Información mutua cuántica

Medida en la teoría de la información cuántica.

En la teoría de la información cuántica , la información mutua cuántica , o información mutua de von Neumann , según John von Neumann , es una medida de correlación entre subsistemas de estado cuántico. Es el análogo mecánico cuántico de la información mutua de Shannon .

Motivación

Por simplicidad, se supondrá que todos los objetos del artículo son de dimensiones finitas.

La definición de entropía mutua cuántica está motivada por el caso clásico. Para una distribución de probabilidad de dos variables p ( x , y ), las dos distribuciones marginales son

${\displaystyle p(x)=\sum _{y}p(x,y),\qquad p(y)=\sum _{x}p(x,y).}$

La información mutua clásica I ( X : Y ) está definida por

${\displaystyle I(X:Y)=S(p(x))+S(p(y))-S(p(x,y))}$

donde S ( q ) denota la entropía de Shannon de la distribución de probabilidad q .

Se puede calcular directamente

${\displaystyle {\begin{aligned}S(p(x))+S(p(y))&=-\left(\sum _{x}p_{x}\log p(x)+\sum _{y}p_{y}\log p(y)\right)\\&=-\left(\sum _{x}\left(\sum _{y'}p(x,y')\log \sum _{y'}p(x,y')\right)+\sum _{y}\left(\sum _{x'}p(x',y)\log \sum _{x'}p(x',y)\right)\right)\\&=-\left(\sum _{x,y}p(x,y)\left(\log \sum _{y'}p(x,y')+\log \sum _{x'}p(x',y)\right)\right)\\&=-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x)p(y)\end{aligned}}}$

Entonces la información mutua es

${\displaystyle I(X:Y)=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)p(y)}},}$

Donde se toma el logaritmo en base 2 para obtener la información mutua en bits . Pero esta es precisamente la entropía relativa entre p ( x , y ) y p ( x ) p ( y ). En otras palabras, si suponemos que las dos variables xey no están correlacionadas, la información mutua es la discrepancia en la incertidumbre resultante de esta suposición (posiblemente errónea).

De la propiedad de la entropía relativa se deduce que I ( X : Y ) ≥ 0 y la igualdad se cumple si y sólo si p ( x , y ) = p ( x ) p ( y ).

Definición

La contraparte de la mecánica cuántica de las distribuciones de probabilidad clásicas se modela con matrices de densidad .

Considere un sistema cuántico que se puede dividir en dos partes, A y B, de modo que se puedan realizar mediciones independientes en cada parte. El espacio de estados de todo el sistema cuántico es entonces el producto tensorial de los espacios de las dos partes .

${\displaystyle H_{AB}:=H_{A}\otimes H_{B}.}$

Sea ρ ^AB una matriz de densidad que actúa sobre estados en H _AB . La entropía de von Neumann de una matriz de densidad S ( ρ ), es la analogía de la mecánica cuántica de la entropía de Shannon.

${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} \rho \log \rho .}$

Para una distribución de probabilidad p ( x , y ), las distribuciones marginales se obtienen integrando las variables x o y . La operación correspondiente para matrices de densidad es la traza parcial . Entonces se puede asignar a ρ un estado en el subsistema A mediante

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho ^{AB}}$

donde Tr _B es traza parcial con respecto al sistema B. Este es el estado reducido de ρ ^AB en el sistema A. La entropía reducida de von Neumann de ρ ^AB con respecto al sistema A es

${\displaystyle \;S(\rho ^{A}).}$

S ( ρ ^B ) se define de la misma manera.

Ahora se puede ver que la definición de información mutua cuántica, correspondiente a la definición clásica, debería ser la siguiente.

${\displaystyle \;I(A\!:\!B):=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB}).}$

La información mutua cuántica se puede interpretar de la misma manera que en el caso clásico: se puede demostrar que

${\displaystyle I(A\!:\!B)=S(\rho ^{AB}\|\rho ^{A}\otimes \rho ^{B})}$

donde denota entropía relativa cuántica . Tenga en cuenta que existe una generalización alternativa de información mutua al caso cuántico. La diferencia entre ambos para un estado determinado se llama discordia cuántica , una medida de las correlaciones cuánticas del estado en cuestión. ${\displaystyle S(\cdot \|\cdot )}$

Propiedades

Cuando el estado es puro (y por tanto ), la información mutua es el doble de la entropía de entrelazamiento del estado: ${\displaystyle \rho ^{AB}}$ ${\displaystyle S(\rho ^{AB})=0}$

${\displaystyle I(A\!:\!B)=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB})=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})=2S(\rho ^{A})}$

Sin embargo, una información mutua cuántica positiva no es necesariamente indicativa de entrelazamiento. Una mezcla clásica de estados separables siempre tendrá un entrelazamiento cero, pero puede tener un QMI distinto de cero, como

${\displaystyle \rho ^{AB}={\frac {1}{2}}\left(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I(A\!:\!B)&=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB})\\&=S\left({\frac {1}{2}}(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)\right)+S\left({\frac {1}{2}}(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)\right)-S\left({\frac {1}{2}}(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|)\right)\\&=\log 2+\log 2-\log 2=\log 2\end{aligned}}}$

En este caso, el Estado es meramente un Estado clásicamente correlacionado .

Generalización multipartidista

Supongamos que un sistema está compuesto por n subsistemas entonces: ^[1] ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$

${\displaystyle I(A_{1}\!:\!A_{2}:\dots :A_{n})=\sum [S(X_{k_{1}},\,X_{k_{2}},\dots ,X_{k_{n-1}})]-(n-1)S(A_{1},\,A_{2},\,\dots ,\,A_{n})}$

donde y la suma es sobre todas las combinaciones distintas del subsistema sin repetición. ${\displaystyle X_{k_{i}}\in \{A_{1},\,A_{2},\,\dots ,\,A_{n}\}}$

Por ejemplo, tome : ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle I(A\!:\!B\!:\!C)=S(AB)+S(AC)+S(BC)-2S(ABC)}$

Tómalo ahora : ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle I(A_{1}\!:\!A_{2}\!:\!A_{3}\!:\!A_{4})=S(A_{1}A_{2}A_{3})+S(A_{1}A_{2}A_{4})+S(A_{1}A_{3}A_{4})+S(A_{2}A_{3}A_{4})-3S(A_{1}A_{2}A_{3}A_{4})}$

Tenga en cuenta que lo que realmente estamos haciendo es tomar el seguimiento parcial sobre un subsistema por vez, tome el ejemplo, en el primer término estamos rastreando , en el segundo término el seguimiento termina y así sucesivamente. ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle A_{3}}$

Referencias

1. Kumar, Asutosh (2017). "Información mutua cuántica multipartita: una definición alternativa". Revisión física A. 96 (1): 012332. arXiv : 1504.07176 . Código Bib : 2017PhRvA..96a2332K. doi : 10.1103/PhysRevA.96.012332. S2CID  85463610.