Estado cuántico

Entidad matemática para describir la probabilidad de cada posible medición en un sistema.

En física cuántica , un estado cuántico es una entidad matemática que encarna el conocimiento de un sistema cuántico. La mecánica cuántica especifica la construcción, evolución y medición de un estado cuántico. El resultado es una predicción mecánico-cuántica para el sistema representado por el Estado. El conocimiento del estado cuántico y de las reglas de la mecánica cuántica para la evolución del sistema en el tiempo agota todo lo que se puede saber sobre un sistema cuántico.

Los estados cuánticos pueden definirse de manera diferente para diferentes tipos de sistemas o problemas. Dos categorías amplias son

• funciones de onda que describen sistemas cuánticos utilizando variables de posición o momento y
• los estados cuánticos vectoriales más abstractos.

Los problemas históricos, educativos y centrados en aplicaciones suelen presentar funciones de onda; La física profesional moderna utiliza los estados vectoriales abstractos. En ambas categorías, los estados cuánticos se dividen en estados puros y mixtos, o en estados coherentes y estados incoherentes. Las categorías con propiedades especiales incluyen estados estacionarios para la independencia del tiempo y estados de vacío cuánticos en la teoría cuántica de campos .

De los estados de la mecánica clásica.

Como herramienta para la física, los estados cuánticos surgieron de los estados de la mecánica clásica . Un estado dinámico clásico consta de un conjunto de variables dinámicas con valores reales bien definidos en cada instante de tiempo. ^{[1] : 3} Por ejemplo, el estado de una bala de cañón consistiría en su posición y velocidad. Los valores de estado evolucionan bajo ecuaciones de movimiento y, por tanto, permanecen estrictamente determinados. Si conocemos la posición de un cañón y la velocidad de salida de sus proyectiles, entonces podemos usar ecuaciones que contienen la fuerza de gravedad para predecir con precisión la trayectoria de una bala de cañón.

De manera similar, los estados cuánticos consisten en conjuntos de variables dinámicas que evolucionan bajo ecuaciones de movimiento. Sin embargo, los valores derivados de los estados cuánticos son números complejos , cuantificados, limitados por relaciones de incertidumbre , ^{[1] : 159} y solo proporcionan una distribución de probabilidad para los resultados de un sistema. Estas limitaciones alteran la naturaleza de las variables dinámicas cuánticas. Por ejemplo, el estado cuántico de un electrón en un experimento de doble rendija consistiría en valores complejos en la región de detección y, cuando se eleva al cuadrado, solo predeciría la distribución de probabilidad de los recuentos de electrones en todo el detector.

Papel en la mecánica cuántica

El proceso de describir un sistema cuántico con mecánica cuántica comienza con la identificación de un conjunto de variables que definen el estado cuántico del sistema. ^{[1] : 204} El conjunto contendrá variables compatibles e incompatibles . La medición simultánea de un conjunto completo de variables compatibles prepara el sistema en un estado único. El estado evoluciona entonces de manera determinista según las ecuaciones de movimiento . La medición posterior del estado produce una muestra a partir de una distribución de probabilidad predicha por el operador de la mecánica cuántica correspondiente a la medición.

La naturaleza fundamentalmente estadística o probabilística de las mediciones cuánticas cambia el papel de los estados cuánticos en la mecánica cuántica en comparación con los estados clásicos de la mecánica clásica. En la mecánica clásica se mide el estado inicial de uno o más cuerpos; el estado evoluciona según las ecuaciones de movimiento; Las mediciones del estado final se comparan con las predicciones. En mecánica cuántica, conjuntos de estados cuánticos preparados de forma idéntica evolucionan según las ecuaciones de movimiento y muchas mediciones repetidas se comparan con distribuciones de probabilidad predichas. ^{[1] : 204}

