Energía cinética

Energía de un cuerpo físico en movimiento.

Émilie du Châtelet (1706-1749) con un compás en la mano derecha. Fue la primera en publicar la relación de la energía cinética . Esto significa que un objeto con el doble de velocidad golpea cuatro veces (2×2) más fuerte. (Retrato de Maurice Quentin de La Tour .) ${\displaystyle E_{\text{kin}}\propto mv^{2}}$

En física , la energía cinética de un objeto es la forma de energía que posee debido a su movimiento . ^[1]

En mecánica clásica , la energía cinética de un objeto no giratorio de masa m que viaja a una velocidad v es . ^[2] ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Se puede demostrar que la energía cinética de un objeto es igual al trabajo necesario para acelerar un objeto de masa m desde el reposo hasta su velocidad indicada . Habiendo ganado esta energía durante su aceleración , el objeto mantiene esta energía cinética a menos que cambie su velocidad. El objeto realiza la misma cantidad de trabajo cuando desacelera desde su velocidad actual hasta un estado de reposo . ^[2]

La unidad SI de energía cinética es el julio , mientras que la unidad inglesa de energía cinética es el pie-libra .

En mecánica relativista , la energía cinética es una buena aproximación sólo cuando v es mucho menor que la velocidad de la luz . ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Historia y etimología

El adjetivo cinético tiene sus raíces en la palabra griega κίνησις kinesis , que significa "movimiento". La dicotomía entre energía cinética y energía potencial se remonta a los conceptos de actualidad y potencialidad de Aristóteles . ^[3]

El principio de la mecánica clásica de que E ∝ mv ² fue desarrollado por primera vez por Gottfried Leibniz y Johann Bernoulli , quienes describieron la energía cinética como la fuerza viva , vis viva . ^{[4] : 227} Willem's Gravesande de los Países Bajos proporcionó evidencia experimental de esta relación en 1722. Al dejar caer pesos desde diferentes alturas en un bloque de arcilla, Willem's Gravesande determinó que su profundidad de penetración era proporcional al cuadrado de su impacto. velocidad. Émilie du Châtelet reconoció las implicaciones del experimento y publicó una explicación. ^[5]

Los términos energía cinética y trabajo en su significado científico actual se remontan a mediados del siglo XIX. Las primeras comprensiones de estas ideas se pueden atribuir a Gaspard-Gustave Coriolis , quien en 1829 publicó el artículo titulado Du Calcul de l'Effet des Machines que describe las matemáticas de la energía cinética. A William Thomson , más tarde Lord Kelvin, se le atribuye el mérito de acuñar el término "energía cinética" c. 1849–1851. ^{[6] [7]} Rankine , que había introducido el término "energía potencial" en 1853, y la frase "energía real" para complementarlo, ^[8] cita más tarde a William Thomson y Peter Tait sustituyendo la palabra "cinética" por " actual". ^[9]

Descripción general

La energía se presenta en muchas formas, incluida la energía química , la energía térmica , la radiación electromagnética , la energía gravitacional , la energía eléctrica , la energía elástica , la energía nuclear y la energía en reposo . Éstas se pueden clasificar en dos clases principales: energía potencial y energía cinética. La energía cinética es la energía de movimiento de un objeto. La energía cinética se puede transferir entre objetos y transformar en otros tipos de energía. ^[10]

La energía cinética se puede entender mejor con ejemplos que demuestren cómo se transforma hacia y desde otras formas de energía. Por ejemplo, un ciclista utiliza la energía química proporcionada por los alimentos para acelerar una bicicleta a una velocidad elegida. En una superficie nivelada, esta velocidad se puede mantener sin más trabajo, excepto para superar la resistencia del aire y la fricción . La energía química se ha convertido en energía cinética, la energía del movimiento, pero el proceso no es del todo eficiente y produce calor dentro del ciclista.

