Límite clásico

El límite clásico o límite de correspondencia es la capacidad de una teoría física de aproximarse o "recuperar" la mecánica clásica cuando se considera sobre valores especiales de sus parámetros. ^[1] El límite clásico se utiliza con teorías físicas que predicen un comportamiento no clásico.

Teoría cuántica

Niels Bohr introdujo en la teoría cuántica un postulado heurístico denominado principio de correspondencia : en efecto, establece que debería aplicarse algún tipo de argumento de continuidad al límite clásico de los sistemas cuánticos cuando el valor de la constante de Planck normalizada por la acción de estos sistemas se vuelve muy pequeño. A menudo, esto se aborda mediante técnicas "cuasi-clásicas" (cf. aproximación WKB ). ^[2]

Más rigurosamente, ^[3] la operación matemática involucrada en los límites clásicos es una contracción de grupo , que aproxima sistemas físicos donde la acción relevante es mucho mayor que la constante de Planck reducida $ħ$ , por lo que el "parámetro de deformación" $ħ$ / $S$ puede tomarse efectivamente como cero (cf. cuantificación de Weyl ). Por lo tanto, típicamente, los conmutadores cuánticos (equivalentemente, corchetes de Moyal ) se reducen a corchetes de Poisson , ^[4] en una contracción de grupo .

En mecánica cuántica , debido al principio de incertidumbre de Heisenberg , un electrón nunca puede estar en reposo; siempre debe tener una energía cinética distinta de cero , un resultado que no se encuentra en la mecánica clásica. Por ejemplo, si consideramos algo muy grande en relación con un electrón, como una pelota de béisbol, el principio de incertidumbre predice que realmente no puede tener energía cinética cero, pero la incertidumbre en la energía cinética es tan pequeña que la pelota de béisbol puede parecer efectivamente en reposo y, por lo tanto, parece obedecer a la mecánica clásica. En general, si se consideran grandes energías y objetos grandes (en relación con el tamaño y los niveles de energía de un electrón) en mecánica cuántica, el resultado parecerá obedecer a la mecánica clásica. Los números de ocupación típicos involucrados son enormes: un oscilador armónico macroscópico con $ω$ = 2 Hz, $m$ = 10 g y amplitud máxima $x$ ₀ = 10 cm, tiene $S$ $\approx$ $E$ $/$ $ω$ $\approx$ $mωx$ $20 /2 \approx 10 -4 kg\cdotm 2 /s$ = $ħn$ , de modo que $n$ ≃ 10 ³⁰ . Véase también estados coherentes . Sin embargo, no está tan claro cómo se aplica el límite clásico a los sistemas caóticos, un campo conocido como caos cuántico .

La mecánica cuántica y la mecánica clásica suelen tratarse con formalismos completamente diferentes: la teoría cuántica, que utiliza el espacio de Hilbert , y la mecánica clásica, que utiliza una representación en el espacio de fases . Se pueden reunir las dos en un marco matemático común de varias maneras. En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, que es de naturaleza estadística, se establecen conexiones lógicas entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística clásica, lo que permite comparaciones naturales entre ellas, incluidas las violaciones del teorema de Liouville (hamiltoniano) tras la cuantización. ^[5]^[6]

En un artículo crucial (1933), Dirac ^[7] explicó cómo la mecánica clásica es un fenómeno emergente de la mecánica cuántica: la interferencia destructiva entre caminos con acciones macroscópicas no extremas $S$ » $ħ$ elimina las contribuciones de amplitud en la integral de camino que introdujo, dejando la acción extrema $S$ _clase , por lo tanto el camino de acción clásica como la contribución dominante, una observación elaborada más a fondo por Feynman en su tesis doctoral de 1942. ^[8] (Para más información, véase decoherencia cuántica ).

Evolución temporal de los valores esperados

Una forma sencilla de comparar la mecánica clásica con la mecánica cuántica es considerar la evolución temporal de la posición esperada y el momento esperado , que luego se puede comparar con la evolución temporal de la posición y el momento ordinarios en la mecánica clásica. Los valores esperados cuánticos satisfacen el teorema de Ehrenfest . Para una partícula cuántica unidimensional que se mueve en un potencial , el teorema de Ehrenfest dice ^[9] ${\estilo de visualización V}$

m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V '(X)\right\rangle .

