Matriz de densidad

Matriz que describe un sistema cuántico en estado puro o mixto.

En mecánica cuántica , una matriz de densidad (u operador de densidad ) es una matriz que describe el estado cuántico de un sistema físico . Permite calcular las probabilidades de los resultados de cualquier medición realizada en este sistema, utilizando la regla de Born . Es una generalización de los vectores de estado o funciones de onda más habituales : mientras que éstos sólo pueden representar estados puros , las matrices de densidad también pueden representar estados mixtos . Los estados mixtos surgen en la mecánica cuántica en dos situaciones diferentes:

1. cuando la preparación del sistema no se conoce completamente, y por lo tanto se debe tratar con un conjunto estadístico de posibles preparaciones, y
2. cuando se quiere describir un sistema físico que está entrelazado con otro, sin describir su estado combinado; Este caso es típico de un sistema que interactúa con algún entorno (por ejemplo, decoherencia ).

Por tanto, las matrices de densidad son herramientas cruciales en áreas de la mecánica cuántica que se ocupan de estados mixtos, como la mecánica estadística cuántica , los sistemas cuánticos abiertos y la información cuántica .

Definición y motivación

La matriz de densidad es una representación de un operador lineal llamado operador de densidad . La matriz de densidad se obtiene del operador de densidad mediante la elección de una base ortonormal en el espacio subyacente. En la práctica, los términos matriz de densidad y operador de densidad suelen utilizarse indistintamente.

Elija una base con estados , en un espacio de Hilbert bidimensional , luego el operador de densidad está representado por la matriz ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

$${\displaystyle (\rho _{ij})=\left({\begin{matrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}p_{0}&\rho _{01}\\\rho _{01}^{*}&p_{1}\end{matrix}}\right)}$$

donde los elementos de la diagonal son números reales que suman uno (también llamados poblaciones de los dos estados , ). Los elementos fuera de la diagonal son conjugados complejos entre sí (también llamados coherencias); su magnitud está restringida por el requisito de que sea un semidefinido positivo , ver más abajo. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle (\rho _{ij})}$

En lenguaje de operadores, un operador de densidad para un sistema es un operador hermitiano semidefinido positivo de traza uno que actúa sobre el espacio de Hilbert del sistema. ^{[1] [2] [3]} Esta definición puede motivarse considerando una situación en la que cada estado puro se prepara con probabilidad , describiendo un conjunto de estados puros. La probabilidad de obtener un resultado de medición proyectiva cuando se utilizan proyectores viene dada por ^{[4] : ​​99} ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$

$${\displaystyle p(m)=\sum _{j}p_{j}\left\langle \psi _{j}\right|\Pi _{m}\left|\psi _{j}\right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|\right)\right],}$$

operador de densidad

$${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|,}$$

teorema espectral^{[5] [4] : ​​102}teorema de Schrödinger-HJW ${\textstyle \sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|}$ ${\displaystyle \left|\psi _{j}\right\rangle }$ ${\displaystyle p_{j}}$

Otra motivación para la definición de operadores de densidad proviene de considerar mediciones locales en estados entrelazados. Sea un estado entrelazado puro en el espacio compuesto de Hilbert . La probabilidad de obtener el resultado de la medición al medir proyectores solo en el espacio de Hilbert viene dada por ^{[4] : ​​107} ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$

$${\displaystyle p(m)=\left\langle \Psi \right|\left(\Pi _{m}\otimes I\right)\left|\Psi \right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\right)\right],}$$

traza parcial ${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$

$${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$$

matriz de densidad reducidateorema de Schrödinger-HJW ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$ ${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }$

Estados puros y mixtos

Un estado cuántico puro es un estado que no puede escribirse como una mezcla probabilística, o combinación convexa , de otros estados cuánticos. ^[3] Hay varias caracterizaciones equivalentes de estados puros en el lenguaje de los operadores de densidad. ^{[6] : 73} Un operador de densidad representa un estado puro si y sólo si:

• se puede escribir como un producto externo de un vector de estado consigo mismo, es decir, ${\displaystyle |\psi \rangle }$
  $${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |.}$$
• es una proyección , en particular de rango uno.
• es idempotente , es decir
  $${\displaystyle \rho =\rho ^{2}.}$$
• tiene pureza , es decir,
  $${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=1.}$$

Es importante enfatizar la diferencia entre una mezcla probabilística de estados cuánticos y su superposición . Si un sistema físico está preparado para estar en estado o , con igual probabilidad, puede describirse mediante el estado mixto ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

donde y se suponen ortogonales y de dimensión 2, por simplicidad. Por otro lado, una superposición cuántica de estos dos estados con amplitudes de probabilidad iguales da como resultado el estado puro con matriz de densidad. ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.}$

A diferencia de la mezcla probabilística, esta superposición puede mostrar interferencia cuántica . ^{[4] : 81}

En la representación de un qubit en la esfera de Bloch , cada punto de la esfera unitaria representa un estado puro. Todas las demás matrices de densidad corresponden a puntos del interior.

Geométricamente, el conjunto de operadores de densidad es un conjunto convexo y los estados puros son los puntos extremos de ese conjunto. El caso más sencillo es el de un espacio de Hilbert bidimensional, conocido como qubit . Un estado mixto arbitrario para un qubit se puede escribir como una combinación lineal de las matrices de Pauli , que junto con la matriz identidad proporcionan una base para las matrices autoadjuntas : ^{[7] : 126} ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

donde los números reales son las coordenadas de un punto dentro de la bola unitaria y ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Los puntos con representan estados puros, mientras que los estados mixtos están representados por puntos en el interior. Esto se conoce como imagen de la esfera de Bloch del espacio de estados de qubit. ${\displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$

Ejemplo: polarización de la luz

La bombilla incandescente  (1) emite fotones polarizados  (2) completamente aleatorios con matriz de densidad de estado mixto:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}}$.

Después de pasar por el polarizador del plano vertical  (3), los fotones restantes están todos polarizados verticalmente  (4) y tienen una matriz de densidad en estado puro:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}}$.

Un ejemplo de estados puros y mixtos es la polarización de la luz . Se puede describir que un fotón individual tiene polarización circular derecha o izquierda , descrita por los estados cuánticos ortogonales o una superposición de los dos: puede estar en cualquier estado (con ), correspondiente a polarización lineal , circular o elíptica . Consideremos ahora un fotón polarizado verticalmente, descrito por el estado . Si lo pasamos por un polarizador circular que permite o solo luz polarizada, o solo luz polarizada, en ambos casos se absorbe la mitad de los fotones. Esto puede hacer que parezca que la mitad de los fotones están en estado y la otra mitad en estado , pero esto no es correcto: si pasamos por un polarizador lineal no hay absorción alguna, pero si pasamos por cualquier estado o la mitad de los fotones son absorbidos. ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ ${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle =(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle (|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$

La luz no polarizada (como la luz de una bombilla incandescente ) no puede describirse como ningún estado de forma (polarización lineal, circular o elíptica). A diferencia de la luz polarizada, pasa a través de un polarizador con una pérdida de intensidad del 50% cualquiera que sea la orientación del polarizador; y no se puede polarizar pasándolo a través de ninguna placa ondulada . Sin embargo, la luz no polarizada puede describirse como un conjunto estadístico, por ejemplo, como cada fotón que tiene polarización o polarización con probabilidad 1/2. El mismo comportamiento ocurriría si cada fotón tuviera polarización vertical u polarización horizontal con probabilidad 1/2. Estos dos conjuntos son completamente indistinguibles experimentalmente y, por lo tanto, se consideran el mismo estado mixto. Para este ejemplo de luz no polarizada, el operador de densidad es igual a ^{[6] : 75} ${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {H} \rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\frac {1}{2}}|\mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