La energía cinética del ciclista y de la bicicleta en movimiento se puede convertir en otras formas. Por ejemplo, el ciclista podría encontrar una colina lo suficientemente alta como para subirla, de modo que la bicicleta se detenga por completo en la cima. La energía cinética ahora se ha convertido en gran medida en energía potencial gravitacional que puede liberarse al descender libremente por el otro lado de la colina. Dado que la bicicleta perdió parte de su energía debido a la fricción, nunca recupera toda su velocidad sin pedalear adicionalmente. La energía no se destruye; sólo se ha convertido a otra forma por fricción. Alternativamente, el ciclista podría conectar una dinamo a una de las ruedas y generar algo de energía eléctrica durante el descenso. La bicicleta viajaría más lento al pie de la colina que sin el generador porque parte de la energía se ha desviado en energía eléctrica. Otra posibilidad sería que el ciclista aplicara los frenos, en cuyo caso la energía cinética se disiparía mediante la fricción en forma de calor .

Como cualquier cantidad física que es función de la velocidad, la energía cinética de un objeto depende de la relación entre el objeto y el marco de referencia del observador . Así, la energía cinética de un objeto no es invariante .

Las naves espaciales utilizan energía química para lanzarse y obtienen una considerable energía cinética para alcanzar la velocidad orbital . En una órbita completamente circular, esta energía cinética permanece constante porque casi no hay fricción en el espacio cercano a la Tierra. Sin embargo, se vuelve evidente en el reingreso cuando parte de la energía cinética se convierte en calor. Si la órbita es elíptica o hiperbólica , entonces a lo largo de la órbita se intercambia energía cinética y potencial ; La energía cinética es mayor y la energía potencial más baja en la aproximación más cercana a la Tierra u otro cuerpo masivo, mientras que la energía potencial es mayor y la energía cinética más baja a la distancia máxima. Sin embargo, sin tener en cuenta la pérdida o ganancia, la suma de la energía cinética y potencial permanece constante.

La energía cinética se puede pasar de un objeto a otro. En el juego de billar , el jugador impone energía cinética a la bola blanca golpeándola con el taco. Si la bola blanca choca con otra bola, se ralentiza drásticamente y la bola que golpea acelera a medida que le pasa la energía cinética. Las colisiones en el billar son efectivamente colisiones elásticas , en las que se conserva la energía cinética. En las colisiones inelásticas , la energía cinética se disipa en diversas formas de energía, como calor, sonido y energía de unión (rompiendo estructuras unidas).

Los volantes se han desarrollado como método de almacenamiento de energía . Esto ilustra que la energía cinética también se almacena en el movimiento de rotación.

Existen varias descripciones matemáticas de la energía cinética que la describen en la situación física adecuada. Para objetos y procesos en la experiencia humana común, la fórmula ½mv² dada por la mecánica clásica es adecuada. Sin embargo, si la velocidad del objeto es comparable a la velocidad de la luz, los efectos relativistas se vuelven significativos y se utiliza la fórmula relativista. Si el objeto está en la escala atómica o subatómica , los efectos de la mecánica cuántica son significativos y se debe emplear un modelo de mecánica cuántica.

Energía cinética para velocidad no relativista.

Los tratamientos de la energía cinética dependen de la velocidad relativa de los objetos en comparación con la velocidad fija de la luz . Las velocidades experimentadas directamente por los humanos no son relativistas ; velocidades más altas requieren la teoría de la relatividad .

Energía cinética de cuerpos rígidos.

En la mecánica clásica , la energía cinética de un objeto puntual (un objeto tan pequeño que se puede suponer que su masa existe en un punto), o de un cuerpo rígido que no gira, depende de la masa del cuerpo así como de su velocidad . La energía cinética es igual a la mitad del producto de la masa por el cuadrado de la velocidad. En forma de fórmula:

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

donde es la masa y es la rapidez (magnitud de la velocidad) del cuerpo. En unidades del SI , la masa se mide en kilogramos , la velocidad en metros por segundo y la energía cinética resultante en julios . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$