Aunque la primera de estas ecuaciones es consistente con la mecánica clásica, la segunda no lo es: si el par satisficiera la segunda ley de Newton, el lado derecho de la segunda ecuación se habría leído $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

Pero en la mayoría de los casos,

\left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )

Si por ejemplo, el potencial es cúbico, entonces es cuadrático, en cuyo caso, estamos hablando de la distinción entre y , que difieren en . ${\estilo de visualización V}$ ${\estilo de visualización V'}$ $\langle X^{2}\rangle$ $\langle X\rangle ^{2}$ $(\Delta X)^{2}$

Una excepción se produce en el caso en que las ecuaciones clásicas de movimiento son lineales, es decir, cuando es cuadrática y es lineal. En ese caso especial, y coinciden. En particular, para una partícula libre o un oscilador armónico cuántico, la posición esperada y el momento esperado siguen exactamente las soluciones de las ecuaciones de Newton. ${\estilo de visualización V}$ ${\estilo de visualización V'}$ $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ $\left\langle V'(X)\right\rangle$

En el caso de los sistemas generales, lo mejor que podemos esperar es que la posición y el momento esperados sigan aproximadamente las trayectorias clásicas. Si la función de onda está muy concentrada alrededor de un punto , entonces y serán casi iguales, ya que ambos serán aproximadamente iguales a . En ese caso, la posición y el momento esperados permanecerán muy cerca de las trayectorias clásicas, al menos mientras la función de onda permanezca muy localizada en la posición. ^[10] $estilo de visualización x_{0}}$ $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ $\left\langle V'(X)\right\rangle$ $V'(x_{0})$

Ahora bien, si el estado inicial está muy localizado en posición, estará muy disperso en momento, y por lo tanto esperamos que la función de onda se disperse rápidamente, y se perderá la conexión con las trayectorias clásicas. Sin embargo, cuando la constante de Planck es pequeña, es posible tener un estado que esté bien localizado tanto en posición como en momento. La pequeña incertidumbre en el momento asegura que la partícula permanezca bien localizada en posición durante mucho tiempo, de modo que la posición y el momento esperados sigan siguiendo de cerca las trayectorias clásicas durante mucho tiempo.

Relatividad y otras deformaciones

Otras deformaciones conocidas en física incluyen:

La deformación de la mecánica newtoniana clásica en mecánica relativista ( relatividad especial ), con parámetro de deformación $v / c$ ; el límite clásico implica velocidades pequeñas, por lo que $v / c \to 0$ , y los sistemas parecen obedecer a la mecánica newtoniana.
De manera similar, para la deformación de la gravedad newtoniana en relatividad general , con el parámetro de deformación radio de Schwarzschild/dimensión característica, encontramos que los objetos una vez más parecen obedecer a la mecánica clásica (espacio plano), cuando la masa de un objeto multiplicada por el cuadrado de la longitud de Planck es mucho menor que su tamaño y los tamaños del problema abordado. Véase límite newtoniano .
La óptica ondulatoria también podría considerarse como una deformación de la óptica de rayos para el parámetro de deformación $λ / a$ .
Del mismo modo, la termodinámica se deforma en mecánica estadística con parámetro de deformación $1/ N$ .

Véase también

Referencias

^ Bohm, D. (1989). Teoría cuántica. Publicaciones de Dover . ISBN. 9780486659695.
^ Landau, LD ; Lifshitz, EM (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . Vol. 3 (3.ª ed.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
^ Hepp, K. (1974). "El límite clásico para las funciones de correlación mecánica cuántica". Communications in Mathematical Physics . 35 (4): 265–277. Bibcode :1974CMaPh..35..265H. doi :10.1007/BF01646348. S2CID 123034390.
^ Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Boletín de Física de Asia Pacífico . 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi :10.1142/S2251158X12000069. S2CID 119230734.
^ Bracken, A.; Wood, J. (2006). "Mecánica semicuántica versus semiclásica para sistemas no lineales simples". Physical Review A . 73 (1): 012104. arXiv : quant-ph/0511227 . Código Bibliográfico :2006PhRvA..73a2104B. doi :10.1103/PhysRevA.73.012104. S2CID 14444752.
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Por el contrario, en el enfoque menos conocido presentado en 1932 por Koopman y von Neumann , la dinámica de la mecánica clásica se ha formulado en términos de un formalismo operacional en el espacio de Hilbert , un formalismo utilizado convencionalmente para la mecánica cuántica.
- Koopman, BO ; von Neumann, J. (1932). "Sistemas dinámicos de espectros continuos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 18 (3): 255–263. Bibcode :1932PNAS...18..255K. doi : 10.1073/pnas.18.3.255 . PMC 1076203 . PMID 16587673.
- Mauro, D. (2003). "Temas de la teoría de Koopman-von Neumann". arXiv : quant-ph/0301172 .
- Bracken, AJ (2003). "Mecánica cuántica como aproximación a la mecánica clásica en el espacio de Hilbert". Journal of Physics A . 36 (23): L329–L335. arXiv : quant-ph/0210164 . doi :10.1088/0305-4470/36/23/101. S2CID 15505801.
^ Dirac, PAM (1933). «El Lagrangiano en mecánica cuántica» (PDF) . Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion . 3 : 64–72.
^ Feynman, RP (1942). El principio de mínima acción en mecánica cuántica (tesis doctoral). Universidad de Princeton .
Reproducido en Feynman, RP (2005). Brown, LM (ed.). La tesis de Feynman: un nuevo enfoque de la teoría cuántica . World Scientific . ISBN. 978-981-256-380-4.
^ Hall 2013 Sección 3.7.5
^ Hall 2013 pág. 78

Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158