Mediciones

Las mediciones, una operación macroscópica sobre un estado cuántico, filtran el estado. ^{[1] : 196} Cualquiera que sea el estado cuántico de entrada, mediciones idénticas repetidas dan valores consistentes. Por esta razón, las mediciones "preparan" los estados cuánticos para los experimentos, colocando el sistema en un estado parcialmente definido. Las mediciones posteriores pueden preparar aún más el sistema (se trata de mediciones compatibles) o pueden alterar el estado, redefiniéndolo (se denominan mediciones incompatibles o complementarias). Por ejemplo, podemos medir el impulso de un estado a lo largo del eje cualquier número de veces y obtener el mismo resultado, pero si medimos la posición después de medir el impulso una vez, las mediciones posteriores del impulso cambian. El estado cuántico parece inevitablemente alterado por mediciones incompatibles. Esto se conoce como principio de incertidumbre . ${\displaystyle x}$

Estados propios y estados puros

El estado cuántico después de una medición es un estado propio correspondiente a esa medición y al valor medido. ^{[1] : 202} Es posible que se desconozcan otros aspectos del estado. La repetición de la medición no alterará el estado. En algunos casos, las mediciones compatibles pueden refinar aún más el estado, haciendo que sea un estado propio correspondiente a todas estas mediciones. ^[2] Un conjunto completo de mediciones compatibles produce un estado puro . Cualquier estado que no sea puro se llama estado mixto ^{[1] : 204} (Ver estados mixtos a continuación).

Las soluciones de estados propios de la ecuación de Schrödinger se pueden formar en estados puros. Los experimentos rara vez producen estados puros. Por lo tanto, las mezclas estadísticas de soluciones deben compararse con los experimentos. ^{[1] : 204}

Representaciones

Un mismo estado físico cuántico puede expresarse matemáticamente de diferentes formas llamadas representaciones . ^[1] La función de onda de posición es una representación que a menudo se ve por primera vez en las introducciones a la mecánica cuántica. La función de onda de impulso equivalente es otra representación basada en la función de onda. Las representaciones son análogas a los sistemas de coordenadas ^{[1] : 244} o dispositivos matemáticos similares como las ecuaciones paramétricas . Seleccionar una representación facilitará algunos aspectos de un problema a costa de dificultar otras cosas.

En la mecánica cuántica formal (ver más abajo), la teoría se desarrolla en términos de un " espacio vectorial " abstracto, evitando cualquier representación particular. Esto permite expresar y aplicar muchos conceptos elegantes de la mecánica cuántica incluso en casos en los que no existe ningún análogo clásico. ^{[1] : 244}

Representaciones de funciones de onda

Las funciones de onda representan estados cuánticos, particularmente cuando son funciones de posición o de momento . Históricamente, las definiciones de estados cuánticos utilizaban funciones de onda antes de que se desarrollaran métodos más formales. ^{[3] : 268} La función de onda es una función de valores complejos de cualquier conjunto completo de grados de libertad conmutables o compatibles . Por ejemplo, un conjunto podrían ser las coordenadas espaciales de un electrón. La preparación de un sistema midiendo el conjunto completo de compatibles produce un estado cuántico puro . Más común, la preparación incompleta produce un estado cuántico mixto . Las soluciones de la función de onda de las ecuaciones de movimiento de Schrödinger para operadores correspondientes a mediciones pueden expresarse fácilmente como estados puros; deben combinarse con ponderaciones estadísticas que coincidan con la preparación experimental para calcular la distribución de probabilidad esperada. ^{[1] : 205} ${\displaystyle x,y,z}$

.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}Estados puros de funciones de onda.

Densidades de probabilidad para el electrón de un átomo de hidrógeno en diferentes estados cuánticos.

