Canal de amortiguación de amplitud

En la teoría de la comunicación cuántica , un canal de amortiguación de amplitud es un canal cuántico que modela procesos físicos como la emisión espontánea . Un proceso natural mediante el cual puede ocurrir este canal es una cadena de espín a través de la cual se pueden usar varios estados de espín, acoplados por un hamiltoniano independiente del tiempo, para enviar un estado cuántico de un lugar a otro. El canal cuántico resultante termina siendo idéntico a un canal de amortiguación de amplitud, para lo cual se puede evaluar la capacidad cuántica , la capacidad clásica y la capacidad clásica asistida por entrelazamiento del canal cuántico.

Canal Qubit

Consideramos aquí el canal de amortiguación de amplitud en el caso de un solo qubit.

Cualquier canal cuántico se puede definir de varias formas equivalentes. Por ejemplo, mediante el teorema de dilatación de Stinespring , un canal se puede representar mediante una isometría como , y decimos en este caso que es la representación de Stinespring . ^[1] En particular, el canal de amortiguación de amplitud de un solo qubit tiene una representación de Stinespring dada por ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\rho )=\operatorname {tr} _{2}[V\rho V^{\dagger }]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle V|0\rangle =|0,0\rangle ,\qquad V|1\rangle ={\sqrt {1-p}}|0,1\rangle +{\sqrt {p}}|1,0\rangle .}$$

$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\rho )=\sum _{j}K_{j}\rho K_{j}^{\dagger }}$$

${\displaystyle K_{j}}$ ${\displaystyle \sum _{j}K_{j}^{\dagger }K_{j}=I}$

$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\rho )=K_{0}\rho K_{0}^{\dagger }+K_{1}\rho K_{1}^{\dagger }}$$

$${\displaystyle K_{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {1-p}}\end{pmatrix}},\qquad K_{1}={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {p}}\\0&0\end{pmatrix}}\;.}$$

${\displaystyle {\cal {N}}_{p}\left[{\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}\rho _{00}+p\rho _{11}&{\sqrt {1-p}}\rho _{01}\\{\sqrt {1-p}}\rho _{10}&(1-p)\rho _{11}\end{pmatrix}}\;.}$

Modelo para un canal cuántico de cadena de giro

La construcción principal del canal cuántico basada en correlaciones de cadenas de espín es tener una colección de N espines acoplados. A cada lado del canal cuántico, hay dos grupos de espines y nos referimos a ellos como registros cuánticos, A y B. Un mensaje se envía haciendo que el remitente codifique cierta información en el registro A, y luego, después de dejar que se propaga durante un tiempo t, y el receptor luego lo recupera de B. El estado se prepara en A desacoplando primero los espines de A de los del resto de la cadena. Después de la preparación, se le permite interactuar con el estado en el resto de la cadena, que inicialmente tiene el estado . El estado de la cadena de giro a medida que pasa el tiempo se puede describir mediante . A partir de esta relación podemos obtener el estado de los espines que pertenecen al registro B rastreando todos los demás estados de la cadena. ${\displaystyle \rho _{A}}$ ${\displaystyle \rho _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle R(t)=U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)}$

${\displaystyle \rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]}$

Esto proporciona el siguiente mapeo, que describe cómo el estado en A se transforma en función del tiempo a medida que se transmite a través del canal cuántico a B. U(t) es simplemente una matriz unitaria que describe la evolución del sistema en función de tiempo.

${\displaystyle \rho _{A}\rightarrow {\mathcal {M}}(\rho _{A})\equiv \rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]}$

Sin embargo, existen algunos problemas con esta descripción del canal cuántico. Uno de los supuestos involucrados en el uso de dicho canal es que esperamos que los estados de la cadena no se alteren. Si bien es posible codificar un estado en A sin alterar la cadena, una lectura del estado de B influirá en los estados del resto de la cadena de espín. Por tanto, cualquier manipulación repetida de los registros A y B tendrá un impacto desconocido en el canal cuántico. Ante este hecho, resolver las capacidades de este mapeo no sería de utilidad general, ya que sólo se aplicará cuando varias copias de la cadena estén operando en paralelo. Para calcular valores significativos para estas capacidades, el modelo simple siguiente permite resolver las capacidades exactamente.

Modelo solucionable

Se utiliza una cadena de espín, que está compuesta por una cadena de partículas con espín 1/2 acopladas mediante una interacción ferromagnética de Heisenberg, y está descrita por el hamiltoniano : ${\displaystyle H=-\sum _{\langle i,j\rangle }\hbar J_{ij}\left({\sigma }_{x}^{i}{\sigma }_{x}^{j}+{\sigma }_{y}^{i}{\sigma }_{y}^{j}+\gamma {\sigma }_{z}^{i}{\sigma }_{z}^{j}\right)-\sum _{i=1}^{N}\hbar B_{i}\sigma _{z}^{i}}$

Se supone que el registro de entrada A y el registro de salida B ocupan el primer k y el último k giros a lo largo de la cadena, y que todos los giros a lo largo de la cadena están preparados para estar en el estado de giro hacia abajo en la dirección z. Luego, las partes usan todos los k de sus estados de giro para codificar/decodificar un solo qubit . La motivación de este método es que si se permitiera utilizar todos los k giros, tendríamos un canal de k-qubit, que sería demasiado complejo para analizarlo por completo. Claramente, un canal más eficaz haría uso de todos los k giros, pero al utilizar este método ineficiente, es posible observar analíticamente los mapas resultantes.

