Centro de masa

Punto único donde la posición relativa ponderada de la masa distribuida suma cero

Este juguete utiliza los principios del centro de masa para mantener el equilibrio al sentarse sobre un dedo.

En física , el centro de masa de una distribución de masa en el espacio (a veces denominado baricentro o punto de equilibrio ) es el único punto en un momento dado donde la posición relativa ponderada de la masa distribuida suma cero. Este es el punto al que se puede aplicar una fuerza para causar una aceleración lineal sin una aceleración angular . Los cálculos en mecánica a menudo se simplifican cuando se formulan con respecto al centro de masa. Es un punto hipotético donde se puede suponer que toda la masa de un objeto está concentrada para visualizar su movimiento. En otras palabras, el centro de masa es la partícula equivalente de un objeto determinado para la aplicación de las leyes de movimiento de Newton .

En el caso de un solo cuerpo rígido , el centro de masa está fijo con relación al cuerpo, y si el cuerpo tiene densidad uniforme , estará ubicado en el centroide . El centro de masa puede estar situado fuera del cuerpo físico , como ocurre a veces con objetos huecos o de forma abierta, como una herradura . En el caso de una distribución de cuerpos separados, como los planetas del Sistema Solar , el centro de masa puede no corresponder a la posición de ningún miembro individual del sistema.

El centro de masa es un punto de referencia útil para cálculos en mecánica que involucran masas distribuidas en el espacio, como el momento lineal y angular de cuerpos planetarios y la dinámica de cuerpos rígidos . En mecánica orbital , las ecuaciones de movimiento de los planetas se formulan como masas puntuales ubicadas en los centros de masa (ver Baricentro (astronomía) para más detalles). El marco de centro de masa es un marco inercial en el que el centro de masa de un sistema está en reposo con respecto al origen del sistema de coordenadas .

Historia

El concepto de centro de gravedad o peso fue estudiado extensamente por el antiguo matemático , físico e ingeniero griego Arquímedes de Siracusa . Trabajó con suposiciones simplificadas sobre la gravedad que equivalen a un campo uniforme, llegando así a las propiedades matemáticas de lo que ahora llamamos centro de masa. Arquímedes demostró que el par ejercido sobre una palanca por pesos que descansan en varios puntos a lo largo de la palanca es el mismo que sería si todos los pesos se movieran a un solo punto: su centro de masa. En su obra Sobre los cuerpos flotantes , Arquímedes demostró que la orientación de un objeto flotante es la que hace que su centro de masa esté lo más bajo posible. Desarrolló técnicas matemáticas para encontrar los centros de masa de objetos de densidad uniforme de diversas formas bien definidas. ^[1]

Otros matemáticos antiguos que contribuyeron a la teoría del centro de masa incluyen a Héroe de Alejandría y Pappus de Alejandría . En el Renacimiento y principios de la Modernidad , obra de Guido Ubaldi , Francesco Maurolico , ^[2] Federico Commandino , ^[3] Evangelista Torricelli , Simon Stevin , ^[4] Luca Valerio , ^[5] Jean-Charles de la Faille , Paul Guldin , ^[6] John Wallis , Christiaan Huygens , ^[7] Louis Carré , Pierre Varignon y Alexis Clairaut ampliaron aún más el concepto. ^[8]

La segunda ley de Newton se reformula respecto del centro de masa en la primera ley de Euler . ^[9]

Definición

El centro de masa es el único punto en el centro de una distribución de masa en el espacio que tiene la propiedad de que los vectores de posición ponderados relativos a este punto suman cero. De manera similar a la estadística, el centro de masa es la ubicación media de una distribución de masa en el espacio.

Un sistema de partículas.