Las soluciones numéricas o analíticas en mecánica cuántica se pueden expresar como estados puros . Estos estados de solución, llamados estados propios , están etiquetados con valores cuantificados, típicamente números cuánticos . Por ejemplo, cuando se trata del espectro de energía del electrón en un átomo de hidrógeno , los estados puros relevantes se identifican mediante el número cuántico principal n , el número cuántico del momento angular ℓ , el número cuántico magnético m y el componente z de espín s. _z . Por poner otro ejemplo, si el espín de un electrón se mide en cualquier dirección, por ejemplo, con un experimento de Stern-Gerlach , hay dos resultados posibles: hacia arriba o hacia abajo. Un estado puro aquí está representado por un vector complejo bidimensional , con una longitud de uno; es decir, con ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$

$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,}$$

valores absolutos ${\displaystyle |\alpha |}$ ${\displaystyle |\beta |}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Los postulados de la mecánica cuántica establecen que los estados puros, en un tiempo dado t , corresponden a vectores en un espacio de Hilbert complejo separable , mientras que cada cantidad observable (como la energía o el momento de una partícula ) está asociada a un operador matemático . El operador actúa como una función lineal que actúa sobre los estados del sistema. Los valores propios del operador corresponden a los valores posibles del observable. Por ejemplo, es posible observar una partícula con un momento de 1 kg⋅m/s si y sólo si uno de los valores propios del operador de momento es 1 kg⋅m/s. El vector propio correspondiente (que los físicos llaman estado propio ) con valor propio 1 kg⋅m/s sería un estado cuántico con un valor de impulso definido y bien definido de 1 kg⋅m/s, sin incertidumbre cuántica . Si se midiera su impulso, se garantiza que el resultado será 1 kg⋅m/s.

Por otro lado, un sistema en una superposición de múltiples estados propios diferentes en general tiene incertidumbre cuántica para el observable dado. Usando la notación bra-ket , esta combinación lineal de estados propios se puede representar como:

$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle .}$$

El coeficiente que corresponde a un estado particular en la combinación lineal es un número complejo, permitiendo así efectos de interferencia entre estados. Los coeficientes dependen del tiempo. La forma en que un estado cuántico cambia en el tiempo está gobernada por el operador de evolución temporal .

Estados mixtos de funciones de onda.

Un estado cuántico mixto corresponde a una mezcla probabilística de estados puros; sin embargo, diferentes distribuciones de estados puros pueden generar estados mixtos equivalentes (es decir, físicamente indistinguibles). Una mezcla de estados cuánticos vuelve a ser un estado cuántico.

Un estado mixto para espines de electrones, en la formulación de matriz de densidad, tiene la estructura de una matriz que es hermitiana y semidefinida positiva, y tiene traza 1. ^[4] Se presenta un caso más complicado (en notación de soporte ) por el estado singlete , que ejemplifica el entrelazamiento cuántico : ${\displaystyle 2\times 2}$

$${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigr )},}$$

la superposición1 ⁄ 2

Un estado cuántico puro puede representarse mediante un rayo en un espacio proyectivo de Hilbert sobre los números complejos , mientras que los estados mixtos se representan mediante matrices de densidad , que son operadores semidefinidos positivos que actúan sobre los espacios de Hilbert. ^{[5] [6]} El teorema de Schrödinger-HJW clasifica la multitud de formas de escribir un estado mixto dado como una combinación convexa de estados puros. ^[7] Antes de realizar una medición particular en un sistema cuántico, la teoría proporciona solo una distribución de probabilidad para el resultado, y la forma que adopta esta distribución está completamente determinada por el estado cuántico y los operadores lineales que describen la medición. Las distribuciones de probabilidad para diferentes mediciones exhiben compensaciones ejemplificadas por el principio de incertidumbre : un estado que implica una gama estrecha de resultados posibles para un experimento necesariamente implica una amplia gama de resultados posibles para otro.

