Fuerza resultante

Fuerza única que representa la combinación de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo físico.

Colocación gráfica de la fuerza resultante.

En física e ingeniería , una fuerza resultante es la fuerza única y el par asociado obtenidos al combinar un sistema de fuerzas y pares que actúan sobre un cuerpo rígido mediante la suma de vectores . La característica definitoria de una fuerza resultante, o fuerza-torque resultante, es que tiene el mismo efecto sobre el cuerpo rígido que el sistema de fuerzas original. ^[1] Calcular y visualizar la fuerza resultante sobre un cuerpo se realiza mediante análisis computacional o (en el caso de sistemas suficientemente simples) un diagrama de cuerpo libre .

El punto de aplicación de la fuerza resultante determina su par asociado. Se debe entender que el término fuerza resultante se refiere tanto a las fuerzas como a los pares que actúan sobre un cuerpo rígido, razón por la cual algunos utilizan el término fuerza resultante-par .

La fuerza igual en magnitud a la fuerza resultante, pero apuntada en dirección opuesta, se llama fuerza de equilibrio . ^[2]

Ilustración

El diagrama ilustra métodos gráficos simples para encontrar la línea de aplicación de la fuerza resultante de sistemas planos simples.

1. Las líneas de aplicación de las fuerzas reales y en la ilustración más a la izquierda se cruzan. Después de realizar la suma de vectores "en la ubicación de ", la fuerza neta obtenida se traslada de modo que su línea de aplicación pase por el punto de intersección común. Con respecto a ese punto, todos los pares son cero, por lo que el par de la fuerza resultante es igual a la suma de los pares de las fuerzas reales. ${\displaystyle {\scriptstyle {\vec {F}}_{1}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{R}}$
2. La ilustración en el medio del diagrama muestra dos fuerzas reales paralelas. Después de la suma de vectores "en la ubicación de ", la fuerza neta se traslada a la línea de aplicación apropiada, de la cual se convierte en la fuerza resultante . El procedimiento se basa en una descomposición de todas las fuerzas en componentes, cuyas líneas de aplicación (líneas de puntos pálidas) se cruzan en un punto (el llamado polo, colocado arbitrariamente en el lado derecho de la ilustración). Luego se aplican los argumentos del caso anterior a las fuerzas y sus componentes para demostrar las relaciones de torsión. ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{R}}$
3. La ilustración de la derecha muestra un par , dos fuerzas iguales pero opuestas para las cuales la cantidad de fuerza neta es cero, pero producen el par neto,    donde   es la distancia entre sus líneas de aplicación. Este es un par "puro", ya que no hay fuerza resultante. ${\displaystyle \scriptstyle \tau =Fd}$ ${\displaystyle \scriptstyle d}$

Vector enlazado

Una fuerza aplicada a un cuerpo tiene un punto de aplicación. El efecto de la fuerza es diferente para diferentes puntos de aplicación. Por esta razón a una fuerza se le llama vector ligado , lo que significa que está ligado a su punto de aplicación.

Las fuerzas aplicadas en un mismo punto se pueden sumar para obtener el mismo efecto en el cuerpo. Sin embargo, las fuerzas con diferentes puntos de aplicación no se pueden sumar y mantener el mismo efecto en el cuerpo.

Es sencillo cambiar el punto de aplicación de una fuerza introduciendo fuerzas iguales y opuestas en dos puntos de aplicación diferentes que producen un par puro sobre el cuerpo. De esta manera, todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo pueden trasladarse al mismo punto de aplicación con pares asociados.

Un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido se combina moviendo las fuerzas al mismo punto de aplicación y calculando los pares asociados. La suma de estas fuerzas y pares produce la fuerza-par resultante.

Torque asociado

Si se selecciona un punto R como punto de aplicación de la fuerza resultante F de un sistema de n fuerzas F _i , entonces el par asociado T se determina a partir de las fórmulas

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},}$

y

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i}.}$

Es útil observar que el punto de aplicación R de la fuerza resultante puede estar en cualquier lugar a lo largo de la línea de acción de F sin cambiar el valor del par asociado. Para ver esto, agregue el vector k F al punto de aplicación R en el cálculo del par asociado,

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-(\mathbf {R} +k\mathbf {F} ))\times \mathbf {F} _{i}.}$

El lado derecho de esta ecuación se puede separar en la fórmula original para T más el término adicional que incluye k F ,

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i}-\sum _{i=1}^{n}k\mathbf {F} \times \mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$

porque el segundo término es cero. Para ver esto observe que F es la suma de los vectores F _i que produce

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k\mathbf {F} \times \mathbf {F} _{i}=k\mathbf {F} \times (\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i})=0,}$

por lo tanto, el valor del par asociado no cambia.

Resultante sin torsión

Es útil considerar si existe un punto de aplicación R tal que el par asociado sea cero. Este punto está definido por la propiedad

${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i},}$

donde F es la fuerza resultante y F _i forman el sistema de fuerzas.

Observe que esta ecuación para R tiene solución solo si la suma de los pares individuales en el lado derecho produce un vector que es perpendicular a F. Por tanto, la condición de que un sistema de fuerzas tenga una resultante libre de par se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\sum _{i=1}^{n}\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i})=0.}$

Si se cumple esta condición, entonces hay un punto de aplicación de la resultante que da como resultado una fuerza pura. Si esta condición no se cumple, entonces el sistema de fuerzas incluye un par puro para cada punto de aplicación.

Llave inglesa

Las fuerzas y pares de torsión que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden ensamblar en el par de vectores llamado llave inglesa . ^[3] Si un sistema de fuerzas y momentos de torsión tiene una fuerza resultante neta F y un momento de torsión resultante neto T , entonces todo el sistema puede ser reemplazado por una fuerza F y un par ubicado arbitrariamente que produzca un momento de torsión de T. En general, si F y T son ortogonales, es posible derivar un vector radial R tal que , lo que significa que la fuerza única F , que actúa en el desplazamiento R , puede reemplazar el sistema. Si el sistema es de fuerza cero (solo torque), se denomina tornillo y se formula matemáticamente como teoría del tornillo . ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {F} =\mathbf {T} }$

La fuerza y ​​el par resultantes sobre un cuerpo rígido obtenidos de un sistema de fuerzas F _i i=1,...,n, es simplemente la suma de las llaves individuales W _i , es decir

${\displaystyle {\mathsf {W}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

Observe que el caso de dos fuerzas iguales pero opuestas F y -F que actúan en los puntos A y B respectivamente, produce la resultante W=( F - F , A × F - B × F ) = (0, ( A - B )× F ). Esto muestra que las llaves de la forma W=(0, T ) pueden interpretarse como pares de torsión puros.

Referencias

• Portal de física

1. H. Dadourian, Mecánica analítica para estudiantes de física e ingeniería, Van Nostrand Co., Boston, MA 1913
2. Resistente 1904, pag. 23.
3. RM Murray, Z. Li y S. Sastry, Una introducción matemática a la manipulación robótica, CRC Press, 1994
4. RS Ball, La teoría de los tornillos: un estudio sobre la dinámica de un cuerpo rígido, Hodges, Foster & Co., 1876
5. JM McCarthy y GS Soh, Diseño geométrico de vínculos. 2da edición, Springer 2010

Fuentes

• Hardy, E. (1904). Los principios elementales de la estática gráfica. BT Batsford . Consultado el 2 de febrero de 2024 .