También hay otras formas de generar luz no polarizada: una posibilidad es introducir incertidumbre en la preparación del fotón, por ejemplo, haciéndolo pasar a través de un cristal birrefringente con una superficie rugosa, de modo que partes ligeramente diferentes del haz de luz adquieran polarizaciones diferentes. Otra posibilidad es utilizar estados entrelazados: una desintegración radiactiva puede emitir dos fotones que viajan en direcciones opuestas, en el estado cuántico . El estado conjunto de los dos fotones juntos es puro, pero la matriz de densidad para cada fotón individualmente, encontrada tomando el rastro parcial de la matriz de densidad conjunta, está completamente mezclada. ^{[4] : 106} ${\displaystyle (|\mathrm {R} ,\mathrm {L} \rangle +|\mathrm {L} ,\mathrm {R} \rangle )/{\sqrt {2}}}$

Conjuntos equivalentes y purificaciones.

Un operador de densidad dado no determina de forma única qué conjunto de estados puros le da origen; en general hay infinitos conjuntos diferentes que generan la misma matriz de densidad. ^[8] Estos no pueden distinguirse mediante ninguna medida. ^[9] Los conjuntos equivalentes se pueden caracterizar completamente: sea un conjunto. Entonces, para cualquier matriz compleja tal que (una isometría parcial ), el conjunto definido por ${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$ ${\displaystyle \{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}}$

${\displaystyle {\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle }$

dará lugar al mismo operador de densidad, y todos los conjuntos equivalentes son de esta forma.

Un hecho estrechamente relacionado es que un operador de densidad dado tiene infinitas purificaciones diferentes , que son estados puros que generan el operador de densidad cuando se toma una traza parcial. Dejar

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$

Sea el operador de densidad generado por el conjunto , con estados no necesariamente ortogonales. Entonces para todas las isometrías parciales tenemos que ${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$ ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle }$

es una purificación de , donde es una base ortogonal, y además todas las purificaciones de son de esta forma. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |a_{j}\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$

Medición

Sea un observable del sistema y supongamos que el conjunto está en un estado mixto tal que cada uno de los estados puros ocurre con probabilidad . Entonces el operador de densidad correspondiente es igual ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

El valor esperado de la medición se puede calcular extendiendo del caso de estados puros:

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

donde denota rastro . Así, la expresión familiar para estados puros se reemplaza por ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

para estados mixtos. ^{[6] : 73}

Además, si tiene resolución espectral ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

donde está el operador de proyección en el espacio propio correspondiente al valor propio , el operador de densidad posterior a la medición viene dado por ^{[10] [11]} ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}}$

cuando se obtiene el resultado i . En el caso de que no se conozca el resultado de la medición, el conjunto se describe mediante

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

Si se supone que las probabilidades de los resultados de las mediciones son funciones lineales de los proyectores , entonces deben estar dadas por la traza del proyector con un operador de densidad. El teorema de Gleason muestra que en espacios de Hilbert de dimensión 3 o mayor, el supuesto de linealidad puede reemplazarse por un supuesto de no contextualidad . ^[12] Esta restricción en la dimensión se puede eliminar asumiendo también la no contextualidad para los POVM , ^{[13] [14]} pero esto ha sido criticado por carecer de motivación física. ^[15] ${\displaystyle P_{i}}$

entropía

La entropía de von Neumann de una mezcla se puede expresar en términos de los valores propios de o en términos de la traza y el logaritmo del operador de densidad . Como es un operador semidefinido positivo, tiene una descomposición espectral tal que , donde están los vectores ortonormales, y . Entonces la entropía de un sistema cuántico con matriz de densidad es ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$ ${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