Por ejemplo, se calcularía la energía cinética de una masa de 80 kg (aproximadamente 180 libras) que viaja a 18 metros por segundo (aproximadamente 40 mph o 65 km/h) como

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}\cdot 80\,{\text{kg}}\cdot \left(18\,{\text{m/s}}\right)^{2}=12,960\,{\text{J}}=12.96\,{\text{kJ}}}$

Cuando una persona lanza una pelota, trabaja sobre ella para darle velocidad cuando sale de la mano. La bola en movimiento puede entonces golpear algo y empujarlo, trabajando en lo que golpea. La energía cinética de un objeto en movimiento es igual al trabajo requerido para llevarlo del reposo a esa velocidad, o el trabajo que el objeto puede realizar mientras está en reposo: fuerza neta × desplazamiento = energía cinética , es decir,

${\displaystyle Fs={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Dado que la energía cinética aumenta con el cuadrado de la velocidad, un objeto que duplica su velocidad tiene cuatro veces más energía cinética. Por ejemplo, un automóvil que viaja dos veces más rápido que otro requiere cuatro veces más distancia para detenerse, suponiendo una fuerza de frenado constante. Como consecuencia de esta cuadruplicación, se necesita cuatro veces más trabajo para duplicar la velocidad.

La energía cinética de un objeto está relacionada con su momento mediante la ecuación:

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}}$

dónde:

• ${\displaystyle p}$es impulso
• ${\displaystyle m}$es la masa del cuerpo

Para la energía cinética de traslación, es decir, la energía cinética asociada al movimiento rectilíneo , de un cuerpo rígido con masa constante , cuyo centro de masa se mueve en línea recta con velocidad , como se ve arriba es igual a ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle E_{\text{t}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

dónde:

• ${\displaystyle m}$es la masa del cuerpo
• ${\displaystyle v}$es la velocidad del centro de masa del cuerpo.

La energía cinética de cualquier entidad depende del sistema de referencia en el que se mide. Sin embargo, la energía total de un sistema aislado, es decir, uno en el que la energía no puede entrar ni salir, no cambia con el tiempo en el sistema de referencia en el que se mide. Así, la energía química convertida en energía cinética por un motor de cohete se divide de forma diferente entre el cohete y su corriente de escape dependiendo del sistema de referencia elegido. Esto se llama efecto Oberth . Pero la energía total del sistema, incluida la energía cinética, la energía química del combustible, el calor, etc., se conserva en el tiempo, independientemente del sistema de referencia elegido. Sin embargo, diferentes observadores que se mueven con diferentes marcos de referencia no estarían de acuerdo sobre el valor de esta energía conservada.

La energía cinética de tales sistemas depende de la elección del sistema de referencia: el sistema de referencia que da el valor mínimo de esa energía es el centro del sistema de momento , es decir, el sistema de referencia en el que el momento total del sistema es cero. Esta energía cinética mínima contribuye a la masa invariante del sistema en su conjunto.

Derivación

Sin cálculo vectorial

El trabajo W realizado por una fuerza F sobre un objeto a lo largo de una distancia s paralela a F es igual

${\displaystyle W=F\cdot s}$.

Usando la segunda ley de Newton

${\displaystyle F=ma}$

siendo m la masa y a la aceleración del objeto y

${\displaystyle s={\frac {at^{2}}{2}}}$

la distancia recorrida por el objeto acelerado en el tiempo t , encontramos con para la velocidad v del objeto ${\displaystyle v=at}$

${\displaystyle W=ma{\frac {at^{2}}{2}}={\frac {m(at)^{2}}{2}}={\frac {mv^{2}}{2}}.}$

Con cálculo vectorial

El trabajo realizado al acelerar una partícula con masa m durante el intervalo de tiempo infinitesimal dt está dado por el producto escalar de la fuerza F y el desplazamiento infinitesimal d x

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )\,,}$

donde hemos asumido la relación p  =  m  v y la validez de la Segunda Ley de Newton . (Sin embargo, consulte también la derivación relativista especial a continuación).