En el caso de un sistema de partículas P _i , i = 1, ...,  n  , cada una de masa m _i que se ubican en el espacio con coordenadas r _i , i = 1, ...,  n  , las coordenadas R de el centro de masa cumple la condición

∑ yo = 1 norte metro yo ( r yo - R ) = 0 . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=\mathbf {0} .}

Al resolver esta ecuación para R se obtiene la fórmula

R = ∑ yo = 1 norte metro yo r yo ∑ yo = 1 norte metro yo . {\displaystyle \mathbf {R} ={\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i} \over \sum _{i=1}^{n}m_ {i}}.}

Un volumen continuo

Si la distribución de masa es continua con la densidad ρ ( r ) dentro de un sólido Q , entonces la integral de las coordenadas de posición ponderadas de los puntos en este volumen con respecto al centro de masa R sobre el volumen V es cero, es decir

$${\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0.}$$

Resuelve esta ecuación para las coordenadas R para obtener

$${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,}$$

M

Si una distribución de masa continua tiene densidad uniforme , lo que significa que ρ es constante, entonces el centro de masa es el mismo que el centroide del volumen. ^[10]

Coordenadas baricéntricas

Las coordenadas R del centro de masa de un sistema de dos partículas, P ₁ y P ₂ , con masas m ₁ y m ₂ están dadas por

$${\displaystyle \mathbf {R} ={{m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}} \over m_{1}+m_{2}}.}$$

Deje que el porcentaje de la masa total dividida entre estas dos partículas varíe desde 100% P ₁ y 0% P ₂ hasta 50% P ₁ y 50% P ₂ hasta 0% P ₁ y 100% P ₂ , luego el centro de masa R se mueve a lo largo de la línea de P ₁ a P ₂ . Los porcentajes de masa en cada punto pueden verse como coordenadas proyectivas del punto R en esta línea y se denominan coordenadas baricéntricas . Otra forma de interpretar el proceso aquí es el equilibrio mecánico de momentos alrededor de un punto arbitrario. El numerador da el momento total que luego se equilibra con una fuerza total equivalente en el centro de masa. Esto se puede generalizar a tres puntos y cuatro puntos para definir coordenadas proyectivas en el plano y en el espacio, respectivamente.

Sistemas con condiciones de contorno periódicas.

Para partículas en un sistema con condiciones de contorno periódicas, dos partículas pueden ser vecinas aunque estén en lados opuestos del sistema. Esto ocurre a menudo en simulaciones de dinámica molecular , por ejemplo, en las que se forman grupos en ubicaciones aleatorias y, a veces, los átomos vecinos cruzan el límite periódico. Cuando un cúmulo se extiende a ambos lados del límite periódico, un cálculo ingenuo del centro de masa será incorrecto. Un método generalizado para calcular el centro de masa de sistemas periódicos es tratar cada coordenada, x , y y /o z , como si estuviera en un círculo en lugar de una línea. ^{[11] El cálculo toma la coordenada} x de cada partícula y la asigna a un ángulo,

$${\displaystyle \theta _{i}={\frac {x_{i}}{x_{\max }}}2\pi }$$

x _maxx ${\displaystyle x_{i}\in [0,x_{\max })}$ ${\displaystyle (\xi _{i},\zeta _{i})}$ ${\displaystyle x_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=\cos(\theta _{i})\\\zeta _{i}&=\sin(\theta _{i})\end{aligned}}}$$

En el plano, estas coordenadas se encuentran en un círculo de radio 1. A partir de la colección y los valores de todas las partículas, se calculan los promedios y . ${\displaystyle (\xi ,\zeta )}$ ${\displaystyle \xi _{i}}$ ${\displaystyle \zeta _{i}}$ ${\displaystyle {\overline {\xi }}}$ ${\displaystyle {\overline {\zeta }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\xi }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\xi _{i},\\{\overline {\zeta }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\zeta _{i},\end{aligned}}}$$

M

Estos valores se mapean nuevamente en un nuevo ángulo, del cual se puede obtener la coordenada x del centro de masa: ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\theta }}&=\operatorname {atan2} \left(-{\overline {\zeta }},-{\overline {\xi }}\right)+\pi \\x_{\text{com}}&=x_{\max }{\frac {\overline {\theta }}{2\pi }}\end{aligned}}}$$