Para realizar la codificación de un solo bit utilizando los k bits disponibles , se define un vector de un giro hacia arriba , en el que todos los giros están en estado de giro hacia abajo excepto el j-ésimo, que está en estado de giro hacia arriba. ${\displaystyle |j\rangle }$

${\displaystyle |{j}\rangle \equiv \left|\downarrow \downarrow \cdots \downarrow \uparrow \downarrow \cdots \downarrow \right\rangle }$

El remitente prepara su conjunto de k giros de entrada como:

${\displaystyle |\Psi \rangle _{A}\equiv \alpha \left|\Downarrow \right\rangle _{A}+\beta |\phi _{1}\rangle _{A}}$

donde es el estado donde todas las posiciones tienen un giro hacia abajo y es la superposición de todos los estados posibles de un giro hacia arriba. Utilizando esta entrada, es posible encontrar un estado que describa toda la cadena en un momento dado t. A partir de tal estado, trazando los Nk espines que no pertenecen al receptor, como habríamos hecho con el modelo anterior, se deja el estado en B: ${\displaystyle \left|\Downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle }$

${\displaystyle \rho _{B}(t)=(|\alpha |^{2}+(1-\eta )|\beta |^{2})\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|+\eta |\beta |^{2}|\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha \beta ^{*}\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha ^{*}\beta |\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|}$

donde es una constante que define la eficiencia del canal. Si representamos los estados en los que un espín está por estar y aquellos en los que todos los espines están por estar , esto se vuelve reconocible como el resultado de aplicar el canal de amortiguación de amplitud , caracterizado por los siguientes operadores de Kraus : ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}}$

${\displaystyle A_{0}=|0\rangle \langle 0|+{\sqrt {\eta }}|1\rangle \langle 1|}$; ${\displaystyle A_{1}={\sqrt {1-\eta }}|0\rangle \langle 1|}$

Evidentemente, el hecho de que un canal de amortiguación de amplitud describa la transmisión de estados cuánticos a través de la cadena de espín se debe al hecho de que el hamiltoniano del sistema conserva energía . Si bien la energía se puede distribuir a medida que el estado de un giro hacia arriba se transfiere a lo largo de la cadena, no es posible que los giros en el estado hacia abajo ganen energía repentinamente y se conviertan en estados de giro hacia arriba.

Capacidades del canal de amortiguación de amplitud

Al describir la cadena de espín como un canal de amortiguación de amplitud, es posible calcular las diversas capacidades asociadas con el canal. Una propiedad útil de este canal, que se utiliza para encontrar estas capacidades, es el hecho de que se pueden concatenar dos canales de amortiguación de amplitud con eficiencias . Esta concatenación ofrece un nuevo canal de eficiencia . ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta '}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta '}$

Capacidad cuántica

Para calcular la capacidad cuántica , el mapa se representa de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\eta }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\equiv {\mbox{Tr}}_{C}[V\left(\rho \otimes |0\rangle _{C}\langle 0|\right)V^{\dagger }]\;.}$

Esta representación del mapa se obtiene añadiendo un espacio de Hilbert auxiliar al de . e introduciendo un operador V que opera sobre A y C. También se define un canal complementario , donde en lugar de trazar sobre C, trazamos sobre A. Se define una operación de intercambio S que transforma A en C. Utilizando esta operación, así como la regla para la concatenación de canales de amortiguación de amplitud, se demuestra que para : ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }}$ ${\displaystyle \eta \geqslant 0.5}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }(\rho )=S{\mathcal {D}}_{(1-\eta )/\eta }\left({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\right)\;.}$

Esta relación demuestra que el canal es degradable, lo que garantiza que la información coherente del canal es aditiva. Esto implica que la capacidad cuántica se logra para el uso de un solo canal.

Se aplica un mapeo de amortiguación de amplitud a un estado de entrada general y, a partir de este mapeo, la entropía de von Neumann de la salida se encuentra como:

${\displaystyle S({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}\right)/2)\;,}$

donde con estado y es un término de coherencia. Al observar una purificación del estado, se encuentra que: ${\displaystyle p\in [0,1]}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\gamma |\leqslant {\sqrt {(1-p)p}}}$

${\displaystyle S(({\mathcal {D}}_{\eta }\otimes 1_{anc})(\Phi ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,(1-\eta )\,p)^{2}+4\,(1-\eta )\,|\gamma |^{2}}}\right)/2)}$

Para maximizar la capacidad cuántica, elegimos eso (debido a la concavidad de la entropía , que produce lo siguiente como capacidad cuántica: ${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle Q\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;}$

Encontrar la capacidad cuántica es sencillo, ya que la capacidad cuántica desaparece como resultado directo del teorema de la no clonación . El hecho de que los canales puedan componerse de esta manera implica que la capacidad cuántica del canal debe aumentar en función de . ${\displaystyle \eta <0.5}$ ${\displaystyle \eta }$

