementos que se asemejan a la interpretación modal originada por Bas van Fraassen . Debido a que Schrödinger suscribía una especie de monismo neutral posmachiano , en el que "materia" y "mente" son sólo aspectos o disposiciones diferentes de los mismos elementos comunes, tratar la función de onda como física y tratarla como información se volvió intercambiable. ^[57]

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enlaces externos

• "Ecuación de Schrödinger". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].
• Libro de cocina cuántica (PDF) y PHYS 201: Fundamentos de física II por Ramamurti Shankar , Yale OpenCourseware
• La revolución moderna en física: un libro de texto en línea.
• Física Cuántica I en MIT OpenCourseWare