Teorema del eje perpendicular

El teorema del eje perpendicular (o teorema de la figura plana ) establece que "El momento de inercia ( I _z ) de un cuerpo laminar alrededor de un eje (z) perpendicular a su plano es la suma de sus momentos de inercia alrededor de dos ejes mutuamente perpendiculares (x e y) en su plano, siendo los tres ejes concurrentes".

Definamos los ejes perpendiculares , , y (que se encuentran en el origen ) de modo que el cuerpo se encuentre en el plano y el eje sea perpendicular al plano del cuerpo. Sean I _x , I _y e I _z los momentos de inercia respecto de los ejes x , y , z respectivamente. Entonces el teorema del eje perpendicular establece que ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle I_{z}=I_{x}+I_{y}}$

Esta regla se puede aplicar con el teorema del eje paralelo y la regla de estiramiento para encontrar momentos polares de inercia para una variedad de formas.

Si un objeto plano tiene simetría rotacional tal que y son iguales, ^[2] entonces el teorema de los ejes perpendiculares proporciona la relación útil: ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle I_{y}}$

${\displaystyle I_{z}=2I_{x}=2I_{y}}$

Derivación

Trabajando en coordenadas cartesianas , el momento de inercia del cuerpo plano respecto al eje viene dado por: ^[3] ${\displaystyle z}$

${\displaystyle I_{z}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm=\int x^{2}\,dm+\int y^{2}\,dm=I_{y}+I_{x}}$

En el plano, , por lo que estos dos términos son los momentos de inercia respecto de los ejes y respectivamente, lo que da como resultado el teorema del eje perpendicular. El inverso de este teorema también se deriva de manera similar. ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Tenga en cuenta que debido a que en , mide la distancia desde el eje de rotación , entonces, para una rotación en el eje y , la distancia de desviación desde el eje de rotación de un punto es igual a su coordenada x . ${\displaystyle \int x^{2}\,dm=I_{y}\neq I_{x}}$ ${\displaystyle \int r^{2}\,dm}$ ${\displaystyle r}$

Referencias

1. Paul A. Tipler (1976). "Cap. 12: Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje fijo". Física . Worth Publishers Inc. ISBN 0-87901-041-X.
2. Obregón, Joaquín (2012). Simetría mecánica. Autor: Casa. ISBN 978-1-4772-3372-6.
3. KF Riley, MP Hobson y SJ Bence (2006). "Cap. 6: Integrales múltiples". Métodos matemáticos para física e ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67971-8.

Véase también

• Teorema de los ejes paralelos
• Regla de estiramiento