povm

Medición generalizada en mecánica cuántica.

En análisis funcional y ciencia de la información cuántica , una medida positiva valorada por el operador ( POVM ) es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert . Los POVM son una generalización de las medidas valoradas en proyección (PVM) y, en consecuencia, las mediciones cuánticas descritas por los POVM son una generalización de las medidas cuánticas descritas por los PVM (llamadas mediciones proyectivas).

En una analogía aproximada, un POVM es para un PVM lo que un estado mixto es para un estado puro . Se necesitan estados mixtos para especificar el estado de un subsistema de un sistema más grande (ver purificación del estado cuántico ); De manera análoga, los POVM son necesarios para describir el efecto en un subsistema de una medición proyectiva realizada en un sistema más grande.

Los POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también pueden usarse en teoría cuántica de campos . ^[1] Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica .

Definición

Denotemos un espacio de Hilbert y un espacio medible con un álgebra σ de Borel en . Un POVM es una función definida en cuyos valores hay operadores autoadjuntos acotados positivos de modo que para cada y ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle (X,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle E\in M}$

${\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle ,}$

es una medida aditiva contable no negativa en el σ-álgebra y es el operador de identidad . ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}}$

En el caso más simple, un POVM es un conjunto de matrices hermitianas semidefinidas positivas en un espacio de Hilbert de dimensión finita que suman la matriz identidad , ^{[3] : 90} ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

Un POVM se diferencia de una medida con valores de proyección en que, para las medidas con valores de proyección, se requiere que los valores de sean proyecciones ortogonales . ${\displaystyle F}$

En mecánica cuántica , la propiedad clave de un POVM es que determina una medida de probabilidad en el espacio de resultados, por lo que puede interpretarse como la probabilidad (densidad) de un resultado al medir un estado cuántico . Es decir, el elemento POVM está asociado al resultado de la medición , de modo que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición cuántica en el estado cuántico viene dada por ${\displaystyle \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

¿Dónde está el operador de seguimiento ? Cuando el estado cuántico que se mide es un estado puro, esta fórmula se reduce a ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

El caso más simple de un POVM generaliza el caso más simple de un PVM, que es un conjunto de proyectores ortogonales que suman la matriz identidad : ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.}$

Las fórmulas de probabilidad para un PVM son las mismas que para el POVM. Una diferencia importante es que los elementos de un POVM no son necesariamente ortogonales. Como consecuencia, el número de elementos del POVM puede ser mayor que la dimensión del espacio de Hilbert en el que actúan. Por otro lado, el número de elementos del PVM es como máximo la dimensión del espacio de Hilbert. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$

Teorema de dilatación de Naimark

Nota: una ortografía alternativa de esto es "Teorema de Neumark".

El teorema de dilatación de Naimark ^[4] muestra cómo se pueden obtener POVM a partir de PVM que actúan en un espacio más grande. Este resultado es de importancia crítica en la mecánica cuántica, ya que proporciona una manera de realizar físicamente mediciones POVM. ^{[5] : 285}

En el caso más simple, de un POVM con un número finito de elementos que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita, el teorema de Naimark dice que si un POVM actúa sobre un espacio de dimensión de Hilbert , entonces existe un PVM que actúa sobre un espacio de Hilbert de dimensión y una isometría tal que para todos , ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle d_{A'}}$ ${\displaystyle V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V.}$

Para el caso particular de un POVM de rango 1, es decir, cuando para algunos vectores (no normalizados) , esta isometría se puede construir como ^{[5] : 285} ${\displaystyle F_{i}=|f_{i}\rangle \langle f_{i}|}$ ${\displaystyle |f_{i}\rangle }$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}|i\rangle _{A'}\langle f_{i}|_{A}}$

y el PVM viene dado simplemente por . Tenga en cuenta que aquí . ${\displaystyle \Pi _{i}=|i\rangle \langle i|_{A'}}$ ${\displaystyle d_{A'}=n}$

En el caso general, la isometría y el PVM se pueden construir definiendo ^{[6] [7]} , y ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$ ${\displaystyle \Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}}$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}.}$

Tenga en cuenta que aquí , por lo que esta es una construcción más derrochadora. ${\displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$

En cualquier caso, la probabilidad de obtener un resultado con este PVM, y el estado adecuadamente transformado por la isometría, es la misma que la probabilidad de obtenerlo con el POVM original: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}\right)=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}V\right)=\operatorname {tr} (\rho _{A}F_{i})}$

Esta construcción se puede convertir en una receta para una realización física del POVM extendiendo la isometría a un unitario , es decir, encontrando tal que ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle V|i\rangle _{A}=U|i\rangle _{A'}}$

para del 1 al . Esto siempre se puede hacer. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d_{A}}$