Esta definición implica que la entropía de von Neumann de cualquier estado puro es cero. ^{[16] : 217} Si hay estados que se apoyan en subespacios ortogonales, entonces la entropía de von Neumann de una combinación convexa de estos estados, ${\displaystyle \rho _{i}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

viene dada por las entropías de von Neumann de los estados y la entropía de Shannon de la distribución de probabilidad : ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

Cuando los estados no tienen soportes ortogonales, la suma del lado derecho es estrictamente mayor que la entropía de von Neumann de la combinación convexa . ^{[4] : 518} ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

Dado un operador de densidad y una medida proyectiva como en la sección anterior, el estado definido por la combinación convexa ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

que puede interpretarse como el estado producido al realizar la medición pero sin registrar qué resultado ocurrió, ^{[7] : 159} tiene una entropía de von Neumann mayor que la de , excepto si . Sin embargo, es posible que el producido por una medición generalizada , o POVM , tenga una entropía de von Neumann menor que la . ^{[4] : 514} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho =\rho '}$ ${\displaystyle \rho '}$ ${\displaystyle \rho }$

La ecuación de von Neumann para la evolución del tiempo.

Así como la ecuación de Schrödinger describe cómo evolucionan los estados puros en el tiempo, la ecuación de von Neumann (también conocida como ecuación de Liouville-von Neumann ) describe cómo evoluciona un operador de densidad en el tiempo. La ecuación de von Neumann dicta que ^{[17] [18] [19]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\operatorname {d} \rho }{\operatorname {d} t}}=[H,\rho ]~,}$

donde los corchetes indican un conmutador .

Esta ecuación solo se cumple cuando se considera que el operador de densidad está en la imagen de Schrödinger , aunque a primera vista parece emular la ecuación de movimiento de Heisenberg en la imagen de Heisenberg , con una diferencia de signos crucial:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\operatorname {d} A^{(\mathrm {H} )}}{\operatorname {d} t}}=-\left[H,A^{(\mathrm {H} )}\right]~,}$

¿ Dónde está algún operador de imágenes de Heisenberg ? pero en esta imagen la matriz de densidad no depende del tiempo , y el signo relativo asegura que la derivada temporal del valor esperado sea la misma que en la imagen de Schrödinger . ^[3] ${\displaystyle A^{(\mathrm {H} )}(t)}$ ${\displaystyle \langle A\rangle }$

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la ecuación de von Neumann se puede resolver fácilmente para producir

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

Para un hamiltoniano más general, si es el propagador de la función de onda en algún intervalo, entonces la evolución temporal de la matriz de densidad en ese mismo intervalo viene dada por ${\displaystyle G(t)}$

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

Funciones de Wigner y analogías clásicas.

El operador de matriz de densidad también se puede realizar en el espacio de fase . Bajo el mapa de Wigner , la matriz de densidad se transforma en la función de Wigner equivalente ,

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

La ecuación para la evolución temporal de la función de Wigner, conocida como ecuación de Moyal , es entonces la transformada de Wigner de la ecuación de von Neumann anterior,

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

donde está el hamiltoniano, y es el corchete de Moyal , la transformada del conmutador cuántico . ${\displaystyle H(x,p)}$ ${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$

La ecuación de evolución de la función de Wigner es entonces análoga a la de su límite clásico, la ecuación de Liouville de la física clásica . En el límite de la constante de Planck que desaparece , se reduce a la función de densidad de probabilidad clásica de Liouville en el espacio de fases . ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle W(x,p,t)}$

Aplicaciones de ejemplo

Las matrices de densidad son una herramienta básica de la mecánica cuántica y aparecen, al menos ocasionalmente, en casi cualquier tipo de cálculo de la mecánica cuántica. Algunos ejemplos específicos donde las matrices de densidad son especialmente útiles y comunes son los siguientes:

• La mecánica estadística utiliza matrices de densidad, sobre todo para expresar la idea de que un sistema está preparado a una temperatura distinta de cero. La construcción de una matriz de densidad utilizando un conjunto canónico da un resultado de la forma , donde es la temperatura inversa y es el hamiltoniano del sistema. La condición de normalización de que el rastro de sea igual a 1 define la función de partición como . Si el número de partículas involucradas en el sistema no es seguro en sí mismo, entonces se puede aplicar un gran conjunto canónico , donde los estados sumados para formar la matriz de densidad se extraen de un espacio de Fock . ^{[20] : 174} ${\displaystyle \rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle (k_{\rm {B}}T)^{-1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)}$
• La teoría de la decoherencia cuántica normalmente implica sistemas cuánticos no aislados que desarrollan entrelazamientos con otros sistemas, incluidos los aparatos de medición. Las matrices de densidad facilitan mucho la descripción del proceso y el cálculo de sus consecuencias. La decoherencia cuántica explica por qué un sistema que interactúa con un entorno pasa de ser un estado puro, que exhibe superposiciones, a un estado mixto, una combinación incoherente de alternativas clásicas. Esta transición es fundamentalmente reversible, ya que el estado combinado del sistema y el entorno sigue siendo puro, pero a todos los efectos prácticos es irreversible, ya que el entorno es un sistema cuántico muy grande y complejo, y no es factible revertir su interacción. Por tanto, la decoherencia es muy importante para explicar el límite clásico de la mecánica cuántica, pero no puede explicar el colapso de la función de onda, ya que todas las alternativas clásicas todavía están presentes en el estado mixto, y el colapso de la función de onda selecciona solo una de ellas. ^[21]
• De manera similar, en la computación cuántica , la teoría de la información cuántica , los sistemas cuánticos abiertos y otros campos donde la preparación del estado es ruidosa y puede ocurrir decoherencia, las matrices de densidad se utilizan con frecuencia. El ruido suele modelarse mediante un canal despolarizante o un canal de amortiguación de amplitud . La tomografía cuántica es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de datos que representan los resultados de mediciones cuánticas, se calcula una matriz de densidad consistente con esos resultados de medición. ^{[22] [23]}
• Al analizar un sistema con muchos electrones, como un átomo o una molécula , una primera aproximación imperfecta pero útil es tratar los electrones como no correlacionados o como si cada uno tuviera una función de onda de una sola partícula independiente. Este es el punto de partida habitual al construir el determinante de Slater en el método Hartree-Fock . Si hay electrones que llenan las funciones de onda de una sola partícula , entonces la colección de electrones juntos puede caracterizarse mediante una matriz de densidad . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

C*-formulación algebraica de estados

Actualmente se acepta generalmente que la descripción de la mecánica cuántica en la que todos los operadores autoadjuntos representan observables es insostenible. ^{[24] [25]} Por esta razón, los observables se identifican con elementos de un C*-álgebra abstracta A (es decir, uno sin una representación distinguida como un álgebra de operadores) y los estados son funcionales lineales positivos en A. Sin embargo, al utilizar la construcción GNS , podemos recuperar espacios de Hilbert que realizan A como una subálgebra de operadores.

Geométricamente, un estado puro en un álgebra C* A es un estado que es un punto extremo del conjunto de todos los estados en A. Por propiedades de la construcción GNS , estos estados corresponden a representaciones irreducibles de A.

Los estados del álgebra C* de los operadores compactos K ( H ) corresponden exactamente a los operadores de densidad y, por lo tanto, los estados puros de K ( H ) son exactamente los estados puros en el sentido de la mecánica cuántica.

Se puede considerar que la formulación algebraica C* incluye sistemas tanto clásicos como cuánticos. Cuando el sistema es clásico, el álgebra de observables se convierte en un álgebra C* abeliana. En ese caso los estados se convierten en medidas de probabilidad.