Las mezclas estadísticas de estados son un tipo diferente de combinación lineal. Una mezcla estadística de estados es un conjunto estadístico de sistemas independientes. Las mezclas estadísticas representan el grado de conocimiento, mientras que la incertidumbre dentro de la mecánica cuántica es fundamental. Matemáticamente, una mezcla estadística no es una combinación que utiliza coeficientes complejos, sino más bien una combinación que utiliza probabilidades positivas de diferentes estados con valores reales . Un número representa la probabilidad de que un sistema seleccionado al azar esté en el estado . A diferencia del caso de combinación lineal, cada sistema se encuentra en un estado propio definido. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$

El valor esperado de un observable A es una media estadística de los valores medidos del observable. Es esta media y la distribución de probabilidades lo que predicen las teorías físicas. ${\displaystyle {\langle A\rangle }_{\sigma }}$

No existe ningún estado que sea simultáneamente un estado propio para todos los observables. Por ejemplo, no podemos preparar un estado tal que tanto la medida de posición Q ( t ) como la medida de momento P ( t ) (al mismo tiempo t ) se conozcan exactamente; al menos uno de ellos tendrá un rango de valores posibles. ^[a] Este es el contenido de la relación de incertidumbre de Heisenberg .

Además, a diferencia de la mecánica clásica, es inevitable que al realizar una medición en el sistema generalmente cambie su estado . ^{[10] [11] [b]} Más precisamente: Después de medir un observable A , el sistema estará en un estado propio de A ; por tanto, el estado ha cambiado, a menos que el sistema ya estuviera en ese estado propio. Esto expresa una especie de coherencia lógica: si medimos A dos veces en la misma ejecución del experimento, siendo las mediciones directamente consecutivas en el tiempo, ^[c] entonces producirán los mismos resultados. Sin embargo, esto tiene algunas consecuencias extrañas, como se detalla a continuación.

Considere dos observables incompatibles , A y B , donde A corresponde a una medición anterior en el tiempo que B. ^[d] Supongamos que el sistema está en un estado propio de B al comienzo del experimento. Si medimos solo B , todas las ejecuciones del experimento arrojarán el mismo resultado. Si medimos primero A y luego B en la misma ejecución del experimento, el sistema se transferirá a un estado propio de A después de la primera medición y, en general, notaremos que los resultados de B son estadísticos. Por tanto: Las mediciones de la mecánica cuántica se influyen entre sí y el orden en el que se realizan es importante.

Otra característica de los estados cuánticos cobra relevancia si consideramos un sistema físico que consta de múltiples subsistemas; por ejemplo, un experimento con dos partículas en lugar de una. La física cuántica permite ciertos estados, llamados estados entrelazados , que muestran ciertas correlaciones estadísticas entre las mediciones de las dos partículas que no pueden explicarse por la teoría clásica. Para más detalles, consulte entrelazamiento . Estos estados entrelazados conducen a propiedades comprobables experimentalmente ( teorema de Bell ) que nos permiten distinguir entre la teoría cuántica y los modelos clásicos alternativos (no cuánticos).

Cuadro de Schrödinger versus cuadro de Heisenberg

Se puede considerar que los observables dependen del tiempo, mientras que el estado σ se fijó una vez al comienzo del experimento. Este enfoque se llama cuadro de Heisenberg . (Este enfoque se adoptó en la última parte de la discusión anterior, con observables que varían en el tiempo P ( t ) , Q ( t ) ). De manera equivalente, se pueden tratar los observables como fijos, mientras que el estado del sistema depende del tiempo. ; Esto se conoce como el cuadro de Schrödinger . (Este enfoque se adoptó en la parte anterior de la discusión anterior, con un estado variable en el tiempo ). Conceptualmente (y matemáticamente), los dos enfoques son equivalentes; elegir uno de ellos es una cuestión de convención. ${\textstyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle }$

Ambos puntos de vista se utilizan en la teoría cuántica. Mientras que la mecánica cuántica no relativista suele formularse en términos de la imagen de Schrödinger, la imagen de Heisenberg suele preferirse en un contexto relativista, es decir, para la teoría cuántica de campos . Comparar con la imagen de Dirac . ^{[13] : 65}

Formalismo en física cuántica

Estados puros como rayos en un espacio de Hilbert complejo

La física cuántica se formula más comúnmente en términos de álgebra lineal , de la siguiente manera. Cualquier sistema dado se identifica con algún espacio de Hilbert de dimensión finita o infinita . Los estados puros corresponden a vectores de norma 1. Así, el conjunto de todos los estados puros corresponde a la esfera unitaria en el espacio de Hilbert, porque la esfera unitaria se define como el conjunto de todos los vectores con norma 1.

