En matemáticas , una lámina plana (o lámina plana [1] ) es una figura que representa una capa plana delgada, generalmente uniforme, del sólido. Sirve también como modelo idealizado de una sección transversal plana de un cuerpo sólido en integración .
Las láminas planas se pueden utilizar para determinar momentos de inercia o centros de masa de figuras planas, así como como ayuda en los cálculos correspondientes para cuerpos 3D.
Definición
Básicamente, una lámina plana se define como una figura (un conjunto cerrado ) D de un área finita en un plano, con cierta masa m . [2]
Esto es útil para calcular momentos de inercia o centro de masa para una densidad constante, porque la masa de una lámina es proporcional a su área. En el caso de una densidad variable, dada por alguna función de densidad superficial (no negativa), la masa de la lámina plana D es una integral plana de ρ sobre la figura: [3]
Propiedades
El centro de masa de la lámina está en el punto
donde es el momento de toda la lámina con respecto al eje y y es el momento de toda la lámina con respecto al eje x:
con la suma y la integración asumidas en un dominio plano .
Ejemplo
Encuentre el centro de masa de una lámina con aristas dadas por las líneas y donde la densidad está dada como .
Para ello se debe encontrar la masa así como los momentos y .
La masa es la que se puede expresar de manera equivalente como una integral iterada :
La integral interna es:
Al conectar esto a la integral externa se obtiene:
De manera similar se calculan ambos momentos:
con la integral interna:
que hace:
y
Finalmente, el centro de masa es
Referencias
^ Atkins, Tony; Escudier, Marcel (2013), "Plane lamina", Diccionario de ingeniería mecánica (1 ed.) , Oxford University Press , doi :10.1093/acref/9780199587438.001.0001, ISBN 9780199587438, recuperado 2021-06-08
^ "Láminas planas", WolframAlpha , consultado el 9 de marzo de 2021
^ "Lámina". MundoMatemático . Consultado el 9 de marzo de 2021 .