Historia

El formalismo de operadores de densidad y matrices fue introducido en 1927 por John von Neumann ^[26] e independientemente, pero menos sistemáticamente, por Lev Landau ^[27] y más tarde en 1946 por Felix Bloch . ^[28] Von Neumann introdujo la matriz de densidad para desarrollar tanto la mecánica estadística cuántica como una teoría de las mediciones cuánticas. El nombre de matriz de densidad en sí se relaciona con su correspondencia clásica con una medida de probabilidad del espacio de fase (distribución de probabilidad de posición y momento) en la mecánica estadística clásica , que fue introducida por Wigner en 1932. ^[1]

Por el contrario, la motivación que inspiró a Landau fue la imposibilidad de describir un subsistema de un sistema cuántico compuesto mediante un vector de estados. ^[27]

Ver también

• Transición de electrones atómicos
• Teoría funcional de la densidad
• Relaciones Verde-Kubo
• Función de Green (teoría de muchos cuerpos)
• ecuación de Lindblad
• Distribución de cuasi probabilidad de Wigner

notas y referencias

1. Fano, U. (1957). "Descripción de estados en mecánica cuántica mediante matriz de densidad y técnicas de operador". Reseñas de Física Moderna . 29 (1): 74–93. Código bibliográfico : 1957RvMP...29...74F. doi :10.1103/RevModPhys.29.74.
2. Holevo, Alexander S. (2001). Estructura estadística de la teoría cuántica . Apuntes de conferencias de física. Saltador. ISBN 3-540-42082-7. OCLC  318268606.
3. Hall, Brian C. (2013). "Sistemas y Subsistemas, Múltiples Partículas". Teoría cuántica para matemáticos . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 267, págs. 419–440. doi :10.1007/978-1-4614-7116-5_19. ISBN 978-1-4614-7115-8.
4. , Michael; Chuang, Isaac (2000), Computación cuántica e información cuántica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63503-5.
5. Davidson, Ernest Roy (1976). Matrices de densidad reducida en química cuántica . Prensa académica , Londres.
6. Peres, Asher (1995). Teoría cuántica: conceptos y métodos . Kluwer. ISBN 978-0-7923-3632-7. OCLC  901395752.
7. Wilde, Mark M. (2017). Teoría de la información cuántica (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. arXiv : 1106.1445 . doi :10.1017/9781316809976.001. ISBN 978-1-107-17616-4. OCLC  973404322. S2CID  2515538.
8. Kirkpatrick, KA (febrero de 2006). "El teorema de Schrödinger-HJW". Fundamentos de Letras de Física . 19 (1): 95-102. arXiv : quant-ph/0305068 . Código Bib : 2006FoPhL..19...95K. doi :10.1007/s10702-006-1852-1. ISSN  0894-9875. S2CID  15995449.
9. Ochs, Wilhelm (1 de noviembre de 1981). "Algunos comentarios sobre el concepto de estado en mecánica cuántica". Erkenntnis . 16 (3): 339–356. doi :10.1007/BF00211375. ISSN  1572-8420. S2CID  119980948.
10. Lüders, Gerhart (1950). "Über die Zustandsänderung durch den Messprozeß". Annalen der Physik . 443 (5–8): 322. Bibcode : 1950AnP...443..322L. doi : 10.1002/andp.19504430510.Traducido por KA Kirkpatrick como Lüders, Gerhart (3 de abril de 2006). "Sobre el cambio de estado debido al proceso de medición". Annalen der Physik . 15 (9): 663–670. arXiv : quant-ph/0403007 . Código Bib : 2006AnP...518..663L. doi : 10.1002/andp.200610207. S2CID  119103479.
11. Busch, Pablo ; Lahti, Pekka (2009), Greenberger, Daniel; Hentschel, Klaus; Weinert, Friedel (eds.), "Lüders Rule", Compendio de física cuántica , Springer Berlin Heidelberg, págs. 356–358, doi :10.1007/978-3-540-70626-7_110, ISBN 978-3-540-70622-9