Aplicando la regla del producto vemos que:

${\displaystyle d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )=(d\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot (d\mathbf {v} )=2(\mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} ).}$

Por lo tanto, (asumiendo masa constante de modo que dm = 0), tenemos,

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )={\frac {m}{2}}d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )={\frac {m}{2}}dv^{2}=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right).}$

Como se trata de un diferencial total (es decir, sólo depende del estado final, no de cómo llegó allí la partícula), podemos integrarlo y llamar al resultado energía cinética:

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int _{v_{1}}^{v_{2}}\mathbf {p} d\mathbf {v} =\int _{v_{1}}^{v_{2}}m\mathbf {v} d\mathbf {v} ={mv^{2} \over 2}{\bigg \vert }_{v_{1}}^{v_{2}}={1 \over 2}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).}$

Esta ecuación establece que la energía cinética ( E _k ) es igual a la integral del producto escalar del momento ( p ) de un cuerpo y el cambio infinitesimal de la velocidad ( v ) del cuerpo. Se supone que el cuerpo empieza sin energía cinética cuando está en reposo (inmóvil).

Cuerpos giratorios

Si un cuerpo rígido Q gira alrededor de cualquier línea que pasa por el centro de masa, entonces tiene energía cinética de rotación ( ) que es simplemente la suma de las energías cinéticas de sus partes móviles y, por lo tanto, viene dada por: ${\displaystyle E_{\text{r}}\,}$

${\displaystyle E_{\text{r}}=\int _{Q}{\frac {v^{2}dm}{2}}=\int _{Q}{\frac {(r\omega )^{2}dm}{2}}={\frac {\omega ^{2}}{2}}\int _{Q}{r^{2}}dm={\frac {\omega ^{2}}{2}}I={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$

dónde:

• ω es la velocidad angular del cuerpo
• r es la distancia de cualquier masa dm desde esa línea
• ${\displaystyle I}$es el momento de inercia del cuerpo , igual a . ${\textstyle \int _{Q}{r^{2}}dm}$

(En esta ecuación, el momento de inercia debe tomarse alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y la rotación medida por ω debe ser alrededor de ese eje; existen ecuaciones más generales para sistemas donde el objeto está sujeto a oscilaciones debido a su forma excéntrica) .

Energía cinética de los sistemas.

Un sistema de cuerpos puede tener energía cinética interna debido al movimiento relativo de los cuerpos en el sistema. Por ejemplo, en el Sistema Solar los planetas y planetoides están orbitando alrededor del Sol. En un tanque de gas, las moléculas se mueven en todas direcciones. La energía cinética del sistema es la suma de las energías cinéticas de los cuerpos que contiene.

Un cuerpo macroscópico que está estacionario (es decir, se ha elegido un marco de referencia que corresponda al centro de impulso del cuerpo ) puede tener varios tipos de energía interna a nivel molecular o atómico, que puede considerarse como energía cinética, debido a la traducción molecular. rotación y vibración, traslación y espín de electrones y espín nuclear. Todos estos contribuyen a la masa del cuerpo, según lo previsto por la teoría especial de la relatividad. Cuando se habla de movimientos de un cuerpo macroscópico, la energía cinética a la que se hace referencia suele ser únicamente la del movimiento macroscópico. Sin embargo, todas las energías internas de todo tipo contribuyen a la masa, la inercia y la energía total de un cuerpo.

Dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos , la energía cinética por unidad de volumen en cada punto de un campo de flujo de fluido incompresible se denomina presión dinámica en ese punto. ^[11]

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Dividiendo por V, la unidad de volumen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E_{\text{k}}}{V}}&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{V}}v^{2}\\q&={\frac {1}{2}}\rho v^{2}\end{aligned}}}$

donde es la presión dinámica y ρ es la densidad del fluido incompresible. ${\displaystyle q}$