El proceso se puede repetir para todas las dimensiones del sistema para determinar el centro de masa completo. La utilidad del algoritmo es que permite a las matemáticas determinar dónde está el "mejor" centro de masa, en lugar de adivinar o utilizar el análisis de conglomerados para "desplegar" un grupo que se extiende a ambos lados de los límites periódicos. Si ambos valores promedio son cero, entonces no está definido. Este es un resultado correcto, porque sólo ocurre cuando todas las partículas están exactamente espaciadas de manera uniforme. En esa condición, sus coordenadas x son matemáticamente idénticas en un sistema periódico . ${\displaystyle \left({\overline {\xi }},{\overline {\zeta }}\right)=(0,0)}$ ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

Centro de gravedad

Diagrama de un juguete educativo que se equilibra sobre un punto: el centro de masa (C) se asienta debajo de su soporte (P)

El centro de gravedad de un cuerpo es el punto alrededor del cual desaparece el par resultante debido a las fuerzas de gravedad. Cuando se puede considerar que un campo de gravedad es uniforme, el centro de masa y el centro de gravedad serán los mismos. Sin embargo, para los satélites en órbita alrededor de un planeta, en ausencia de otros pares aplicados a un satélite, la ligera variación (gradiente) en el campo gravitacional entre lo más cercano y lo más alejado del planeta (gravedad más fuerte y más débil, respectivamente) puede llevar a a un par que tenderá a alinear el satélite de manera que su eje mayor sea vertical. En tal caso, es importante hacer la distinción entre el centro de gravedad y el centro de masas. Cualquier desplazamiento horizontal entre los dos dará como resultado un par aplicado.

El centro de masa es una propiedad fija para un cuerpo rígido dado (por ejemplo, sin chapoteo ni articulación), mientras que el centro de gravedad puede, además, depender de su orientación en un campo gravitacional no uniforme. En el último caso, el centro de gravedad siempre estará ubicado algo más cerca del cuerpo atractivo principal en comparación con el centro de masa y, por lo tanto, cambiará su posición en el cuerpo de interés a medida que cambie su orientación.

En el estudio de la dinámica de aviones, vehículos y embarcaciones, es necesario resolver fuerzas y momentos en relación con el centro de masas. Esto es cierto independientemente de si la gravedad misma es una consideración. Referirse al centro de masa como centro de gravedad es una especie de coloquialismo, pero es de uso común y cuando los efectos del gradiente de gravedad son insignificantes, el centro de gravedad y el centro de masa son iguales y se usan indistintamente.

En física, los beneficios de utilizar el centro de masa para modelar una distribución de masa se pueden ver considerando la resultante de las fuerzas de gravedad sobre un cuerpo continuo. Considere un cuerpo Q de volumen V con densidad ρ ( r ) en cada punto r del volumen. En un campo de gravedad paralelo, la fuerza f en cada punto r está dada por,

$${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g\mathbf {\hat {k}} =-\rho (\mathbf {r} )\,dV\,g\mathbf {\hat {k}} ,}$$

dmrg ${\textstyle \mathbf {\hat {k}} }$

Elija un punto de referencia R en el volumen y calcule la fuerza y ​​el par resultantes en este punto,

F = ∭ Q f ( r ) d V = ∭ Q ρ ( r ) d V ( − g k ^ ) = − M g k ^ , {\displaystyle \mathbf {F} =\iiint _ {Q}\mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _ {Q}\rho (\mathbf {r} )\,dV\left(-g\mathbf {\hat {k}} \right)=-Mg\ mathbf {\sombrero {k}},}

T = ∭ Q ( r − R ) × f ( r ) d V = ∭ Q ( r − R ) × ( − g ρ ( r ) d V k ^ ) = ( ∭ Q ρ ( r ) ( r − R ) re V ) × ( - gramo k ^ ) . {\displaystyle \mathbf {T} =\iiint _ {Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _ Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \left(-g\rho (\mathbf {r} )\,dV\,\mathbf {\hat {k}} \right)=\ left(\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV\right)\times \left(-g\mathbf {\hat {k}} \derecha).}

Si se elige el punto de referencia R de modo que sea el centro de masa, entonces

$${\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0,}$$

T = 0

Al seleccionar el centro de gravedad como punto de referencia para un cuerpo rígido, las fuerzas de gravedad no harán que el cuerpo gire, lo que significa que se puede considerar que el peso del cuerpo está concentrado en el centro de masa.