Multiplicar un estado puro por un escalar no tiene consecuencias físicas (siempre que el estado se considere por sí mismo). Si un vector en un espacio de Hilbert complejo se puede obtener a partir de otro vector multiplicando por algún número complejo distinto de cero, se dice que los dos vectores corresponden al mismo rayo en el espacio proyectivo de Hilbert de . Tenga en cuenta que aunque se utiliza la palabra rayo , propiamente hablando, un punto del espacio proyectivo de Hilbert corresponde a una línea que pasa por el origen del espacio de Hilbert, en lugar de una media línea , o un rayo en el sentido geométrico . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle H}$

Notación bra-ket

Los cálculos en mecánica cuántica hacen uso frecuente de operadores lineales , productos escalares, espacios duales y conjugación hermitiana . Para que tales cálculos fluyan sin problemas y para que sea innecesario (en algunos contextos) comprender completamente el álgebra lineal subyacente, Paul Dirac inventó una notación para describir estados cuánticos, conocida como notación bracket . Aunque los detalles de esto están fuera del alcance de este artículo, algunas consecuencias de esto son:

• La expresión utilizada para denotar un vector de estado (que corresponde a un estado cuántico puro) toma la forma (donde " " puede reemplazarse por cualquier otro símbolo, letra, número o incluso palabra). Esto se puede contrastar con la notación matemática habitual , donde los vectores suelen ser letras latinas minúsculas, y por el contexto queda claro que, de hecho, son vectores. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \psi }$
• Dirac definió dos tipos de vectores, bra y ket , duales entre sí. ^[mi]
• Cada ket está asociado de forma única con un llamado sujetador , denominado , que corresponde al mismo estado físico cuántico. Técnicamente, el sujetador es el complemento del ket. Es un elemento del espacio dual y está relacionado con el ket por el teorema de representación de Riesz . En un espacio de dimensión finita con una base ortonormal elegida, escrito como un vector columna, es un vector fila; para obtenerlo simplemente tome la transposición y el conjugado complejo de entrada de . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$
• Los productos escalares ^{[f] [g]} (también llamados corchetes ) se escriben de manera que parezcan un sostén y un ket uno al lado del otro: . (Se supone que la frase "bra-ket" se parece a "bracket".) ${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle }$

Girar

El momento angular tiene la misma dimensión ( M · L ² · T ⁻¹ ) que la constante de Planck y, a escala cuántica, se comporta como un grado de libertad discreto de un sistema cuántico. La mayoría de las partículas poseen una especie de momento angular intrínseco que no aparece en absoluto en la mecánica clásica y surge de la generalización relativista de la teoría de Dirac. Matemáticamente se describe con espinores . En mecánica cuántica no relativista se utilizan las representaciones de grupo del grupo de Lie SU(2) para describir esta libertad adicional. Para una partícula dada, la elección de la representación (y por tanto el rango de posibles valores del espín observable) se especifica mediante un número no negativo S que, en unidades de la constante reducida de Planck ħ , es un número entero (0, 1, 2...) o un medio entero (1/2, 3/2, 5/2...). Para una partícula masiva con espín S , su número cuántico de espín m siempre asume uno de los 2 S + 1 valores posibles en el conjunto

$${\displaystyle \{-S,-S+1,\ldots ,S-1,S\}}$$

Como consecuencia, el estado cuántico de una partícula con espín se describe mediante una función de onda vectorial con valores en C ^{2 S +1} . De manera equivalente, se representa mediante una función de valor complejo de cuatro variables: una variable de número cuántico discreto (para el espín) se suma a las tres variables continuas habituales (para la posición en el espacio).

Estados de muchos cuerpos y estadísticas de partículas.