Marco de referencia

La velocidad y, por tanto, la energía cinética de un solo objeto depende del marco (relativa): puede tomar cualquier valor no negativo, eligiendo un marco de referencia inercial adecuado . Por ejemplo, una bala que pasa a un observador tiene energía cinética en el sistema de referencia de este observador. La misma bala está estacionaria para un observador que se mueve con la misma velocidad que la bala y, por lo tanto, tiene energía cinética cero. ^[12] Por el contrario, la energía cinética total de un sistema de objetos no puede reducirse a cero mediante una elección adecuada del sistema de referencia inercial, a menos que todos los objetos tengan la misma velocidad. En cualquier otro caso, la energía cinética total tiene un mínimo distinto de cero, ya que no se puede elegir ningún sistema de referencia inercial en el que todos los objetos estén estacionarios. Esta energía cinética mínima contribuye a la masa invariante del sistema , que es independiente del sistema de referencia.

La energía cinética total de un sistema depende del sistema de referencia inercial : es la suma de la energía cinética total en un sistema de centro de momento y la energía cinética que tendría la masa total si estuviera concentrada en el centro de masa .

Esto se puede mostrar simplemente: sea la velocidad relativa del centro de masa del marco i en el marco k . Desde ${\displaystyle \textstyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle v^{2}=\left(v_{i}+V\right)^{2}=\left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)=\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} =v_{i}^{2}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +V^{2},}$

Entonces,

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int {\frac {v^{2}}{2}}dm=\int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm+\mathbf {V} \cdot \int \mathbf {v} _{i}dm+{\frac {V^{2}}{2}}\int dm.}$

Sin embargo, supongamos que la energía cinética en el marco del centro de masa sería simplemente el momento total que, por definición, es cero en el marco del centro de masa, y sea la masa total: . Sustituyendo obtenemos: ^[13] ${\textstyle \int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm=E_{i}}$ ${\textstyle \int \mathbf {v} _{i}dm}$ ${\textstyle \int dm=M}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{i}+{\frac {MV^{2}}{2}}.}$

Por lo tanto, la energía cinética de un sistema es más baja en los sistemas de referencia del centro de momento, es decir, en los marcos de referencia en los que el centro de masa es estacionario (ya sea el sistema de centro de masa o cualquier otro sistema de centro de momento ). En cualquier marco de referencia diferente, hay energía cinética adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la velocidad del centro de masa. La energía cinética del sistema en el centro del sistema de momento es una cantidad invariante (todos los observadores ven que es la misma).

Rotación en sistemas

A veces es conveniente dividir la energía cinética total de un cuerpo en la suma de la energía cinética de traslación del centro de masa del cuerpo y la energía de rotación alrededor del centro de masa ( energía de rotación ):

${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{\text{t}}+E_{\text{r}}}$

dónde:

• E _k es la energía cinética total
• E _t es la energía cinética de traslación
• E _r es la energía rotacional o energía cinética angular en el sistema de reposo

Así, la energía cinética de una pelota de tenis en vuelo es la energía cinética debida a su rotación, más la energía cinética debida a su traslación.

Energía cinética relativista

Si la velocidad de un cuerpo es una fracción significativa de la velocidad de la luz , es necesario utilizar la mecánica relativista para calcular su energía cinética. En relatividad, la energía total viene dada por la relación energía-momento :

$${\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,}$$

Aquí usamos la expresión relativista para el momento lineal: , donde . siendo la masa (en reposo) de un objeto , la velocidad y c la velocidad de la luz en el vacío. Entonces la energía cinética es la energía relativista total menos la energía en reposo : ${\displaystyle p=m\gamma v}$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle E_{K}=E-m_{0}c^{2}={\sqrt {(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}}}-m_{0}c^{2}}$$

A bajas velocidades, la raíz cuadrada se puede expandir y la energía en reposo desaparece, dando la energía cinética newtoniana.

