Schrödinger funcional

Aproximación a la teoría cuántica de campos.

En física matemática , algunos enfoques de la teoría cuántica de campos son más populares que otros. Por razones históricas, la representación de Schrödinger es menos preferida que los métodos espaciales de Fock . En los primeros días de la teoría cuántica de campos , mantener simetrías como la invariancia de Lorentz , mostrarlas de manera manifiesta y demostrar la renormalización eran de suma importancia. La representación de Schrödinger no es manifiestamente invariante de Lorentz y su renormalización sólo fue demostrada en la década de 1980 por Kurt Symanzik (1981).

El funcional de Schrödinger es, en su forma más básica, el generador de traducción temporal de funcionales de onda de estado. En términos sencillos, define cómo evoluciona un sistema de partículas cuánticas a través del tiempo y cómo se ven los sistemas posteriores.

Fondo

La mecánica cuántica se define sobre las coordenadas espaciales sobre las que actúa el grupo galileano , y los operadores correspondientes actúan sobre su estado como . El estado se caracteriza por una función de onda obtenida proyectándolo sobre los estados propios de coordenadas definidos por . Estos estados propios no son estacionarios . La evolución del tiempo es generada por el hamiltoniano, dando como resultado la ecuación de Schrödinger . ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\psi (\mathbf {x} )=\mathbf {x} \psi (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\left|\mathbf {x} \right\rangle =\mathbf {x} \left|\mathbf {x} \right\rangle }$ ${\displaystyle i\partial _{0}\left|\psi (t)\right\rangle ={\hat {H}}\left|\psi (t)\right\rangle }$

Sin embargo, en la teoría cuántica de campos , la coordenada es el operador de campo , que actúa sobre la onda del estado funcional como ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{\mathbf {x} }={\hat {\phi }}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} )\Psi \left[\phi (\cdot )\right]=\operatorname {\phi } \left(\mathbf {x} \right)\Psi \left[\phi (\cdot )\right],}$

donde " ⋅ " indica un argumento espacial independiente. Esta onda funcional

${\displaystyle \Psi \left[\phi (\cdot )\right]=\left\langle \phi (\cdot )|\Psi \right\rangle }$

se obtiene mediante los estados propios de campo

${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} )\left|\Phi (\cdot )\right\rangle =\Phi (\mathbf {x} )\left|\Phi (\cdot )\right\rangle ,}$

que están indexados por configuraciones de "campo clásico" no aplicadas . Estos estados propios, al igual que los estados propios de posición anteriores, no son estacionarios . La evolución del tiempo es generada por el hamiltoniano , dando como resultado la ecuación de Schrödinger, ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$

${\displaystyle i\partial _{0}\left|\Psi (t)\right\rangle ={\hat {H}}\left|\Psi (t)\right\rangle .}$

Así, el estado en la teoría cuántica de campos es conceptualmente una superposición funcional de configuraciones de campos.

Ejemplo: campo escalar

En la teoría cuántica de campos (como ejemplo) de un campo escalar cuántico, en completa analogía con el oscilador armónico cuántico de una partícula , el estado propio de este campo cuántico con el "campo clásico" ( número c ) como valor propio, ${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)\left|\phi \right\rangle =\phi \left(x\right)\left|\phi \right\rangle }$

es (Schwartz, 2013)

${\displaystyle \left|\phi \right\rangle \propto e^{-\int dx{\frac {1}{2}}~(\phi (x)-{\hat {\Phi }}_{+}(x))^{2}}\left|0\right\rangle }$

¿Dónde está la parte que solo incluye operadores de creación ? Para el oscilador, esto corresponde al cambio/mapa de representación al | x ⟩ estado de los estados de Fock. ${\displaystyle {\hat {\Phi }}_{+}\left(x\right)}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}\left(x\right)}$ ${\displaystyle a_{k}^{\dagger }}$

Para un hamiltoniano H independiente del tiempo , el funcional de Schrödinger se define como

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\phi _{2},t_{2};\phi _{1},t_{1}]=\langle \,\phi _{2}\,|e^{-iH(t_{2}-t_{1})/\hbar }|\,\phi _{1}\,\rangle .}$

En la representación de Schrödinger , este funcional genera traducciones temporales de funcionales de onda de estado, a través de

${\displaystyle \Psi [\phi _{2},t_{2}]=\int \!{\mathcal {D}}\phi _{1}\,\,{\mathcal {S}}[\phi _{2},t_{2};\phi _{1},t_{1}]\Psi [\phi _{1},t_{1}].}$

Estados

El funcional de onda de campo libre, en estado de vacío normalizado , es el gaussiano.

${\displaystyle \Psi _{0}[\phi ]=\det {}^{\frac {1}{4}}\left({\frac {K}{\pi }}\right)\;e^{-{\frac {1}{2}}\int d{\vec {x}}\int d{\vec {y}}\,\phi ({\vec {x}})K({\vec {x}},{\vec {y}})\phi ({\vec {y}})}=\det {}^{\frac {1}{4}}\left({\frac {K}{\pi }}\right)\;e^{-{\frac {1}{2}}\phi \cdot K\cdot \phi },}$

donde la covarianza K es

${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {y}})=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\omega _{\vec {k}}\,e^{i{\vec {k}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}.}$

Esto es análogo a (la transformada de Fourier de) el producto del estado fundamental de cada modo k en el límite del continuo , aproximadamente (Hatfield 1992)

${\displaystyle \Psi _{0}[{\tilde {\phi }}]=\lim _{\Delta k\to 0}\;\prod _{\vec {k}}\left({\frac {\omega _{\vec {k}}}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {1}{2}}\omega _{\vec {k}}{\tilde {\phi }}({\vec {k}})^{2}{\frac {\Delta k^{3}}{(2\pi )^{3}}}}\to \left(\prod _{\vec {k}}\left({\frac {\omega _{\vec {k}}}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}\right)e^{-{\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\omega _{\vec {k}}{\tilde {\phi }}(|{\vec {k}}|)^{2}}.}$

Cada modo k entra como un oscilador armónico cuántico independiente . Los estados de una partícula se obtienen excitando un modo único y tienen la forma,

${\displaystyle \Psi [\phi ]\propto \int d{\vec {x}}\int d{\vec {y}}\,\phi ({\vec {x}})K({\vec {x}},{\vec {y}})f({\vec {y}})\Psi _{0}[\phi ]=\phi \cdot K\cdot f\,e^{-{\frac {1}{2}}\phi \cdot K\cdot \phi }.}$

Por ejemplo, poner un estímulo en los rendimientos (Hatfield 1992) ${\displaystyle {\vec {k}}_{1}}$

${\displaystyle \Psi _{1}[{\tilde {\phi }}]=\left({\frac {2\omega _{k_{1}}}{(2\pi )^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}{\tilde {\phi }}({\vec {k}}_{1})\Psi _{0}[{\tilde {\phi }}]}$

${\displaystyle \Psi _{1}[\phi ]=\left({\frac {2\omega _{k_{1}}}{(2\pi )^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\int d^{3}y\,e^{-i{\vec {k}}_{1}\cdot {\vec {y}}}\phi ({\vec {y}})\Psi _{0}[\phi ].}$

(El factor de proviene del entorno de Hatfield ). ${\displaystyle (2\pi )^{-3/2}}$ ${\displaystyle \Delta k=1}$

Ejemplo: campo de fermiones

Para mayor claridad, consideramos un campo Weyl-Majorana sin masa en un espacio 2D en SO ⁺ (1, 1), pero esta solución se generaliza a cualquier Dirac bispinor masivo en SO ⁺ (1, 3). El espacio de configuración consta de funcionales de campos anti-conmutación con valores de Grassmann u ( x ) . El efecto de es ${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)}$ ${\displaystyle \Psi [u]}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)}$

${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)|\Psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(u(x)+{\frac {\delta }{\delta u(x)}}\right)|\Psi \rangle .}$

Referencias

• Brian Hatfield, Teoría cuántica de campos de cuerdas y partículas puntuales . Addison Wesley Longman, 1992. Consulte el Capítulo 10 "Campos libres en la representación de Schrödinger".
• IV Kanatchikov, "La cuantización precanónica y el funcional de onda de Schrödinger". Física. Letón. A 283 (2001) 25–36. Eprint arXiv:hep-th/0012084, 16 páginas.
• R. Jackiw, "Imagen de Schrödinger para las teorías de campos cuánticos de bosones y fermiones". En Teoría matemática de campos cuánticos y temas relacionados: Actas de la conferencia de Montreal de 1987 celebrada del 1 al 5 de septiembre de 1987 (eds. JS Feldman y LM Rosen, American Mathematical Society 1988).
• H. Reinhardt, C. Feuchter, "Sobre la onda de Yang-Mills funcional en calibre de Coulomb". Física. Rev. D 71 (2005) 105002. Eprint arXiv:hep-th/0408237, 9 páginas.
• DV Long, GM Shore, "Los estados de vacío y funcionales de la onda de Schrödinger en el espacio-tiempo curvo". Física nuclear. B 530 (1998) 247–278. Eprint arXiv:hep-th/9605004, 41 páginas.
• Kurt Symanzik, "Representación de Schrödinger y efecto Casimir en la teoría de campos cuánticos renormalizables". Núcleo. Phys.B 190 (1981) 1–44, doi:10.1016/0550-3213(81)90482-X.
• K. Symanzik, "Representación de Schrödinger en la teoría de campos cuánticos renormalizables". Capítulo en Elementos estructurales en física de partículas y mecánica estadística , Serie de institutos de estudios avanzados de la OTAN 82 (1983) págs. 287–299, doi:10.1007/978-1-4613-3509-2_20.
• Martin Lüscher, Rajamani Narayanan, Peter Weisz, Ulli Wolff, "El funcional de Schrödinger: una sonda renormalizable para teorías de calibre no abelianas". Nucl.Phys.B 384 (1992) 168–228, doi:10.1016/0550-3213(92)90466-O. Impresión electrónica arXiv:hep-lat/9207009.
• Mateo Schwartz (2013). Teoría cuántica de campos y modelo estándar , Cambridge University Press, capítulo 14.