Teorema de los ejes paralelos

Teorema de dinámica plana

El teorema de los ejes paralelos , también conocido como teorema de Huygens-Steiner , o simplemente como teorema de Steiner , ^[1] llamado así por Christiaan Huygens y Jakob Steiner , se puede utilizar para determinar el momento de inercia o el segundo momento de área de un cuerpo rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del cuerpo sobre un eje paralelo a través del centro de gravedad del objeto y la distancia perpendicular entre los ejes.

Momento de inercia de la masa

El momento de inercia de masa de un cuerpo alrededor de un eje se puede determinar a partir del momento de inercia de masa alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa.

Supongamos que un cuerpo de masa m gira alrededor de un eje z que pasa por el centro de masas del cuerpo . El cuerpo tiene un momento de inercia I _cm con respecto a este eje. El teorema de los ejes paralelos establece que si se hace girar el cuerpo alrededor de un nuevo eje z′ , que es paralelo al primer eje y se desplaza de él una distancia d , entonces el momento de inercia I con respecto al nuevo eje está relacionado con I _cm por

${\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+md^{2}.}$

Explícitamente, d es la distancia perpendicular entre los ejes z y z′ .

El teorema del eje paralelo se puede aplicar con la regla de estiramiento y el teorema del eje perpendicular para encontrar momentos de inercia para una variedad de formas.

Regla de ejes paralelos para el momento de inercia del área

Derivación

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesianas la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z es entonces

${\displaystyle I_{\mathrm {cm} }=\int (x^{2}+y^{2})\,dm.}$

El momento de inercia relativo al eje z′ , que está a una distancia D del centro de masa a lo largo del eje x , es

${\displaystyle I=\int \left[(x-D)^{2}+y^{2}\right]\,dm.}$

Al expandir los corchetes se obtiene

${\displaystyle I=\int (x^{2}+y^{2})\,dm+D^{2}\int dm-2D\int x\,dm.}$

El primer término es 1 _cm y el segundo término se convierte en MD ² . La integral del término final es un múltiplo de la coordenada x del centro de masas  , que es cero ya que el centro de masas se encuentra en el origen. Por lo tanto, la ecuación se convierte en:

${\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+MD^{2}.}$

Generalización tensorial

El teorema de los ejes paralelos se puede generalizar a los cálculos que involucran el tensor de inercia . ^[2] Sea I _ij el tensor de inercia de un cuerpo calculado en el centro de masas. Entonces el tensor de inercia J _ij calculado en relación con un nuevo punto es

${\displaystyle J_{ij}=I_{ij}+m\left(|\mathbf {R} |^{2}\delta _{ij}-R_{i}R_{j}\right),}$

donde es el vector de desplazamiento desde el centro de masa hasta el nuevo punto, y δ _ij es el delta de Kronecker . ${\displaystyle \mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!}$

Para elementos diagonales (cuando i = j ), los desplazamientos perpendiculares al eje de rotación dan como resultado la versión simplificada anterior del teorema del eje paralelo.

La versión generalizada del teorema de los ejes paralelos se puede expresar en forma de notación libre de coordenadas como

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} \right],}$

donde E ₃ es la matriz identidad 3 × 3 y es el producto externo . ${\displaystyle \otimes }$

Una generalización adicional del teorema de los ejes paralelos proporciona el tensor de inercia sobre cualquier conjunto de ejes ortogonales paralelos al conjunto de referencia de ejes x, y y z, asociado con el tensor de inercia de referencia, pasen o no por el centro de masa. ^[2]

Segundo momento del área

La regla de los ejes paralelos también se aplica al segundo momento de área (momento de inercia del área) para una región plana D :

${\displaystyle I_{z}=I_{x}+Ar^{2},}$

donde I _z es el momento de inercia del área de D con respecto al eje paralelo, I _x es el momento de inercia del área de D con respecto a su centroide , A es el área de la región plana D y r es la distancia desde el nuevo eje z hasta el centroide de la región plana D. El centroide de D coincide con el centro de gravedad de una placa física con la misma forma que tiene densidad uniforme.

Momento polar de inercia para dinámica plana

El momento polar de inercia de un cuerpo alrededor de un punto se puede determinar a partir de su momento polar de inercia alrededor del centro de masa.

Las propiedades de masa de un cuerpo rígido que está obligado a moverse en paralelo a un plano se definen por su centro de masa R  = ( x ,  y ) en este plano y su momento polar de inercia I _R alrededor de un eje que pasa por R y que es perpendicular al plano. El teorema de los ejes paralelos proporciona una relación conveniente entre el momento de inercia I _S alrededor de un punto arbitrario S y el momento de inercia I _R alrededor del centro de masa  R .