La receta para realizar el POVM descrito por en un estado cuántico es entonces incrustar el estado cuántico en el espacio de Hilbert , evolucionarlo con el unitario y realizar la medición proyectiva descrita por el PVM . ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$

Estado posterior a la medición

El estado posterior a la medición no lo determina el POVM en sí, sino el PVM que lo realiza físicamente. Dado que hay infinitos PVM diferentes que realizan el mismo POVM, los operadores por sí solos no determinan cuál será el estado posterior a la medición. Para ver eso, tenga en cuenta que para cualquier unitario los operadores ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle M_{i}=W{\sqrt {F_{i}}}}$

también tendrá la propiedad de que , de modo que usando la isometría ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$

${\displaystyle V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}}$

en la segunda construcción anterior también implementaremos el mismo POVM. En el caso de que el estado que se está midiendo sea en estado puro , el unitario resultante lo toma junto con el ancilla para estado ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle U_{W}}$

${\displaystyle U_{W}(|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B})=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|\psi \rangle _{A}|i\rangle _{B},}$

y la medida proyectiva en la ancilla colapsará al estado ^{[3] : 84} ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$

${\displaystyle |\psi '\rangle _{A}={\frac {M_{i_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{0}}|\psi \rangle }}}}$

en la obtención del resultado . Cuando el estado que se está midiendo se describe mediante una matriz de densidad , el estado posterior a la medición correspondiente viene dado por ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{A}}$

${\displaystyle \rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$.

Vemos por tanto que el estado posterior a la medición depende explícitamente del unitario . Tenga en cuenta que while siempre es hermitiano, por lo general, no tiene por qué ser hermitiano. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Otra diferencia con las mediciones proyectivas es que, en general, una medición POVM no es repetible. Si en la primera medición se obtuvo el resultado, la probabilidad de obtener un resultado diferente en una segunda medición es ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle i_{1}}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i_{1}|i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$,

que puede ser distinto de cero si y no son ortogonales. En una medición proyectiva estos operadores son siempre ortogonales y por tanto la medición siempre es repetible. ${\displaystyle M_{i_{0}}}$ ${\displaystyle M_{i_{1}}}$

Un ejemplo: discriminación inequívoca de estados cuánticos

Representación de estados en la esfera de Bloch (en azul) y POVM óptimo (en rojo) para una discriminación inequívoca de estados cuánticos en los estados y . Tenga en cuenta que en la esfera de Bloch los estados ortogonales son antiparalelos. ${\displaystyle |\psi \rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )}$

Suponga que tiene un sistema cuántico con un espacio de Hilbert bidimensional que sabe que está en el estado o en el estado y desea determinar cuál es. Si y son ortogonales, esta tarea es fácil: el conjunto formará un PVM, y una medición proyectiva sobre esta base determinará el estado con certeza. Sin embargo, si y no son ortogonales, esta tarea es imposible , en el sentido de que no existe ninguna medida, ya sea PVM o POVM, que los distinga con certeza. ^{[3] : 87} La imposibilidad de discriminar perfectamente entre estados no ortogonales es la base de los protocolos de información cuántica como la criptografía cuántica , el lanzamiento de monedas cuánticas y el dinero cuántico . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

La tarea de la discriminación inequívoca del estado cuántico (UQSD) es la siguiente mejor opción: nunca cometer un error sobre si el estado es o , a costa de tener a veces un resultado no concluyente. Es posible hacer esto con mediciones proyectivas. ^[8] Por ejemplo, si mides el PVM , dónde es el estado cuántico ortogonal a y obtienes el resultado , entonces sabes con certeza que el estado era . Si el resultado fue , entonces no es concluyente. El razonamiento análogo es válido para el PVM , donde es el estado ortogonal a . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|\}}$ ${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$ ${\displaystyle \{|\varphi \rangle \langle \varphi |,|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|\}}$ ${\displaystyle |\varphi ^{\perp }\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Sin embargo, esto no es satisfactorio, ya que no se pueden detectar ambos y con una sola medición, y la probabilidad de obtener un resultado concluyente es menor que con los POVM. El POVM que da la mayor probabilidad de un resultado concluyente en esta tarea viene dado por ^{[8] [9]} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }={\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,}$

dónde

${\displaystyle |\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).}$

Tenga en cuenta que , cuando se obtiene el resultado, estamos seguros de que el estado cuántico lo es , y cuando se obtiene el resultado, estamos seguros de que el estado cuántico lo es . ${\displaystyle \operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

La probabilidad de tener un resultado concluyente está dada por

${\displaystyle 1-|\langle \varphi |\psi \rangle |,}$

cuando el sistema cuántico está en estado o con la misma probabilidad. Este resultado se conoce como límite de Ivanović-Dieks-Peres, en honor a los autores pioneros de la investigación de la UQSD. ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Dado que los POVM son de rango 1, podemos usar el caso simple de la construcción anterior para obtener una medición proyectiva que realice físicamente este POVM. Al etiquetar los tres posibles estados del espacio de Hilbert ampliado como , y , vemos que el unitario resultante lleva el estado a ${\displaystyle |{\text{result ψ}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{result φ}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{result ?}}\rangle }$ ${\displaystyle U_{\text{UQSD}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\psi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle ,}$

y de manera similar se necesita que el estado ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\varphi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle .}$

Luego, una medición proyectiva proporciona los resultados deseados con las mismas probabilidades que el POVM.