El estado cuántico de un sistema de N partículas, cada una potencialmente con espín, se describe mediante una función de valores complejos con cuatro variables por partícula, correspondientes a 3 coordenadas espaciales y espín , p.

$${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} _{1},\,m_{1};\;\dots ;\;\mathbf {r} _{N},\,m_{N})\rangle .}$$

Aquí, las variables de espín m _ν asumen valores del conjunto

$${\displaystyle \{-S_{\nu },\,-S_{\nu }+1,\,\ldots ,\,S_{\nu }-1,\,S_{\nu }\}}$$

la ν ${\displaystyle S_{\nu }}$ ${\displaystyle S_{\nu }=0}$

El tratamiento de partículas idénticas es muy diferente para los bosones (partículas con espín entero) y los fermiones (partículas con espín semientero). La función de N -partícula anterior debe estar simetrizada (en el caso bosónico) o antisimetrizada (en el caso fermiónico) con respecto al número de partículas. Si no todas las N partículas son idénticas, pero algunas de ellas lo son, entonces la función debe (anti)simetrizarse por separado sobre las variables correspondientes a cada grupo de variables idénticas, según su estadística (bosónica o fermiónica).

Los electrones son fermiones con S = 1/2 , los fotones (cuantos de luz) son bosones con S = 1 (aunque en el vacío no tienen masa y no se pueden describir con la mecánica de Schrödinger).

Cuando la simetrización o antisimetrización es innecesaria, los espacios de estados de N -partículas se pueden obtener simplemente mediante productos tensoriales de espacios de una partícula, a lo que volveremos más adelante.

Estados básicos de sistemas de una partícula.

Como ocurre con cualquier espacio de Hilbert , si se elige una base para el espacio de Hilbert de un sistema, entonces cualquier ket se puede expandir como una combinación lineal de esos elementos básicos. Simbólicamente, dadas las bases kets , cualquier ket se puede escribir ${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|{k_{i}}\rangle }$$

c _inúmeros complejossuperposición cuánticaortonormales ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$ ${\displaystyle c_{i}=\langle {k_{i}}|\psi \rangle }$

Una propiedad que vale la pena señalar es que los estados normalizados se caracterizan por ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1,}$$

$${\displaystyle \sum _{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1.}$$

Este tipo de expansiones desempeñan un papel importante en las mediciones de la mecánica cuántica. En particular, si son estados propios (con valores propios k _i ) de un observable, y ese observable se mide en el estado normalizado , entonces la probabilidad de que el resultado de la medición sea k _i es | c _i | ² . (La condición de normalización anterior exige que la suma total de probabilidades sea igual a uno). ${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Un ejemplo particularmente importante es la base de posición , que es la base que consta de estados propios con valores propios del observable que corresponde a la posición de medición. ^[h] Si estos estados propios no son degenerados (por ejemplo, si el sistema es una sola partícula sin espín ), entonces cualquier ket está asociado con una función de valor complejo del espacio tridimensional. ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\equiv \langle \mathbf {r} |\psi \rangle .}$$

^[j]función de ondadensidad de probabilidad ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$

$${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {r} \,|\psi (\mathbf {r} )|^{2}=1.}$$

${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} )|\mathbf {r} \rangle .}$$

Superposición de estados puros

Como se mencionó anteriormente, los estados cuánticos pueden superponerse . Si y son dos kets correspondientes a estados cuánticos, el ket ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\beta \rangle }$

$${\displaystyle c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle }$$

argumentosθno son intercambiablesnocorresponderá ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle c_{\beta }}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle e^{i\theta }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle +|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle +e^{i\theta }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle +|\psi \rangle }$ ${\displaystyle e^{i\theta }(|\phi \rangle +|\psi \rangle )}$

Un ejemplo de superposición es el experimento de la doble rendija , en el que la superposición conduce a una interferencia cuántica . El estado cuántico del experimento de dos rendijas es una superposición de dos estados cuánticos de una sola rendija, uno correspondiente a la rendija izquierda y el otro correspondiente a la rendija derecha. En el plano del detector, la fase relativa de esos dos estados de rendija única depende de la diferencia de las distancias desde las dos rendijas. Dependiendo de esa fase relativa, la interferencia es constructiva en algunos lugares y destructiva en otros, creando el patrón de interferencia. Podemos decir que los estados superpuestos están en superposición coherente , por analogía con la coherencia en otros fenómenos ondulatorios.