Recordemos que el centro de masa R tiene la propiedad

${\displaystyle \int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV=0,}$

donde r está integrado sobre el volumen V del cuerpo. El momento polar de inercia de un cuerpo que experimenta un movimiento plano se puede calcular con respecto a cualquier punto de referencia  S ,

${\displaystyle I_{S}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {S} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {S} )\,dV,}$

donde S es constante y r está integrada sobre el volumen  V .

Para obtener el momento de inercia I _S en términos del momento de inercia I _R , introduzca el vector d desde S al centro de masas R ,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{S}&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\,dV\\&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV+2\mathbf {d} \cdot \left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV\right)+\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\,dV\right)\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} .\end{aligned}}}$

El primer término es el momento de inercia IR , el segundo término es cero por definición del centro de masas y el último término es la masa total del cuerpo multiplicada por el cuadrado de la magnitud del vector  _d . Por lo tanto,

${\displaystyle I_{S}=I_{R}+Md^{2},\,}$

que se conoce como el teorema del eje paralelo. ^[3]

Matriz de momento de inercia

La matriz de inercia de un sistema rígido de partículas depende de la elección del punto de referencia. ^[4] Existe una relación útil entre la matriz de inercia relativa al centro de masa R y la matriz de inercia relativa a otro punto S . Esta relación se denomina teorema de los ejes paralelos.

Considérese la matriz de inercia [I _S ] obtenida para un sistema rígido de partículas medidas en relación con un punto de referencia S , dada por

${\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-S][r_{i}-S],}$

donde r _i define la posición de la partícula P _i , i  = 1, ...,  n . Recordemos que [ r _i  −  S ] es la matriz antisimétrica que realiza el producto vectorial,

${\displaystyle [r_{i}-S]\mathbf {y} =(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {S} )\times \mathbf {y} ,}$

para un vector arbitrario  y .

Sea R el centro de masa del sistema rígido, entonces

${\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {S} )+\mathbf {S} =\mathbf {d} +\mathbf {S} ,}$

donde d es el vector desde el punto de referencia S hasta el centro de masa R. Utilice esta ecuación para calcular la matriz de inercia,

${\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R+d][r_{i}-R+d].}$

Amplíe esta ecuación para obtener

${\displaystyle [I_{S}]=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d].}$

El primer término es la matriz de inercia [ I _R ] relativa al centro de masas. El segundo y tercer término son cero por definición del centro de masas R ,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=0.}$

Y el último término es la masa total del sistema multiplicada por el cuadrado de la matriz antisimétrica [ d ] construida a partir de  d .

El resultado es el teorema de los ejes paralelos,

${\displaystyle [I_{S}]=[I_{R}]-M[d]^{2},}$

donde d es el vector desde el punto de referencia S hasta el centro de masa R. ^[4 ]

Identidades para una matriz antisimétrica

Para comparar las formulaciones del teorema de ejes paralelos utilizando matrices antisimétricas y la formulación tensorial, son útiles las siguientes identidades.

Sea [ R ] la matriz simétrica antidesviada asociada con el vector de posición R  = ( x ,  y ,  z ), entonces el producto en la matriz de inercia se convierte en

${\displaystyle -[R][R]=-{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}.}$

Este producto se puede calcular utilizando la matriz formada por el producto externo [ R R ^T ] utilizando la identidad

${\displaystyle -[R]^{2}=|\mathbf {R} |^{2}[E_{3}]-[\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}]={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&0&0\\0&x^{2}+y^{2}+z^{2}&0\\0&0&x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}x^{2}&xy&xz\\yx&y^{2}&yz\\zx&zy&z^{2}\end{bmatrix}},}$

donde [ E ₃ ] es la matriz identidad de 3 × 3.

Tenga en cuenta también que

${\displaystyle |\mathbf {R} |^{2}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} =\operatorname {tr} [\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}],}$

donde tr denota la suma de los elementos diagonales de la matriz del producto externo, conocida como su traza.

Véase también

• Christian Huygens
• Jacob Steiner
• Momento de inercia
• Teorema del eje perpendicular
• Dinámica de cuerpo rígido
• Regla de estiramiento

Referencias

1. Arthur Erich Haas (1928), Introducción a la física teórica
2. Abdulghany, AR (octubre de 2017), "Generalización del teorema de ejes paralelos para la inercia rotacional", American Journal of Physics , 85 (10): 791–795, doi : 10.1119/1.4994835
3. Paul, Burton (1979), Cinemática y dinámica de maquinaria plana , Prentice Hall , ISBN 978-0-13-516062-6
4. Kane, TR; Levinson, DA (2005), Dinámica, teoría y aplicaciones , McGraw-Hill, Nueva York

Enlaces externos

• Teorema de los ejes paralelos
• Tensor de momento de inercia
• Vídeo sobre el tensor de inercia