Momento lineal y angular

El momento lineal y angular de un conjunto de partículas se puede simplificar midiendo la posición y la velocidad de las partículas en relación con el centro de masa. Sea el sistema de partículas P _i , i = 1, ..., n de masas m _i ubicado en las coordenadas r _i con velocidades v _i . Seleccione un punto de referencia R y calcule la posición relativa y los vectores de velocidad,

$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {v} .}$$

El momento lineal total y el momento angular del sistema son

p = re re t ( ∑ i = 1 norte metro yo ( r yo − R ) ) + ( ∑ i = 1 norte metro yo ) v , {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _ {i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_ {i}\right)\mathbf {v},}

L = ∑ i = 1 norte metro yo ( r yo - R ) × re re t ( r yo - R ) + ( ∑ yo = 1 norte metro yo ) [ R × re re t ( r yo - R ) + ( r yo - R ) × v ] + ( ∑ yo = 1 norte metro yo ) R × v {\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right) \left[\mathbf {R} \times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\ mathbf {R} )\times \mathbf {v} \right]+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {R} \times \mathbf {v} }

Si se elige R como centro de masa, estas ecuaciones se simplifican a

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {R} \times \mathbf {v} }$$

mpL

La ley de conservación del momento predice que para cualquier sistema que no esté sujeto a fuerzas externas, el momento del sistema permanecerá constante, lo que significa que el centro de masa se moverá con velocidad constante. Esto se aplica a todos los sistemas con fuerzas internas clásicas, incluidos campos magnéticos, campos eléctricos, reacciones químicas, etc. Más formalmente, esto es cierto para cualquier fuerza interna que se cancele de acuerdo con la Tercera Ley de Newton . ^[12]

Determinación

Método de la plomada

La determinación experimental del centro de masa de un cuerpo utiliza las fuerzas de gravedad sobre el cuerpo y se basa en el hecho de que el centro de masa es el mismo que el centro de gravedad en el campo de gravedad paralelo cerca de la superficie terrestre.

El centro de masa de un cuerpo con eje de simetría y densidad constante debe estar sobre este eje. Por tanto, el centro de masa de un cilindro circular de densidad constante tiene su centro de masa en el eje del cilindro. De la misma manera, el centro de masa de un cuerpo esféricamente simétrico de densidad constante está en el centro de la esfera. En general, para cualquier simetría de un cuerpo, su centro de masa será un punto fijo de esa simetría. ^[13]

En dos dimensiones

Un método experimental para localizar el centro de masa consiste en suspender el objeto desde dos lugares y colocar plomadas desde los puntos de suspensión. La intersección de las dos líneas es el centro de masa. ^[14]

Es posible que la forma de un objeto ya esté determinada matemáticamente, pero puede ser demasiado compleja para utilizar una fórmula conocida. En este caso, se puede subdividir la forma compleja en formas más simples y elementales, cuyos centros de masa son fáciles de encontrar. Si se pueden determinar la masa total y el centro de masa para cada área, entonces el centro de masa del todo es el promedio ponderado de los centros. ^[15] Este método puede funcionar incluso para objetos con agujeros, que pueden considerarse masas negativas. ^[dieciséis]

Se puede utilizar un desarrollo directo del planímetro conocido como integraph o enterogerómetro para establecer la posición del centroide o centro de masa de una forma bidimensional irregular. Este método se puede aplicar a una forma con un límite irregular, suave o complejo donde otros métodos son demasiado difíciles. Los constructores navales lo utilizaban regularmente para comparar el desplazamiento requerido y el centro de flotabilidad de un barco y garantizar que no volcara. ^{[17] [18]}

En tres dimensiones

Un método experimental para localizar las coordenadas tridimensionales del centro de masa comienza apoyando el objeto en tres puntos y midiendo las fuerzas F ₁ , F ₂ y F ₃ que resisten el peso del objeto ( es el vector unitario en dirección vertical). Sean r ₁ , r ₂ y r ₃ las coordenadas de posición de los puntos de apoyo, entonces las coordenadas R del centro de masa satisfacen la condición de que el par resultante sea cero, ${\displaystyle \mathbf {W} =-W\mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} =(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{2}+(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{3}=0,}$$

$${\displaystyle \mathbf {R} \times \left(-W\mathbf {\hat {k}} \right)=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}.}$$

Esta ecuación produce las coordenadas del centro de masa R * en el plano horizontal como,

$${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}=-{\frac {1}{W}}\mathbf {\hat {k}} \times (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}).}$$

El centro de masa se encuentra en la línea vertical L , dada por

$${\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} ^{*}+t\mathbf {\hat {k}} .}$$

Las coordenadas tridimensionales del centro de masa se determinan realizando este experimento dos veces con el objeto colocado de modo que estas fuerzas se midan para dos planos horizontales diferentes a través del objeto. El centro de masa será la intersección de las dos rectas L ₁ y L ₂ obtenidas de los dos experimentos.

Aplicaciones

Diseños de ingeniería

Aplicaciones automotrices

Los ingenieros intentan diseñar un automóvil deportivo de modo que su centro de masa esté más bajo para que el automóvil se maneje mejor, es decir, mantenga la tracción mientras ejecuta giros relativamente cerrados.

El característico perfil bajo del Humvee militar estadounidense fue diseñado en parte para permitirle inclinarse más que los vehículos más altos sin volcarse , asegurando que su bajo centro de masa permanezca sobre el espacio delimitado por las cuatro ruedas incluso en ángulos alejados de la horizontal .

Aeronáutica

El centro de masa es un punto importante en un avión , que afecta significativamente la estabilidad del avión. Para garantizar que la aeronave sea lo suficientemente estable como para que sea seguro volar, el centro de masa debe estar dentro de los límites especificados. Si el centro de masa está por delante del límite delantero , la aeronave será menos maniobrable, posiblemente hasta el punto de no poder rotar para el despegue o enderezarse para aterrizar. ^[19] Si el centro de masa está detrás del límite de popa, el avión será más maniobrable, pero también menos estable y posiblemente lo suficientemente inestable como para que sea imposible volar. El brazo de momento del ascensor también se reducirá, lo que hace más difícil recuperarse de una condición de calado . ^[20]

Para los helicópteros en vuelo estacionario , el centro de masa siempre está directamente debajo de la cabeza del rotor . En vuelo hacia adelante, el centro de masa se moverá hacia adelante para equilibrar el par de cabeceo negativo producido al aplicar el control cíclico para impulsar el helicóptero hacia adelante; en consecuencia, un helicóptero de crucero vuela "con el morro hacia abajo" en vuelo nivelado. ^[21]

Astronomía

Dos cuerpos orbitando su baricentro (cruz roja)

El centro de masa juega un papel importante en astronomía y astrofísica, donde comúnmente se le conoce como baricentro . El baricentro es el punto entre dos objetos donde se equilibran entre sí; es el centro de masa donde dos o más cuerpos celestes orbitan entre sí. Cuando una luna orbita un planeta , o un planeta orbita una estrella , ambos cuerpos en realidad están orbitando un punto que se encuentra alejado del centro del cuerpo primario (más grande). ^[22] Por ejemplo, la Luna no orbita el centro exacto de la Tierra , sino un punto en una línea entre el centro de la Tierra y la Luna, aproximadamente a 1.710 km (1.062 millas) debajo de la superficie de la Tierra, donde sus respectivo balance de masas. Este es el punto alrededor del cual orbitan la Tierra y la Luna mientras viajan alrededor del Sol . Si las masas son más similares, por ejemplo, Plutón y Caronte , el baricentro quedará fuera de ambos cuerpos.

