Producto tensorial de espacios de Hilbert

Espacio de producto tensorial dotado de un producto interno especial

En matemáticas , y en particular en análisis funcional , el producto tensorial de espacios de Hilbert es una forma de extender la construcción del producto tensorial de modo que el resultado de tomar un producto tensorial de dos espacios de Hilbert sea otro espacio de Hilbert. En términos generales, el producto tensorial es la completitud espacial métrica del producto tensorial ordinario. Este es un ejemplo de un producto tensorial topológico . El producto tensorial permite que los espacios de Hilbert se recopilen en una categoría monoidal simétrica . ^[1]

Definición

Como los espacios de Hilbert tienen productos internos , se quisiera introducir un producto interno, y por lo tanto una topología, sobre el producto tensorial que surge naturalmente de los productos internos sobre los factores. Sean y dos espacios de Hilbert con productos internos y respectivamente. Construya el producto tensorial de y como espacios vectoriales como se explica en el artículo sobre productos tensoriales . Podemos convertir este producto tensorial del espacio vectorial en un espacio de producto interno definiendo y extendiendo por linealidad. Que este producto interno sea el natural se justifica por la identificación de aplicaciones bilineales de valor escalar en y funcionales lineales en su producto tensorial del espacio vectorial. Finalmente, tome la compleción bajo este producto interno. El espacio de Hilbert resultante es el producto tensorial de y ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{1}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2},}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ $${\displaystyle \left\langle \phi _{1}\otimes \phi _{2},\psi _{1}\otimes \psi _{2}\right\rangle =\left\langle \phi _{1},\psi _{1}\right\rangle _{1}\,\left\langle \phi _{2},\psi _{2}\right\rangle _{2}\quad {\mbox{for all }}\phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}{\mbox{ and }}\phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}}$$ ${\displaystyle H_{1}\times H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$

Construcción explícita

El producto tensorial también puede definirse sin recurrir a la completitud del espacio métrico. Si y son dos espacios de Hilbert, se asocia a cada producto tensorial simple el operador de rango uno de a que mapea un dado como ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}\otimes x_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle x^{*}\in H_{1}^{*}}$ $${\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})\,x_{2}.}$$

Esto se extiende a una identificación lineal entre y el espacio de operadores de rango finito de a Los operadores de rango finito están integrados en el espacio de Hilbert de operadores de Hilbert-Schmidt de a El producto escalar en está dado por donde es una base ortonormal arbitraria de ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2})}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2})}$ $${\displaystyle \langle T_{1},T_{2}\rangle =\sum _{n}\left\langle T_{1}e_{n}^{*},T_{2}e_{n}^{*}\right\rangle ,}$$ ${\displaystyle \left(e_{n}^{*}\right)}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}.}$

Bajo la identificación anterior, se puede definir el producto tensorial hilbertiano de y que es isométricamente y linealmente isomorfo a ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2},}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2}).}$

Propiedad universal

El producto tensorial de Hilbert se caracteriza por la siguiente propiedad universal (Kadison y Ringrose 1997, Teorema 2.6.4): ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$

Teorema  :  Existe una función débilmente Hilbert-Schmidt tal que, dada cualquier función débilmente Hilbert-Schmidt a un espacio de Hilbert, existe un operador acotado único tal que ${\displaystyle p:H_{1}\times H_{2}\to H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle L:H_{1}\times H_{2}\to K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle T:H_{1}\otimes H_{2}\to K}$ ${\displaystyle L=Tp.}$

Una aplicación débilmente Hilbert-Schmidt se define como una aplicación bilineal para la que existe un número real, tal que para todas y una (por lo tanto, todas) las bases ortonormales de y de ${\displaystyle L:H_{1}\times H_{2}\to K}$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{\infty }{\bigl |}\left\langle L(e_{i},f_{j}),u\right\rangle {\bigr |}^{2}\leq d^{2}\,\|u\|^{2}}$$ ${\displaystyle u\in K}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots }$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle H_{2}.}$

Como sucede con cualquier propiedad universal, esta caracteriza al producto tensorial H de manera única, salvo isomorfismo. La misma propiedad universal, con modificaciones obvias, también se aplica al producto tensorial de cualquier número finito de espacios de Hilbert. Es esencialmente la misma propiedad universal compartida por todas las definiciones de productos tensoriales, independientemente de los espacios que se tensen: esto implica que cualquier espacio con un producto tensorial es una categoría monoidal simétrica , y los espacios de Hilbert son un ejemplo particular de ello.

Productos tensoriales infinitos

Históricamente se han propuesto dos definiciones diferentes para el producto tensorial de una colección de espacios de Hilbert de tamaño arbitrario. La definición tradicional de von Neumann simplemente toma el producto tensorial "obvio": para calcular , primero se recopilan todos los tensores simples de la forma tales que . Este último describe un producto interno previo a través de la identidad de polarización , por lo que se toma el lapso cerrado de tales tensores simples módulo los subespacios de isotropía de ese producto interno. Esta definición casi nunca es separable, en parte porque, en aplicaciones físicas , "la mayor parte" del espacio describe estados imposibles. Los autores modernos suelen utilizar en su lugar una definición debida a Guichardet: para calcular , primero se selecciona un vector unitario en cada espacio de Hilbert y luego se recopilan todos los tensores simples de la forma , en el que solo un número finito no son . Luego se toma la completitud de estos tensores simples. ^{[2] [3]} ${\textstyle \{H_{n}\}_{n\in N}}$ ${\textstyle \bigotimes _{n}{H_{n}}}$ ${\textstyle \bigotimes _{n\in N}{e_{n}}}$ ${\textstyle \prod _{n\in N}{\|e_{n}\|}<\infty }$ ${\textstyle \bigotimes _{n}{H_{n}}}$ ${\textstyle v_{n}\in H_{n}}$ ${\textstyle \bigotimes _{n\in N}{e_{n}}}$ ${\textstyle e_{n}}$ ${\textstyle v_{n}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Álgebras de operadores

Sea el álgebra de von Neumann de operadores acotados en para Entonces el producto tensorial de von Neumann de las álgebras de von Neumann es la completitud fuerte del conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de productos tensoriales simples donde para Esto es exactamente igual al álgebra de von Neumann de operadores acotados de A diferencia de para los espacios de Hilbert, uno puede tomar productos tensoriales infinitos de álgebras de von Neumann, y por ende C*-álgebras de operadores, sin definir estados de referencia. ^[3] Esta es una ventaja del método "algebraico" en la mecánica estadística cuántica. ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{i}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2.}$ ${\displaystyle A_{1}\otimes A_{2}}$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathfrak {A}}_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2.}$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}.}$

Propiedades

Si y tienen bases ortonormales y respectivamente, entonces es una base ortonormal para En particular, la dimensión de Hilbert del producto tensorial es el producto (como números cardinales ) de las dimensiones de Hilbert. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle \left\{\phi _{k}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\psi _{l}\right\},}$ ${\displaystyle \left\{\phi _{k}\otimes \psi _{l}\right\}}$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}.}$

Ejemplos y aplicaciones

Los siguientes ejemplos muestran cómo surgen naturalmente los productos tensoriales.

Dados dos espacios de medida y , con medidas y respectivamente, uno puede mirar el espacio de funciones en que son integrables al cuadrado con respecto al producto medida Si es una función integrable al cuadrado en y es una función integrable al cuadrado en entonces podemos definir una función en por La definición del producto medida asegura que todas las funciones de esta forma son integrables al cuadrado, por lo que esto define una aplicación bilineal Las combinaciones lineales de funciones de la forma también están en Resulta que el conjunto de combinaciones lineales es de hecho denso en si y son separables. ^[4] Esto muestra que es isomorfo a y también explica por qué necesitamos tomar la completitud en la construcción del producto tensorial del espacio de Hilbert. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \mu \times \nu .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle h(x,y)=f(x)g(y).}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\times L^{2}(Y)\to L^{2}(X\times Y).}$ ${\displaystyle f(x)g(y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y).}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ${\displaystyle L^{2}(Y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes L^{2}(Y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$

De manera similar, podemos demostrar que , que denota el espacio de funciones integrables cuadradas, es isomorfo a si este espacio es separable. El isomorfismo se aplica a Podemos combinar esto con el ejemplo anterior y concluir que y son ambos isomorfos a ${\displaystyle L^{2}(X;H)}$ ${\displaystyle X\to H,}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes H}$ ${\displaystyle f(x)\otimes \phi \in L^{2}(X)\otimes H}$ ${\displaystyle f(x)\phi \in L^{2}(X;H)}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes L^{2}(Y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y)}$ ${\displaystyle L^{2}\left(X;L^{2}(Y)\right).}$

Los productos tensoriales de los espacios de Hilbert surgen a menudo en la mecánica cuántica . Si una partícula se describe mediante el espacio de Hilbert y otra partícula se describe mediante entonces el sistema que consta de ambas partículas se describe mediante el producto tensorial de y Por ejemplo, el espacio de estado de un oscilador armónico cuántico es entonces el espacio de estado de dos osciladores es que es isomorfo a Por lo tanto, el sistema de dos partículas se describe mediante funciones de onda de la forma Un ejemplo más complejo lo proporcionan los espacios de Fock , que describen un número variable de partículas. ${\displaystyle H_{1},}$ ${\displaystyle H_{2},}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\otimes L^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}$ ${\displaystyle \psi \left(x_{1},x_{2}\right).}$

Referencias

1. B. Coecke y EO Paquette, Categorías para el físico en ejercicio, en: Nuevas estructuras para la física, B. Coecke (ed.), Springer Lecture Notes in Physics, 2009. arXiv:0905.3010
2. Nik Weaver (8 de marzo de 2020). Respuesta a Resultado del producto tensorial continuo de espacios de Hilbert. MathOverflow . StackExchange .
3. Bratteli, O. y Robinson, D: Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica v.1, 2.ª ed. , página 144. Springer-Verlag, 2002.
4. Kolmogorov, A. N. ; Fomin, S. V. (1961) [1960]. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional . Vol. 2: Medida, la integral de Lebesgue y el espacio de Hilbert. Traducido por Kamel, Hyman; Komm, Horace. Albany, NY : Graylock. p. 100, ej. 3. LCCN  57-4134.

Bibliografía

• Kadison, Richard V. ; Ringrose, John R. (1997). Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores. Vol. I. Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 15. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-0819-1.Señor 1468229  ..
• Weidmann, Joaquín (1980). Operadores lineales en espacios de Hilbert . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 68. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90427-6.Sr. 0566954  ..