Este POVM se ha utilizado para distinguir experimentalmente estados de polarización no ortogonales de un fotón. La realización del POVM con una medición proyectiva fue ligeramente diferente a la aquí descrita. ^{[13] [14]}

Ver también

• SIC-POVM
• Medición cuántica
• Formulación matemática de la mecánica cuántica.
• Matriz de densidad
• Operación cuántica
• Medida valorada en proyección
• Medida vectorial

Referencias

1. Peres, Aser ; Terno, Daniel R. (2004). "Información cuántica y teoría de la relatividad". Reseñas de Física Moderna . 76 (1): 93-123. arXiv : quant-ph/0212023 . Código Bib : 2004RvMP...76...93P. doi :10.1103/RevModPhys.76.93. S2CID  7481797.
2. Davies, Edward Brian (1976). Teoría cuántica de sistemas abiertos . Londres: Acad. Prensa. pag. 35.ISBN​ 978-0-12-206150-9.
3. M. Nielsen e I. Chuang, Computación cuántica e información cuántica, Cambridge University Press, (2000)
4. IM Gelfand y MA Neumark, Sobre la incorporación de anillos normados en el anillo de operadores en el espacio de Hilbert, Rec. Matemáticas. [Estera. Sbornik] NS 12(54) (1943), 197–213.
5. A. Peres. Teoría cuántica: conceptos y métodos. Editores académicos de Kluwer, 1993.
6. J. Preskill, Apuntes de conferencias sobre física: información y computación cuánticas, Capítulo 3, http://theory.caltech.edu/~preskill/ph229/index.html
7. J. Watrous. La teoría de la información cuántica. Cambridge University Press, 2018. Capítulo 2.3, https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/
8. JA Bergou; U. Herzog; M. Hilléry (2004). "Discriminación de estados cuánticos". En M. París; J. Řeháček (eds.). Estimación del estado cuántico . Saltador. págs. 417–465. doi :10.1007/978-3-540-44481-7_11. ISBN 978-3-540-44481-7.
9. Chefles, Anthony (2000). "Discriminación estatal cuántica". Física Contemporánea . 41 (6). Informa Reino Unido limitado: 401–424. arXiv : quant-ph/0010114v1 . Código Bib : 2000ConPh..41..401C. doi :10.1080/00107510010002599. ISSN  0010-7514. S2CID  119340381.
10. Ivanovic, identificación (1987). "Cómo diferenciar entre estados no ortogonales". Letras de Física A. 123 (6). Elsevier BV: 257–259. Código bibliográfico : 1987PhLA..123..257I. doi :10.1016/0375-9601(87)90222-2. ISSN  0375-9601.
11. Dieks, D. (1988). "Superposición y distinguibilidad de estados cuánticos". Letras de Física A. 126 (5–6). Elsevier BV: 303–306. Código bibliográfico : 1988PhLA..126..303D. doi :10.1016/0375-9601(88)90840-7. ISSN  0375-9601.
12. Peres, Asher (1988). "Cómo diferenciar entre estados no ortogonales". Letras de Física A. 128 (1–2). Elsevier BV: 19. Código bibliográfico : 1988PhLA..128...19P. doi :10.1016/0375-9601(88)91034-1. ISSN  0375-9601.
13. B. Huttner; A. Müller; JD Gautier; H. Zbinden; N. Gisin (1996). "Medición cuántica inequívoca de estados no ortogonales". Revisión física A. 54 (5). APS: 3783–3789. Código bibliográfico : 1996PhRvA..54.3783H. doi :10.1103/PhysRevA.54.3783. PMID  9913923.
14. RBM Clarke; A. Chefles; SM Barnett; E. Riis (2001). "Demostración experimental de discriminación estatal óptima e inequívoca". Revisión física A. 63 (4). APS: 040305(R). arXiv : quant-ph/0007063 . Código bibliográfico : 2001PhRvA..63d0305C. doi : 10.1103/PhysRevA.63.040305. S2CID  39481893.

• POVM
  • K. Kraus, Estados, efectos y operaciones, Lecture Notes in Physics 190, Springer (1983).
  • AS Holevo , Aspectos probabilísticos y estadísticos de la teoría cuántica, Publ. de Holanda Septentrional. Cy., Ámsterdam (1982).

enlaces externos

• Demostración interactiva sobre la discriminación de estados cuánticos.