Capacidad clásica asistida por entrelazamiento

Para calcular la capacidad de entrelazamiento asistido debemos maximizar la información mutua cuántica . Esto se encuentra agregando la entropía de entrada del mensaje a la información coherente derivada en la sección anterior. Se maximiza nuevamente para . Por lo tanto, se encuentra que la capacidad clásica asistida por entrelazamiento es ${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle C_{E}\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(p)+H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;}$

Capacidad clásica

Ahora calculamos C1, que es la cantidad máxima de información clásica que puede transmitirse mediante codificaciones no entrelazadas a través de usos de canales paralelos. Esta cantidad actúa como un límite inferior para la capacidad clásica , C. Para encontrar C1, la capacidad clásica se maximiza para n=1. Consideramos un conjunto de mensajes, cada uno con probabilidad . La información de Holevo resulta ser: ${\displaystyle \xi _{k}}$

${\displaystyle \chi \equiv H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}}{2}}\right)-\sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\;}$

En esta expresión, y son la población y un término de coherencia, como se definió antes, y y son los valores promedio de estos. ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \gamma _{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma }$

Para encontrar C1, primero se encuentra un límite superior para C1, y luego se encuentra un conjunto de que satisfagan este límite. Como antes, se establece en 0 para maximizar el primer término de la información de Holevo . A partir de aquí usamos el hecho de que la entropía binaria es decreciente con respecto a así como el hecho de que es convexa con respecto a z para encontrar la siguiente desigualdad: ${\displaystyle p_{k},\gamma _{k},\xi _{k}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle H_{2}(z)}$ ${\displaystyle |1/2+z|}$ ${\displaystyle H_{2}(1+{\sqrt {1-z^{2}}}/2)}$

${\displaystyle \sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\geqslant H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )(\sum _{k}\xi _{k}p_{k})^{2}}}}{2}}\right)}$

Maximizando todas las opciones de p, se encuentra el siguiente límite superior para C1:

${\displaystyle C_{1}\leqslant \max _{p\in [0,1]}{\Big \{}H_{2}\left(\eta \,p\right)-H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )\,p^{2}}}}{2}}\right){\Big \}}\;}$

Se encuentra que este límite superior es el valor de C1, y los parámetros que realizan este límite son , y . ${\displaystyle \xi _{k}=1/d\,\!}$ ${\displaystyle p_{k}=p\,\!}$ ${\displaystyle \gamma _{k}=e^{2\pi ik/d}{\sqrt {(1-p)p}}}$

Análisis Numérico de las Capacidades

A partir de las expresiones de las distintas capacidades es posible realizar un análisis numérico de las mismas. Para un valor de 1, las tres capacidades se maximizan, lo que lleva a que las capacidades cuántica y clásica sean 1, y que la capacidad clásica asistida por entrelazamiento sea 2. Como se mencionó anteriormente, la capacidad cuántica es 0 para cualquier valor inferior a 0,5, mientras que la capacidad clásica La capacidad y la capacidad clásica asistida por entrelazamiento alcanzan 0 para 0. Cuando es inferior a 0,5, se pierde demasiada información en el entorno para que se envíe información cuántica a la parte receptora. ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$

Efectividad de las Spin-Chains como canal de comunicación cuántica

Habiendo calculado las capacidades del canal de amortiguación de amplitud en función de la eficacia del canal, es posible analizar la eficacia de dicho canal en función de la distancia entre el sitio de codificación y el sitio de decodificación. Bose demostró que la eficiencia cae en función de , donde r es la posición de decodificación y s es la posición de codificación. Debido a que la capacidad cuántica desaparece por menos de 0,5, esto significa que la distancia entre el emisor y el receptor debe ser muy corta para que se pueda transmitir cualquier información cuántica . Por tanto, las cadenas de espín largas no son adecuadas para transmitir información cuántica. ${\displaystyle |r-s|^{-2/3}}$ ${\displaystyle \eta }$

Notas

1. Watrous, John (26 de abril de 2018). La teoría de la información cuántica (1 ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/9781316848142. ISBN 978-1-316-84814-2.

enlaces externos

• Giovannetti, V.; Fazio, R. (2005). "Descripción de la capacidad de información de las correlaciones de la cadena de espín". Revisión física A. 71 (3): 032314. arXiv : quant-ph/0405110 . Código Bib : 2005PhRvA..71c2314G. doi : 10.1103/PhysRevA.71.032314. S2CID  118903641.
• Bosé, S. (2003). "Comunicación cuántica a través de una cadena de espín no modulada". Cartas de revisión física . 91 (20): 207901. arXiv : quant-ph/0212041 . Código bibliográfico : 2003PhRvL..91t7901B. doi : 10.1103/PhysRevLett.91.207901. PMID  14683398. S2CID  31739795.
• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, "Computación cuántica e información cuántica"
• Wilde, Mark M. (2017), Teoría de la información cuántica , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W, doi : 10.1017/9781316809976.001, S2CID  2515538