Logaritmo de energía cinética relativista versus logaritmo de impulso relativista, para muchos objetos de escalas muy diferentes. Las intersecciones de las líneas del objeto con el eje inferior se acercan a la energía en reposo. Con baja energía cinética, la pendiente de las líneas del objeto refleja la mecánica newtoniana. A medida que las líneas se acercan, la pendiente se curva en la barrera de la velocidad de la luz. ${\displaystyle c}$

Derivación

Comience con la expresión del momento lineal , donde . Integrando por partes se obtiene ${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d\left(v^{2}\right)}$

Desde , ${\displaystyle \gamma =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=m\gamma v^{2}+mc^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}-E_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{0}}$es una constante de integración para la integral indefinida .

Simplificando la expresión obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\right)-E_{0}\\&=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}-v^{2}\right)-E_{0}\\&=m\gamma c^{2}-E_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{0}}$se encuentra observando que cuando y , dando ${\displaystyle \mathbf {v} =0,\ \gamma =1}$ ${\displaystyle E_{\text{k}}=0}$

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$

dando como resultado la fórmula

${\displaystyle E_{\text{k}}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-mc^{2}=(\gamma -1)mc^{2}}$

Esta fórmula muestra que el trabajo invertido en acelerar un objeto desde el reposo se acerca al infinito a medida que la velocidad se acerca a la velocidad de la luz. Por tanto, es imposible acelerar un objeto a través de este límite.

El subproducto matemático de este cálculo es la fórmula de equivalencia masa-energía : el cuerpo en reposo debe tener un contenido energético

${\displaystyle E_{\text{rest}}=E_{0}=mc^{2}}$

A baja velocidad ( v ≪ c ), la energía cinética relativista se aproxima bien a la energía cinética clásica. Esto se hace mediante una aproximación binomial o tomando los dos primeros términos de la expansión de Taylor para la raíz cuadrada recíproca:

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Entonces, la energía total se puede dividir en la energía de la masa en reposo más la energía cinética no relativista a bajas velocidades. ${\displaystyle E_{k}}$

Cuando los objetos se mueven a una velocidad mucho más lenta que la luz (por ejemplo, en los fenómenos cotidianos en la Tierra), predominan los dos primeros términos de la serie. El siguiente término en la aproximación de la serie de Taylor

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}}$

es pequeño para bajas velocidades. Por ejemplo, para una velocidad de 10 km/s (22.000 mph) la corrección a la energía cinética no relativista es 0,0417 J/kg (sobre una energía cinética no relativista de 50 MJ/kg) y para una velocidad de 100 km /s es 417 J/kg (con una energía cinética no relativista de 5 GJ/kg).

La relación relativista entre energía cinética y momento está dada por

${\displaystyle E_{\text{k}}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}}$

Esto también se puede expandir como una serie de Taylor , cuyo primer término es la expresión simple de la mecánica newtoniana: ^[14]

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}.}$

Esto sugiere que las fórmulas para la energía y el momento no son especiales ni axiomáticas, sino conceptos que surgen de la equivalencia de masa y energía y de los principios de la relatividad.

Relatividad general

Usando la convención que

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\,u^{\alpha }\,u^{\beta }\,=\,-c^{2}}$

donde la cuarta velocidad de una partícula es

${\displaystyle u^{\alpha }\,=\,{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}}$

y es el tiempo propio de la partícula, también existe una expresión para la energía cinética de la partícula en la relatividad general . ${\displaystyle \tau }$

Si la partícula tiene impulso

${\displaystyle p_{\beta }\,=\,m\,g_{\beta \alpha }\,u^{\alpha }}$

cuando pasa junto a un observador con u _obs de cuatro velocidades , entonces la expresión para la energía total de la partícula tal como se observa (medida en un marco inercial local) es

${\displaystyle E\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }}$

y la energía cinética se puede expresar como la energía total menos la energía en reposo:

${\displaystyle E_{k}\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }\,-\,m\,c^{2}\,.}$

Considere el caso de una métrica diagonal y espacialmente isotrópica ( g _tt , g _ss , g _ss , g _ss ). Desde

${\displaystyle u^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=v^{\alpha }u^{t}}$

donde v ^α es la velocidad ordinaria medida en el sistema de coordenadas, obtenemos