Otro ejemplo de la importancia de la fase relativa en la superposición cuántica son las oscilaciones de Rabi , donde la fase relativa de dos estados varía en el tiempo debido a la ecuación de Schrödinger . La superposición resultante acaba oscilando entre dos estados diferentes.

Estados mixtos

Un estado cuántico puro es un estado que puede describirse mediante un único vector ket, como se describió anteriormente. Un estado cuántico mixto es un conjunto estadístico de estados puros (ver mecánica estadística cuántica ).

Los estados mixtos surgen en la mecánica cuántica en dos situaciones diferentes: primero, cuando la preparación del sistema no se conoce completamente y, por lo tanto, es necesario tratar con un conjunto estadístico de posibles preparaciones; y segundo, cuando se quiere describir un sistema físico que está entrelazado con otro, ya que su estado no puede describirse mediante un estado puro. En el primer caso, teóricamente podría haber otra persona que conozca la historia completa del sistema y, por tanto, describa el mismo sistema como un estado puro; en este caso, la matriz de densidad se utiliza simplemente para representar el conocimiento limitado de un estado cuántico. En el segundo caso, sin embargo, la existencia de entrelazamiento cuántico impide teóricamente la existencia de un conocimiento completo sobre el subsistema, y ​​es imposible para cualquier persona describir el subsistema de un par entrelazado como un estado puro.

Los estados mixtos surgen inevitablemente de estados puros cuando, para un sistema cuántico compuesto con un estado entrelazado, la parte es inaccesible para el observador. El estado de la pieza se expresa entonces como la traza parcial sobre . ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Un estado mixto no se puede describir con un único vector ket. En cambio, se describe mediante su matriz de densidad asociada (u operador de densidad ), generalmente denotada por ρ . Tenga en cuenta que las matrices de densidad pueden describir estados tanto mixtos como puros, tratándolos en pie de igualdad. Además, un estado cuántico mixto en un sistema cuántico dado descrito por un espacio de Hilbert siempre puede representarse como la traza parcial de un estado cuántico puro (llamado purificación ) en un sistema bipartito más grande para un espacio de Hilbert suficientemente grande . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\otimes K}$ ${\displaystyle K}$

La matriz de densidad que describe un estado mixto se define como un operador de la forma

$${\displaystyle \rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|}$$

formalismo ${\displaystyle p_{s}}$ ${\displaystyle |\psi _{s}\rangle .}$

Un criterio simple para verificar si una matriz de densidad describe un estado puro o mixto es que la traza de ρ ² es igual a 1 si el estado es puro y menor que 1 si el estado es mixto. ^{[k] [15]} Otro criterio equivalente es que la entropía de von Neumann es 0 para un estado puro y estrictamente positiva para un estado mixto.

Las reglas de medición en mecánica cuántica son particularmente sencillas de enunciar en términos de matrices de densidad. Por ejemplo, el promedio conjunto ( valor esperado ) de una medición correspondiente a un observable A viene dado por

$${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i}p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=\operatorname {tr} (\rho A)}$$

Atrincoherentep _s ${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle |\psi _{s}\rangle }$

Según Eugene Wigner , ^[16] el concepto de mezcla fue propuesto por Lev Landau . ^{[17] [14] : 38–41}

Generalizaciones matemáticas

Los estados pueden formularse en términos de observables, en lugar de como vectores en un espacio vectorial. Estos son funcionales lineales normalizados positivos en un álgebra C* o, a veces, en otras clases de álgebras de observables. Consulte Estado en una construcción de álgebra C* y Gelfand-Naimark-Segal para obtener más detalles.

