espacio de mierda

Espacio de estados de múltiples partículas

El espacio de Fock es una construcción algebraica utilizada en mecánica cuántica para construir el espacio de estados cuánticos de un número variable o desconocido de partículas idénticas a partir de una sola partícula del espacio de Hilbert H. Lleva el nombre de VA Fock , quien lo introdujo por primera vez en su artículo de 1932 "Konfigurationsraum und zweite Quantelung" (" Espacio de configuración y segunda cuantificación "). ^{[1] [2]}

Informalmente, un espacio de Fock es la suma de un conjunto de espacios de Hilbert que representan estados de partícula cero, estados de una partícula, estados de dos partículas, etc. Si las partículas idénticas son bosones , los estados de n partículas son vectores en un producto tensorial simetrizado de n espacios de Hilbert H de una sola partícula . Si las partículas idénticas son fermiones , los estados de n partículas son vectores en un producto tensor antisimetrizado de n espacios de Hilbert H de una sola partícula (ver álgebra simétrica y álgebra exterior respectivamente). Un estado general en el espacio de Fock es una combinación lineal de n estados de partículas, uno para cada n .

Técnicamente, el espacio de Fock es (la finalización del espacio de Hilbert ) la suma directa de los tensores simétricos o antisimétricos en las potencias tensoriales de un espacio de Hilbert de una sola partícula H ,

$${\displaystyle F_{\nu }(H)={\overline {\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}}}~.}$$

Aquí está el operador que simetriza o antisimetriza un tensor , dependiendo de si el espacio de Hilbert describe partículas que obedecen a estadísticas bosónicas o fermiónicas , y la línea superior representa la finalización del espacio. El espacio de Fock bosónico (resp. fermiónico) se puede construir alternativamente como (la finalización del espacio de Hilbert de) los tensores simétricos (resp. tensores alternos ). Para cada base de H existe una base natural del espacio de Fock, afirma Fock . ${\displaystyle S_{\nu }}$ ${\displaystyle (\nu =+)}$ ${\displaystyle (\nu =-)}$ ${\displaystyle F_{+}(H)={\overline {S^{*}H}}}$ ${\textstyle F_{-}(H)={\overline {{\bigwedge }^{*}H}}}$

Definición

El espacio de Fock es la suma directa (de Hilbert) de productos tensoriales de copias de un espacio de Hilbert de una sola partícula. ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \cdots }$$

Aquí , los escalares complejos constan de los estados que no corresponden a ninguna partícula, los estados de una partícula, los estados de dos partículas idénticas, etc. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S_{\nu }(H\otimes H)}$

Un estado general en está dado por ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots }$$

• ${\displaystyle |0\rangle }$es un vector de longitud 1 llamado estado de vacío y es un coeficiente complejo, ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \in H}$es un estado en el espacio de Hilbert de una sola partícula y es un coeficiente complejo, ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} }$
• ${\textstyle |\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }=a_{ij}|\psi _{i}\rangle \otimes |\psi _{j}\rangle +a_{ji}|\psi _{j}\rangle \otimes |\psi _{i}\rangle \in S_{\nu }(H\otimes H)}$, y es un coeficiente complejo, etc. ${\displaystyle a_{ij}=\nu a_{ji}\in \mathbb {C} }$

La convergencia de esta suma infinita es importante para ser un espacio de Hilbert. Técnicamente requerimos que sea la terminación del espacio de Hilbert de la suma directa algebraica. Consta de todas las tuplas infinitas tales que la norma , definida por el producto interno, es finita ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=(|\Psi _{0}\rangle _{\nu },|\Psi _{1}\rangle _{\nu },|\Psi _{2}\rangle _{\nu },\ldots )}$

$${\displaystyle \||\Psi \rangle _{\nu }\|_{\nu }^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }<\infty }$$

${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }=\sum _{i_{1},\ldots i_{n},j_{1},\ldots j_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}^{*}a_{j_{1},\ldots ,j_{n}}\langle \psi _{i_{1}}|\psi _{j_{1}}\rangle \cdots \langle \psi _{i_{n}}|\psi _{j_{n}}\rangle }$$

norma sobre el producto tensorial ${\displaystyle H^{\otimes n}}$

Para dos estados generales

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots ,}$$

$${\displaystyle |\Phi \rangle _{\nu }=|\Phi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =b|0\rangle \oplus \sum _{i}b_{i}|\phi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}b_{ij}|\phi _{i},\phi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots }$$

producto interno ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$

$${\displaystyle \langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\sum _{n}\langle \Psi _{n}|\Phi _{n}\rangle _{\nu }=a^{*}b+\sum _{ij}a_{i}^{*}b_{j}\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle +\sum _{ijkl}a_{ij}^{*}b_{kl}\langle \psi _{i}|\phi _{k}\rangle \langle \psi _{j}|\phi _{l}\rangle _{\nu }+\cdots }$$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Estados del producto, partículas indistinguibles y una base útil para el espacio de Fock

Un estado producto del espacio de Fock es un estado de la forma

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }=|\phi _{1}\rangle \otimes |\phi _{2}\rangle \otimes \cdots \otimes |\phi _{n}\rangle }$$

que describe una colección de partículas, una de las cuales tiene estado cuántico , otra y así sucesivamente hasta la enésima partícula, donde cada una es cualquier estado del espacio de Hilbert de una sola partícula . Aquí la yuxtaposición (escribir los kets de partículas individuales uno al lado del otro, sin ) es una multiplicación simétrica (resp. antisimétrica) en el álgebra tensorial simétrica (antisimétrica) . El estado general en un espacio de Fock es una combinación lineal de estados de productos. Un estado que no puede escribirse como una suma convexa de estados producto se llama estado entrelazado . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \otimes }$

Cuando hablamos de una partícula en estado ${\displaystyle \phi _{i}}$ , debemos tener en cuenta que en mecánica cuántica partículas idénticas son indistinguibles . En el mismo espacio de Fock, todas las partículas son idénticas. (Para describir muchas especies de partículas, tomamos el producto tensorial de tantos espacios de Fock diferentes como especies de partículas bajo consideración). Una de las características más poderosas de este formalismo es que los estados están implícitamente simetrizados adecuadamente. Por ejemplo, si el estado anterior es fermiónico, será 0 si dos (o más) de ellos son iguales debido al producto antisimétrico (exterior) . Ésta es una formulación matemática del principio de exclusión de Pauli de que dos (o más) fermiones no pueden estar en el mismo estado cuántico. De hecho, siempre que los términos de un producto formal sean linealmente dependientes; el producto será cero para tensores antisimétricos. Además, el producto de estados ortonormales es propiamente ortonormal por construcción (aunque posiblemente 0 en el caso de Fermi cuando dos estados son iguales). ${\displaystyle |\Psi \rangle _{-}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle |\phi _{i}\rangle =0}$

Una base útil y conveniente para un espacio de Fock es la base del número de ocupación . Dada una base de , podemos denotar el estado con partículas en estado , partículas en estado , ..., partículas en estado y ninguna partícula en los estados restantes, definiendo ${\displaystyle \{|\psi _{i}\rangle \}_{i=0,1,2,\dots }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$

$${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}},}$$

donde cada uno toma el valor 0 o 1 para partículas fermiónicas y 0, 1, 2, ... para partículas bosónicas. Tenga en cuenta que los ceros finales se pueden eliminar sin cambiar el estado. Tal estado se llama estado de Fock . Cuando se entienden como estados estacionarios de un campo libre, los estados de Fock describen un conjunto de partículas que no interactúan en números definidos. El estado de Fock más general es una superposición lineal de estados puros. ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

Dos operadores de gran importancia son los operadores de creación y aniquilación , que al actuar sobre un estado de Fock añaden o eliminan respectivamente una partícula en el estado cuántico adscrito. Se les indica la creación y la aniquilación respectivamente. Para crear ("añadir") una partícula, el estado cuántico es simétrico o exterior-multiplicado por ; y respectivamente para aniquilar ("eliminar") una partícula, se toma un producto interior (par o impar) con , que es el adjunto de . A menudo es conveniente trabajar con estados de la base de para que estos operadores eliminen y agreguen exactamente una partícula en el estado de la base dado. Estos operadores también sirven como generadores de operadores más generales que actúan en el espacio de Fock, por ejemplo, el operador numérico que da el número de partículas en un estado específico es . ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )\,}$ ${\displaystyle a(\phi )}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}$

Interpretación de la función de onda.

A menudo, el espacio de una partícula se da como , el espacio de funciones integrables al cuadrado en un espacio con medida (estrictamente hablando, las clases de equivalencia de funciones integrables al cuadrado donde las funciones son equivalentes si difieren en un conjunto de medida cero ). El ejemplo típico es la partícula libre con el espacio de funciones cuadradas integrables en un espacio tridimensional. Los espacios de Fock tienen entonces una interpretación natural como funciones cuadradas integrables simétricas o antisimétricas de la siguiente manera. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H=L_{2}(\mathbb {R} ^{3},d^{3}x)}$

Sea y , , , etc. Considere el espacio de tuplas de puntos que es la unión disjunta ${\displaystyle X^{0}=\{*\}}$ ${\displaystyle X^{1}=X}$ ${\displaystyle X^{2}=X\times X}$ ${\displaystyle X^{3}=X\times X\times X}$

$${\displaystyle X^{*}=X^{0}\bigsqcup X^{1}\bigsqcup X^{2}\bigsqcup X^{3}\bigsqcup \cdots .}$$

Tiene una medida natural tal que y la restricción de to es . El espacio de Fock par puede identificarse entonces con el espacio de funciones simétricas, mientras que el espacio de Fock impar puede identificarse con el espacio de funciones antisimétricas. La identificación se deriva directamente del mapeo isométrico . ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}(X^{0})=1}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle \mu ^{n}}$ ${\displaystyle F_{+}(L_{2}(X,\mu ))}$ ${\displaystyle L_{2}(X^{*},\mu ^{*})}$ ${\displaystyle F_{-}(L_{2}(X,\mu ))}$

$${\displaystyle L_{2}(X,\mu )^{\otimes n}\to L_{2}(X^{n},\mu ^{n})}$$

$${\displaystyle \psi _{1}(x)\otimes \cdots \otimes \psi _{n}(x)\mapsto \psi _{1}(x_{1})\cdots \psi _{n}(x_{n})}$$

Dadas funciones de onda , el determinante de Slater ${\displaystyle \psi _{1}=\psi _{1}(x),\ldots ,\psi _{n}=\psi _{n}(x)}$

$${\displaystyle \Psi (x_{1},\ldots x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}(x_{1})&\cdots &\psi _{n}(x_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{1}(x_{n})&\cdots &\psi _{n}(x_{n})\\\end{vmatrix}}}$$

permanente ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \|\Psi \|=1}$ ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}$ ${\displaystyle n}$

Relación con el espacio de Segal-Bargmann

Defina el espacio de Segal-Bargmann ^{[3] de} funciones holomorfas complejas integrables al cuadrado con respecto a una medida gaussiana : ${\displaystyle B_{N}}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}\left(\mathbb {C} ^{N}\right)=\left\{f\colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} \mid \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}<\infty \right\},}$$

$${\displaystyle \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}:=\int _{\mathbb {C} ^{N}}\vert f(\mathbf {z} )\vert ^{2}e^{-\pi \vert \mathbf {z} \vert ^{2}}\,d\mathbf {z} .}$$

^{[4][5] [6]} ${\displaystyle B_{\infty }}$ ${\displaystyle B_{N}}$ ${\displaystyle N\geq 0}$ ${\displaystyle B_{\infty }}$

$${\displaystyle x_{1}^{n_{1}}...x_{k}^{n_{k}}}$$

$${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}}.}$$

Ver también

• estado de mierda
• Álgebra tensorial
• Espacio holomorfo de Fock
• Operadores de creación y aniquilación.
• Determinante de Slater
• teorema de wick
• Geometría no conmutativa
• Gran conjunto canónico , distribución térmica sobre el espacio de Fock
• Schrödinger funcional

Referencias

1. Fock, V. (1932). "Konfigurationsraum und zweite Quantelung". Zeitschrift für Physik (en alemán). Springer Science y Business Media LLC. 75 (9–10): 622–647. Código Bib : 1932ZPhy...75..622F. doi :10.1007/bf01344458. ISSN  1434-6001. S2CID  186238995.
2. MC Reed , B. Simon , "Métodos de física matemática moderna, volumen II", Academic Press 1975. Página 328.
3. Bargmann, V. (1961). "Sobre un espacio de Hilbert de funciones analíticas y transformada integral asociada I". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 14 : 187–214. doi :10.1002/cpa.3160140303. hdl : 10338.dmlcz/143587 .
4. Segal, IE (1963). "Problemas matemáticos de la física relativista". Actas del seminario de verano, Boulder, Colorado, 1960, vol. II . Cap. VI.
5. Bargmann, V (1962). "Observaciones sobre un espacio de Hilbert de funciones analíticas". Proc. Nacional. Acad. Ciencia . 48 (2): 199–204. Código bibliográfico : 1962PNAS...48..199B. doi : 10.1073/pnas.48.2.199 . PMC 220756 . PMID  16590920. 
6. Stochel, Jerzy B. (1997). «Representación de operadores de creación y aniquilación generalizada en el espacio de Fock» (PDF) . Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica . 34 : 135-148 . Consultado el 13 de diciembre de 2012 .

enlaces externos

• Diagramas de Feynman y productos de Wick asociados con el espacio q-Fock: análisis no conmutativo, Edward G. Effros y Mihai Popa, Departamento de Matemáticas, UCLA
• R. Geroch, Física Matemática, Chicago University Press, Capítulo 21.