Teorema de Schrödinger-HJW

Concepto en la teoría de la información cuántica.

En teoría de la información cuántica y óptica cuántica , el teorema de Schrödinger-HJW es un resultado sobre la realización de un estado mixto de un sistema cuántico como un conjunto de estados cuánticos puros y la relación entre las correspondientes purificaciones de los operadores de densidad . El teorema lleva el nombre de los físicos y matemáticos Erwin Schrödinger , ^[1] Lane P. Hughston , Richard Jozsa y William Wootters . ^[2] El resultado también fue encontrado de forma independiente (aunque parcialmente) por Nicolas Gisin , ^[3] y por Nicolas Hadjisavvas basándose en el trabajo de Ed Jaynes , ^{[4] [5]} mientras que una parte significativa del mismo también fue descubierta de forma independiente por N. David Mermín . ^[6] Gracias a su complicada historia, también se le conoce con otros nombres, como teorema GHJW , ^[7] teorema HJW y teorema de purificación .

Purificación de un estado cuántico mixto.

Sea un espacio de Hilbert complejo de dimensión finita y considere un estado cuántico genérico (posiblemente mixto ) definido y admitiendo una descomposición de la forma ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$

$${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$$

^[8] ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle p_{i}\geq 0}$ ${\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}$ ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}_{i}}$ ${\displaystyle \{p_{i}\}_{i}}$

Cualquiera de estos puede ser purificado , es decir, representado como la traza parcial de un estado puro definido en un espacio de Hilbert más grande. Más precisamente, siempre es posible encontrar un espacio de Hilbert (de dimensión finita) y un estado puro tal que . Además, los estados que satisfacen esto son todos y sólo aquellos de la forma ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle \rho =\operatorname {Tr} _{A}{\big (}|\Psi _{SA}\rangle \langle \Psi _{SA}|{\big )}}$ ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle }$

$${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle }$$

^[9] ${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}_{i}\subset {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle ,|\Psi '\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle U:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}}$

$${\displaystyle |\Psi '\rangle =(I\otimes U)|\Psi \rangle .}$$

Teorema

Considere un estado cuántico mixto con dos realizaciones diferentes como conjunto de estados puros como y . Aquí no se supone que ambos y sean mutuamente ortogonales. Habrá dos purificaciones correspondientes de la lectura del estado mixto de la siguiente manera: ${\displaystyle \rho }$ ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$ ${\textstyle \rho =\sum _{j}q_{j}|\varphi _{j}\rangle \langle \varphi _{j}|}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$

Purificación 1: ; ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle }$

Purificación 2: . ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes |b_{j}\rangle }$

Los conjuntos y son dos colecciones de bases ortonormales de los respectivos espacios auxiliares. Estas dos purificaciones sólo se diferencian por una transformación unitaria que actúa sobre el espacio auxiliar, es decir, existe una matriz unitaria tal que . ^[10] Por lo tanto , lo que significa que podemos realizar los diferentes conjuntos de un estado mixto simplemente haciendo diferentes mediciones en el sistema de purificación. ${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|b_{j}\rangle \}}$ ${\displaystyle U_{A}}$ ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =(I\otimes U_{A})|\Psi _{SA}^{2}\rangle }$ ${\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$

Referencias

1. Schrödinger, Erwin (1936). "Relaciones de probabilidad entre sistemas separados". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 32 (3): 446–452. Código Bib : 1936PCPS...32..446S. doi :10.1017/S0305004100019137.
2. Hughston, carril P.; Jozsa, Richard; Wootters, William K. (noviembre de 1993). "Una clasificación completa de conjuntos cuánticos que tienen una matriz de densidad determinada". Letras de Física A. 183 (1): 14-18. Código bibliográfico : 1993PhLA..183...14H. doi :10.1016/0375-9601(93)90880-9. ISSN  0375-9601.
3. Gisin, N. (1989). “Dinámica cuántica estocástica y relatividad”, Helvetica Physica Acta 62, 363–371.
4. Hadjisavvas, Nicolas (1981). "Propiedades de mezclas en estados no ortogonales". Letras en Física Matemática . 5 (4): 327–332. Código bibliográfico : 1981LMaPh...5..327H. doi :10.1007/BF00401481.
5. Jaynes, et (1957). "Teoría de la información y mecánica estadística. II". Revisión física . 108 (2): 171-190. Código bibliográfico : 1957PhRv..108..171J. doi : 10.1103/PhysRev.108.171.
6. Fuchs, Christopher A. (2011). Mayoría de edad con información cuántica: notas sobre una idea paulina . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-19926-1. OCLC  535491156.
7. Mermín, N. David (1999). "¿Qué saben estas correlaciones sobre la realidad? La no localidad y lo absurdo". Fundamentos de la Física . 29 (4): 571–587. arXiv : quant-ph/9807055 . Código Bib : 1998quant.ph..7055M. doi :10.1023/A:1018864225930.
8. Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L., "La descomposición y purificaciones de Schmidt", Computación cuántica e información cuántica , Cambridge: Cambridge University Press, págs. 110-111.
9. Watrous, John (2018). La teoría de la información cuántica. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/9781316848142. ISBN 978-1-107-18056-7.
10. Kirkpatrick, KA (febrero de 2006). "El teorema de Schrödinger-HJW". Fundamentos de Letras de Física . 19 (1): 95-102. arXiv : quant-ph/0305068 . Código Bib : 2006FoPhL..19...95K. doi :10.1007/s10702-006-1852-1. ISSN  0894-9875.