Regla de estiramiento

Regla de la mecánica clásica

En mecánica clásica , la regla de estiramiento (a veces denominada regla de Routh ) establece que el momento de inercia de un objeto rígido no cambia cuando el objeto se estira en paralelo a un eje de rotación que es un eje principal , siempre que la distribución de masa permanezca sin cambios excepto en la dirección paralela al eje. ^[1] Esta operación deja los cilindros orientados en paralelo al eje sin cambios en el radio.

Esta regla se puede aplicar con el teorema del eje paralelo y el teorema del eje perpendicular para encontrar momentos de inercia para una variedad de formas.

Derivación

El momento de inercia (escalar) de un cuerpo rígido alrededor del eje z viene dado por:

${\displaystyle I_{z}=\int _{V}d^{3}r\,\rho (\mathbf {r} )\,r^{2}}$

Donde es la distancia de un punto desde el eje z. Podemos desarrollarlo de la siguiente manera, ya que estamos tratando con estiramientos solo sobre el eje z : ${\displaystyle r}$

${\displaystyle I_{z}=\int _{0}^{L}dz\int _{x,y}dx\,dy\,\rho (x,y,z)\,r^{2}}$

Aquí, es la altura del cuerpo. Estirar el objeto por un factor de a lo largo del eje z es equivalente a dividir la densidad de masa por (es decir, ), así como a integrar sobre nuevos límites y (la nueva altura del objeto), dejando así la masa total sin cambios. Esto significa que el nuevo momento de inercia será: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \rho '(x,y,z)=\rho (x,y,z/a)/a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle aL}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{z}'&=\int _{0}^{aL}dz\int _{x,y}dx\,dy\,\rho '(x,y,z)\,r^{2}\\[8pt]&=\int _{0}^{L}a\,dz'\int _{x,y}dx\,dy\,{\frac {\rho (x,y,z/a)}{a}}\,r^{2}\\[8pt]&=\int _{0}^{L}dz'\int _{x,y}dx\,dy\,\rho (x,y,z')\,r^{2}=I_{z}\end{aligned}}}$

Referencias

1. Smith, JO (2010). "Regla de estiramiento". Procesamiento físico de señales de audio . W3K Publishing . Consultado el 26 de noviembre de 2012 .