${\displaystyle -c^{2}=g_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }=g_{tt}\left(u^{t}\right)^{2}+g_{ss}v^{2}\left(u^{t}\right)^{2}\,.}$

Resolver para u ^da

${\displaystyle u^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}\,.}$

Así, para un observador estacionario ( v = 0)

${\displaystyle u_{\text{obs}}^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}}}}}$

y así la energía cinética toma la forma

${\displaystyle E_{\text{k}}=-mg_{tt}u^{t}u_{\text{obs}}^{t}-mc^{2}=mc^{2}{\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-mc^{2}\,.}$

Factorizando la energía en reposo se obtiene:

${\displaystyle E_{\text{k}}=mc^{2}\left({\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-1\right)\,.}$

Esta expresión se reduce al caso relativista especial de la métrica de espacio plano donde

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-c^{2}\\g_{ss}&=1\,.\end{aligned}}}$

En la aproximación newtoniana a la relatividad general

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-\left(c^{2}+2\Phi \right)\\g_{ss}&=1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\end{aligned}}}$

donde Φ es el potencial gravitacional newtoniano . Esto significa que los relojes van más lento y las varas de medir son más cortas cerca de los cuerpos masivos.

Energía cinética en mecánica cuántica.

En mecánica cuántica , los observables como la energía cinética se representan como operadores . Para una partícula de masa m , el operador de energía cinética aparece como un término en el hamiltoniano y se define en términos del operador de momento más fundamental . El operador de energía cinética en el caso no relativista se puede escribir como ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}.}$

Observe que esto se puede obtener reemplazando por en la expresión clásica de energía cinética en términos de momento , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}.}$

En la imagen de Schrödinger , toma la forma en la que la derivada se toma con respecto a las coordenadas de posición y, por tanto, ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$

${\displaystyle {\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}.}$

El valor esperado de la energía cinética del electrón, para un sistema de N electrones descrito por la función de onda es una suma de los valores esperados del operador de 1 electrón: ${\displaystyle \left\langle {\hat {T}}\right\rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$

${\displaystyle \left\langle {\hat {T}}\right\rangle =\left\langle \psi \left\vert \sum _{i=1}^{N}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \psi \left\vert \nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle }$

donde está la masa del electrón y es el operador laplaciano que actúa sobre las coordenadas del iésimo ^electrón y la suma se aplica a todos los electrones. ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle \nabla _{i}^{2}}$

El formalismo funcional de densidad de la mecánica cuántica requiere sólo el conocimiento de la densidad electrónica , es decir, formalmente no requiere conocimiento de la función de onda. Dada una densidad electrónica , se desconoce la energía cinética funcional exacta del electrón N; sin embargo, para el caso específico de un sistema de 1 electrón, la energía cinética se puede escribir como ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d^{3}r}$

donde se conoce como funcional de energía cinética de von Weizsäcker . ${\displaystyle T[\rho ]}$

Ver también

• Portal de energía

• Velocidad de escape
• libra-pie
• Joule
• Penetrador de energía cinética
• Energía cinética por unidad de masa de proyectiles.
• proyectil cinético
• Teorema de los ejes paralelos
• Energía potencial
• Retroceso

Notas

1. Jainista, Mahesh C. (2009). Libro de texto de Ingeniería Física (Parte I). PHI Aprendizaje Pvt. Limitado. pag. 9.ISBN _ 978-81-203-3862-3. Archivado desde el original el 4 de agosto de 2020 . Consultado el 21 de junio de 2018 ., Capítulo 1, pág. 9 Archivado el 4 de agosto de 2020 en Wayback Machine.
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3. Brenner, José (2008). Lógica en la realidad (edición ilustrada). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 93.ISBN _ 978-1-4020-8375-4. Archivado desde el original el 25 de enero de 2020 . Consultado el 1 de febrero de 2016 .Extracto de la página 93 Archivado el 4 de agosto de 2020 en Wayback Machine.
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Referencias

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enlaces externos

• Medios relacionados con la energía cinética en Wikimedia Commons