12. Gleason, Andrew M. (1957). "Medidas sobre los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert". Revista de Matemáticas de la Universidad de Indiana . 6 (4): 885–893. doi : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . SEÑOR  0096113.
13. Busch, Paul (2003). "Estados cuánticos y observables generalizados: una prueba simple del teorema de Gleason". Cartas de revisión física . 91 (12): 120403. arXiv : quant-ph/9909073 . Código bibliográfico : 2003PhRvL..91l0403B. doi :10.1103/PhysRevLett.91.120403. PMID  14525351. S2CID  2168715.
14. Cuevas, Carlton M .; Fuchs, Christopher A.; Manne, Kiran K.; Renés, Joseph M. (2004). "Derivaciones de tipo Gleason de la regla de probabilidad cuántica para medidas generalizadas". Fundamentos de la Física . 34 (2): 193–209. arXiv : quant-ph/0306179 . Código bibliográfico : 2004FoPh...34..193C. doi :10.1023/B:FOOP.0000019581.00318.a5. S2CID  18132256.
15. Andrzej Grudka; Paweł Kurzyński (2008). "¿Existe contextualidad para un solo Qubit?". Cartas de revisión física . 100 (16): 160401. arXiv : 0705.0181 . Código bibliográfico : 2008PhRvL.100p0401G. doi :10.1103/PhysRevLett.100.160401. PMID  18518167. S2CID  13251108.
16. Rieffel, Eleanor G .; Polak, Wolfgang H. (4 de marzo de 2011). Computación cuántica: una suave introducción . Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-01506-6.
17. Breuer, Heinz; Petruccione, Francesco (2002), La teoría de los sistemas cuánticos abiertos, Oxford University Press, p. 110, ISBN 978-0-19-852063-4
18. Schwabl, Franz (2002), Mecánica estadística, Springer, p. 16, ISBN 978-3-540-43163-3
19. Müller-Kirsten, Harald JW (2008), Mecánica clásica y relatividad , World Scientific, págs. 175-179, ISBN 978-981-283-251-1
20. Kardar, Mehran (2007). Física Estadística de Partículas . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-87342-0. OCLC  860391091.
21. Schlosshauer, M. (2019). "Decoherencia cuántica". Informes de Física . 831 : 1–57. arXiv : 1911.06282 . Código Bib : 2019PhR...831....1S. doi :10.1016/j.physrep.2019.10.001. S2CID  208006050.
22. Granada, Christopher; Combes, Josué; Cory, director general (1 de enero de 2016). "Tomografía bayesiana práctica". Nueva Revista de Física . 18 (3): 033024. arXiv : 1509.03770 . Código Bib : 2016NJPh...18c3024G. doi :10.1088/1367-2630/18/3/033024. ISSN  1367-2630. S2CID  88521187.
23. Ardila, Luis; Hola, Markus; Eckardt, André (28 de diciembre de 2018). "Medición de la matriz de densidad de una sola partícula para fermiones y bosones de núcleo duro en una red óptica". Cartas de revisión física . 121 (260401): 6. arXiv : 1806.08171 . Código bibliográfico : 2018PhRvL.121z0401P. doi :10.1103/PhysRevLett.121.260401. PMID  30636128. S2CID  51684413.
24. Véase el apéndice, Mackey, George Whitelaw (1963), Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , Dover Books on Mathematics, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43517-6
25. Emch, Gerard G. (1972), Métodos algebraicos en mecánica estadística y teoría cuántica de campos , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-23900-0
26. von Neumann, John (1927), "Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik", Göttinger Nachrichten , 1 : 245–272
27. "El problema de la amortiguación en la mecánica ondulatoria (1927)". Documentos recopilados de LD Landau . 1965, págs. 8-18. doi :10.1016/B978-0-08-010586-4.50007-9. ISBN 978-0-08-010586-4.
28. Fano, Ugo (1995). "Matrices de densidad como vectores de polarización". Rendiconti Lincei . 6 (2): 123-130. doi :10.1007/BF03001661. S2CID  128081459.