Operador de Hilbert-Schmidt

Tema de matemáticas

En matemáticas , un operador de Hilbert-Schmidt , llamado así por David Hilbert y Erhard Schmidt , es un operador acotado que actúa en un espacio de Hilbert y tiene una norma de Hilbert-Schmidt finita. ${\displaystyle A\colon H\to H}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle \|A\|_{\operatorname {HS} }^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|_{H}^{2},}$$

donde es una base ortonormal . ^{[1] [2]} El conjunto de índices no necesita ser contable. Sin embargo, la suma de la derecha debe contener como máximo una cantidad contable de términos distintos de cero para tener significado. ^{[3] Esta definición es independiente de la elección de la base ortonormal. En} el espacio euclidiano de dimensión finita , la norma de Hilbert-Schmidt es idéntica a la norma de Frobenius . ${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$

‖·‖Escuela SecundariaEstá bien definido

La norma de Hilbert-Schmidt no depende de la elección de la base ortonormal. De hecho, si y son tales bases, entonces Si entonces Como para cualquier operador acotado, Reemplazando con en la primera fórmula, obtenemos La independencia se deduce. ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{f_{j}\}_{j\in I}}$ $${\displaystyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle Ae_{i},f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle e_{i},A^{*}f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{j}\|A^{*}f_{j}\|^{2}.}$$ ${\displaystyle e_{i}=f_{i},}$ ${\textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}.}$ ${\displaystyle A=A^{**}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\textstyle \sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}=\sum _{j}\|Af_{j}\|^{2}.}$

Ejemplos

Los operadores integrales de Hilbert-Schmidt proporcionan una clase importante de ejemplos . Todo operador acotado con un rango de dimensión finita (estos se denominan operadores de rango finito) es un operador de Hilbert-Schmidt. El operador identidad en un espacio de Hilbert es un operador de Hilbert-Schmidt si y solo si el espacio de Hilbert es de dimensión finita. Dado cualquier y en , defina por , que es un operador lineal continuo de rango 1 y, por lo tanto, un operador de Hilbert-Schmidt; además, para cualquier operador lineal acotado en (y en ), . ^[4] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$ ${\displaystyle (x\otimes y)(z)=\langle z,y\rangle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle }$

Si es un operador compacto acotado con valores propios de , donde cada valor propio se repite con tanta frecuencia como su multiplicidad, entonces es Hilbert-Schmidt si y solo si , en cuyo caso la norma de Hilbert-Schmidt de es . ^[5] ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\dots }$ ${\displaystyle |T|={\sqrt {T^{*}T}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}<\infty }$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}}}}$

Si , donde es un espacio de medida, entonces el operador integral con núcleo es un operador de Hilbert-Schmidt y . ^[5] ${\displaystyle k\in L^{2}\left(\mu \times \mu \right)}$ ${\displaystyle \left(X,\Omega ,\mu \right)}$ ${\displaystyle K:L^{2}\left(\mu \right)\to L^{2}\left(\mu \right)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left\|K\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|k\right\|_{2}}$

Espacio de operadores de Hilbert-Schmidt

El producto de dos operadores de Hilbert-Schmidt tiene una norma de traza finita ; por lo tanto, si A y B son dos operadores de Hilbert-Schmidt, el producto interno de Hilbert-Schmidt se puede definir como

$${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {Tr} (A^{*}B)=\sum _{i}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .}$$

Los operadores de Hilbert-Schmidt forman un *-ideal bilateral en el álgebra de Banach de operadores acotados en H . También forman un espacio de Hilbert, denotado por B _HS ( H ) o B ₂ ( H ) , que se puede demostrar que es naturalmente isométrico isomorfo al producto tensorial de los espacios de Hilbert

$${\displaystyle H^{*}\otimes H,}$$

donde H ^∗ es el espacio dual de H . La norma inducida por este producto interno es la norma de Hilbert-Schmidt bajo la cual el espacio de operadores de Hilbert-Schmidt es completo (convirtiéndolo así en un espacio de Hilbert). ^[4] El espacio de todos los operadores lineales acotados de rango finito (es decir, que tienen un rango de dimensión finita) es un subconjunto denso del espacio de operadores de Hilbert-Schmidt (con la norma de Hilbert-Schmidt). ^[4]

El conjunto de operadores de Hilbert-Schmidt está cerrado en la topología normativa si, y solo si, H es de dimensión finita.

Propiedades

• Todo operador de Hilbert–Schmidt T  : H → H es un operador compacto . ^[5]
• Un operador lineal acotado T  : H → H es de Hilbert–Schmidt si y solo si lo mismo es cierto para el operador , en cuyo caso las normas de Hilbert–Schmidt de T y | T | son iguales. ^[5] ${\textstyle \left|T\right|:={\sqrt {T^{*}T}}}$
• Los operadores de Hilbert-Schmidt son operadores nucleares de orden 2 y, por lo tanto, son operadores compactos . ^[5]
• Si y son operadores de Hilbert-Schmidt entre espacios de Hilbert, entonces la composición es un operador nuclear . ^[3] ${\displaystyle S:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle T:H_{2}\to H_{3}}$ ${\displaystyle T\circ S:H_{1}\to H_{3}}$
• Si T  : H → H es un operador lineal acotado entonces tenemos . ^[5] ${\displaystyle \left\|T\right\|\leq \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }}$
• T es un operador de Hilbert-Schmidt si y solo si la traza del operador autoadjunto no negativoes finita, en cuyo caso. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \operatorname {Tr} }$ ${\displaystyle T^{*}T}$ ${\displaystyle \|T\|_{\text{HS}}^{2}=\operatorname {Tr} (T^{*}T)}$
• Si T  : H → H es un operador lineal acotado en H y S  : H → H es un operador de Hilbert–Schmidt en H entonces , , y . ^[5] En particular, la composición de dos operadores de Hilbert–Schmidt es nuevamente Hilbert–Schmidt (e incluso un operador de clase traza ). ^[5] ${\displaystyle \left\|S^{*}\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$ ${\displaystyle \left\|TS\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|T\right\|\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$ ${\displaystyle \left\|ST\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }\left\|T\right\|}$
• El espacio de operadores de Hilbert-Schmidt en H es un ideal del espacio de operadores acotados que contiene a los operadores de rango finito. ^[5] ${\displaystyle B\left(H\right)}$
• Si A es un operador de Hilbert-Schmidt en H entonces donde es una base ortonormal de H , y es la norma de Schatten de para p = 2 . En el espacio euclidiano , también se denomina norma de Frobenius . $${\displaystyle \|A\|_{\text{HS}}^{2}=\sum _{i,j}|\langle e_{i},Ae_{j}\rangle |^{2}=\|A\|_{2}^{2}}$$ ${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle \|A\|_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$

Véase también

• Producto interno de Frobenius  : operación binaria que toma dos matrices y devuelve un escalar
• Teorema de Sazonov
• Clase Trace  : operador compacto para el cual se puede definir una traza finita

Referencias

1. Moslehian, MS "Operador de Hilbert-Schmidt (de MathWorld)".
2. Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Operador de Hilbert-Schmidt", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
3. Schaefer 1999, pág. 177.
4. Conway 1990, pág. 268.
5. Conway 1990, pág. 267.

• Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9.OCLC 21195908  .
• Schaefer, Helmut H. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 3. Nueva York, NY: Springer New York. Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .