Circuncentro de masa

Centro formado por la media ponderada de los circuncentros de los triángulos que componen un polígono

En geometría , el circuncentro de masa es un centro asociado a un polígono que comparte muchas de las propiedades del centro de masa . De manera más general, el circuncentro de masa puede definirse para politopos simpliciales y también en las geometrías esféricas e hiperbólicas .

En el caso especial en el que el politopo es un cuadrilátero o un hexágono , el circuncentro de masa se ha denominado "cuasicircumcentro" y se ha utilizado para definir una línea de Euler de un cuadrilátero. ^{[1] [2]} El circuncentro de masa nos permite definir una línea de Euler para politopos simpliciales.

Definición en el avión.

Sea un polígono orientado (con vértices contados de forma anticíclica) en el plano con vértices y sea un punto arbitrario que no se encuentre en los lados (o sus extensiones ). Considere la triangulación de por los triángulos orientados (el índice se ve módulo ). Asocia a cada uno de estos triángulos su circuncentro con peso igual a su área orientada (positivo si su secuencia de vértices es contracíclica; negativo en caso contrario). El circuncentro de masa de es el centro de masa de estos circuncentros ponderados. El resultado es independiente de la elección del punto . ^[3] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle OV_{i}V_{i+1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle O}$

Circuncentro de masa de un polígono.

Propiedades

En el caso especial de que el polígono sea cíclico , el circuncentro de masa coincide con el circuncentro .

El circuncentro de masa satisface un análogo del Lema de Arquímedes, que establece que si un polígono se descompone en dos polígonos más pequeños, entonces el circuncentro de masa de ese polígono es una suma ponderada de los circuncentros de masa de los dos polígonos más pequeños. Como consecuencia, se puede utilizar cualquier triangulación con triángulos no degenerados para definir el circuncentro de masa.

Para un polígono equilátero , el circuncentro de masa y el centro de masa coinciden. De manera más general, el circuncentro de masa y el centro de masa coinciden para un politopo simple para el cual cada cara tiene la suma de los cuadrados de sus aristas constante. ^[4]

El circuncentro de masa es invariante bajo la operación de "recorte" de polígonos. ^[5] y la transformación de bicicleta discreta (Darboux); en otras palabras, la imagen de un polígono bajo estas operaciones tiene el mismo circuncentro de masa que el polígono original. La línea generalizada de Euler hace otras apariciones en la teoría de sistemas integrables. ^[6]

Sean los vértices de y denotemos su área. El circuncentro de masa del polígono viene dado por la fórmula ${\displaystyle V_{i}=(x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle CCM(P)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle CCM(P)={\frac {1}{4A}}(\sum _{i=0}^{n-1}-y_{i}y_{i+1}^{2}+y_{i}^{2}y_{i+1}+x_{i}^{2}y_{i+1}-x_{i+1}^{2}y_{i},\sum _{i=0}^{n-1}-x_{i+1}y_{i}^{2}+x_{i}y_{i+1}^{2}+x_{i}x_{i+1}^{2}-x_{i}^{2}x_{i+1}).}$

El circuncentro de masa se puede extender para suavizar curvas mediante un procedimiento limitante. Este límite continuo coincide con el centro de masa de la lámina homogénea delimitada por la curva.

Bajo supuestos naturales, los centros de los polígonos que satisfacen el Lema de Arquímedes son precisamente los puntos de su línea de Euler. En otras palabras, los únicos centros "con buen comportamiento" que satisfacen el Lema de Arquímedes son las combinaciones afines del circuncentro de masa y del centro de masa.

Línea de Euler generalizada

El circuncentro de masa permite definir una línea de Euler para cualquier polígono (y, más generalmente, para un politopo simple). Esta línea de Euler generalizada se define como el tramo afín del centro de masa y circuncentro de masa del politopo.

Ver también

• Circuncentro
• Esfera circunscrita

Referencias

1. Myakishev, Alexei (2006), "Sobre dos líneas notables relacionadas con un cuadrilátero" (PDF) , Forum Geometriorum , 6 : 289–295.
2. de Villiers, Michael (2014), "Cuasicircuncentros y una generalización de la línea cuasi-Euler a un hexágono" (PDF) , Forum Geometriorum , 14 : 233–236
3. Tabachnikov, Serge; Tsukerman, Emmanuel (mayo de 2014), "Circumcentro de masa y línea de Euler generalizada", Geometría discreta y computacional , 51 (4): 815–836, arXiv : 1301.0496 , doi : 10.1007/s00454-014-9597-2, S2CID  12307207
4. Akopyan, Arseniy (mayo de 2014), "Algunas observaciones sobre el circuncentro de masa", Geometría discreta y computacional , 51 (4): 837–841, arXiv : 1512.08655 , doi :10.1007/s00454-014-9596-3, S2CID  3464833
5. Adler, V. (1993), "Corte de polígonos", Funct. Anal. Aplica. , 27 (2): 141–143, doi :10.1007/BF01085984, S2CID  122179363
6. Schief, WK (2014), "Estructura integrable en la teoría de la membrana de capa discreta", Actas de la Royal Society of London A , 470 (2165): 22, doi :10.1098/rspa.2013.0757, PMC 3973394 , PMID  24808755