Aparejo y seguridad

Conocer la ubicación del centro de gravedad al realizar el montaje es crucial, lo que podría provocar lesiones graves o la muerte si se asume incorrectamente. Un centro de gravedad que esté en el punto de elevación o por encima de él probablemente provocará un incidente de vuelco. En general, cuanto más bajo esté el centro de gravedad del punto de recogida, más seguro será el levantamiento. Hay otras cosas a considerar, como el desplazamiento de cargas, la fuerza de la carga y la masa, la distancia entre los puntos de recogida y el número de puntos de recogida. Específicamente, al seleccionar los puntos de elevación, es muy importante colocar el centro de gravedad en el centro y muy por debajo de los puntos de elevación. ^[23]

movimiento del cuerpo

En kinesiología y biomecánica, el centro de masa es un parámetro importante que ayuda a las personas a comprender su locomoción humana. Por lo general, el centro de masa de un ser humano se detecta con uno de dos métodos: el método del tablero de reacción es un análisis estático que involucra a la persona acostada sobre ese instrumento y el uso de su ecuación de equilibrio estático para encontrar su centro de masa; El método de segmentación se basa en una solución matemática basada en el principio físico de que la suma de los pares de las secciones individuales del cuerpo, con respecto a un eje específico , debe ser igual al par de todo el sistema que constituye el cuerpo, medido con respecto al mismo eje. ^[24]

Mejoramiento

El método del centro de gravedad es un método de optimización convexa que utiliza el centro de gravedad de la región factible.

Ver también

• Portal de física

• Baricentro
• Flotabilidad
• centro de percusión
• Centro de presión (mecánica de fluidos)
• Centro de presión (locomoción terrestre)
• centroide
• Circuncentro de masa
• Valor esperado
• Geometría del punto de masa
• altura metacéntrica
• Centro de rollo
• Distribución del peso

Notas

1. Costa 2008, págs. 9-11.
2. Barón 2004, págs. 91–94.
3. Barón 2004, págs. 94–96.
4. Barón 2004, págs. 96-101.
5. Barón 2004, págs. 101-106.
6. Mancosu 1999, págs. 56–61.
7. Erlichson, H. (1996). "Descubrimiento de Christiaan Huygens de la fórmula del centro de oscilación". Revista Estadounidense de Física . 64 (5): 571–574. Código Bib : 1996AmJPh..64..571E. doi :10.1119/1.18156. ISSN  0002-9505.
8. Walton 1855, pag. 2.
9. Beatty 2006, pág. 29.
10. Levi 2009, pag. 85.
11. Bai y Breen 2008.
12. Kleppner y Kolenkow 1973, pág. 117.
13. Las conferencias Feynman sobre física vol. Yo cap. 19: Centro de masa; Momento de inercia
14. Kleppner y Kolenkow 1973, págs. 119-120.
15. Feynman, Leighton y Sands 1963, págs. 19.1-19.2.
16. Hamill 2009, págs. 20-21.
17. "La teoría y el diseño de la construcción naval británica". Amos Lowrey Ayre . pag. 3 . Consultado el 20 de agosto de 2012 .
18. Sangwin 2006, pag. 7.
19. Administración Federal de Aviación 2007, p. 1.4.
20. Administración Federal de Aviación 2007, p. 1.3.
21. "Aerodinámica del helicóptero" (PDF) . pag. 82. Archivado desde el original (PDF) el 24 de marzo de 2012 . Consultado el 23 de noviembre de 2013 .
22. Murray y Dermott 1999, págs. 45–47.
23. "Técnico en Derrumbe Estructural: Módulo 4 - Elevación y Aparejo" (PDF) . FEMA.gov . Consultado el 27 de noviembre de 2019 .
24. Vint 2003, págs. 1-11.

Referencias

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• Walton, William (1855), Colección de problemas que ilustran los principios de la mecánica teórica (2ª ed.), Deighton, Bell & Co.

enlaces externos

• El movimiento del centro de masa muestra que el movimiento del centro de masa de un objeto en caída libre es el mismo que el movimiento de un objeto puntual.
• El baricentro del Sistema Solar, simulaciones que muestran el efecto que cada planeta aporta al baricentro del Sistema Solar.