Ver también

• Transición de electrones atómicos
• Esfera de Bloch
• Estado de Greenberger-Horne-Zeilinger
• Estado fundamental
• Introducción a la mecánica cuántica.
• Teorema de no clonación
• Base ortonormal
• teorema de PBR
• Oscilador armónico cuántico
• Puerta lógica cuántica
• Estado estacionario
• Colapso de la función de onda
• estado W

Notas

1. Para evitar malentendidos: aquí queremos decir que Q ( t ) y P ( t ) se miden en el mismo estado, pero no en la misma ejecución del experimento.
2. Dirac (1958), ^[12] pág. 4: "Si un sistema es pequeño, no podemos observarlo sin producir una perturbación grave".
3. es decir, separados por un retraso cero. Se puede pensar en ello como detener el tiempo, luego realizar las dos mediciones una tras otra y luego reanudar el tiempo. Por lo tanto, las mediciones se produjeron al mismo tiempo, pero aún es posible saber cuál fue primero.
4. Para ser más concretos, supongamos que A = Q ( t ₁ ) y B = P ( t ₂ ) en el ejemplo anterior, con t ₂ > t ₁ > 0 .
5. Dirac (1958), ^[12] pág. 20: "Los vectores bra, tal como se han introducido aquí, son un tipo de vector bastante diferente de los kets, y hasta ahora no existe ninguna conexión entre ellos excepto por la existencia de un producto escalar de un bra y un ket".
6. Dirac (1958), ^[12] pág. 19: "Un producto escalar ⟨ B | A ⟩ ahora aparece como una expresión completa entre corchetes".
7. Gottfried (2013), ^[13] p. 31: "definir los productos escalares entre bras y kets".
8. Tenga en cuenta que un estado es una superposición de diferentes estados básicos , por lo que y son elementos del mismo espacio de Hilbert. Una partícula en estado se encuentra precisamente en la posición , mientras que una partícula en estado se puede encontrar en diferentes posiciones con las probabilidades correspondientes. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$
9. Landau (1965), ^[14] pág. 17: " ∫ Ψ _{f ′} Ψ _f * dq = δ ( f ′ − f ) " (el lado izquierdo corresponde a ⟨ f | f ′⟩ ), " ∫ δ ( f ′ − f ) df′ = 1 ".
10. En el caso continuo, los kets básicos no son kets unitarios (a diferencia del estado ): están normalizados según ^[i] , es decir, (una función delta de Dirac ), lo que significa que ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \int d^{3}\mathbf {r} '\,\langle \mathbf {r} |\mathbf {r} '\rangle =1,}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {r} |\mathbf {r} '\rangle =\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle =\infty .}$
11. Tenga en cuenta que este criterio funciona cuando la matriz de densidad está normalizada de modo que la traza de ρ sea 1, como ocurre con la definición estándar dada en esta sección. Ocasionalmente, una matriz de densidad se normalizará de manera diferente, en cuyo caso el criterio es ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\rho ^{2})=(\operatorname {Tr} \rho )^{2}}$

Referencias

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Otras lecturas

El concepto de estados cuánticos, en particular el contenido de la sección Formalismo en física cuántica anterior, se trata en la mayoría de los libros de texto estándar sobre mecánica cuántica.

Para una discusión de aspectos conceptuales y una comparación con los estados clásicos, ver:

• Isham, Chris J (1995). Conferencias sobre teoría cuántica: fundamentos matemáticos y estructurales . Prensa del Colegio Imperial . ISBN 978-1-86094-001-9.

Para obtener una cobertura más detallada de los aspectos matemáticos, consulte:

• Bratteli, Ola ; Robinson, Derek W (1987). Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica 1 . Saltador. ISBN 978-3-540-17093-8. 2da edición.En particular, ver la Sec. 2.3.

Para una discusión sobre las purificaciones de estados cuánticos mixtos, consulte el Capítulo 2 de las notas de la conferencia de John Preskill para Física 219 en Caltech.

Para una discusión sobre aspectos geométricos, consulte:

• Bengtsson I; Życzkowski K (2006). Geometría de Estados Cuánticos . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge., segunda edición revisada (2017)