Clase de seguimiento

Operador compacto para el cual se puede definir una traza finita

En matemáticas , específicamente en análisis funcional , un operador de clase traza es un operador lineal para el cual se puede definir una traza , de modo que la traza sea un número finito independiente de la elección de la base utilizada para calcular la traza. Esta traza de operadores de clase traza generaliza la traza de matrices estudiada en álgebra lineal. Todos los operadores de clase traza son operadores compactos .

En mecánica cuántica, los estados cuánticos se describen mediante matrices de densidad , que son ciertos operadores de clase traza. ^[1]

Los operadores de clase traza son esencialmente los mismos que los operadores nucleares , aunque muchos autores reservan el término "operador de clase traza" para el caso especial de operadores nucleares en espacios de Hilbert y usan el término "operador nuclear" en espacios vectoriales topológicos más generales (como los espacios de Banach ).

Téngase en cuenta que el operador de traza estudiado en ecuaciones diferenciales parciales es un concepto no relacionado.

Definición

Sea un espacio de Hilbert separable , una base ortonormal y un operador lineal positivo acotado en . La traza de se denota por y se define como ^{[2] [3]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle ,}$

independiente de la elección de la base ortonormal. Un operador lineal acotado (no necesariamente positivo) se denomina clase de traza si y solo si ${\displaystyle T:H\rightarrow H}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty ,}$

donde denota la raíz cuadrada hermítica positiva-semidefinida . ^[4] ${\displaystyle |T|:={\sqrt {T^{*}T}}}$

La norma de traza de un operador de clase traza T se define como Se puede demostrar que la norma de traza es una norma en el espacio de todos los operadores de clase traza y que , con la norma de traza, se convierte en un espacio de Banach . $${\displaystyle \|T\|_{1}:=\operatorname {Tr} (|T|).}$$ ${\displaystyle B_{1}(H)}$ ${\displaystyle B_{1}(H)}$

Cuando es de dimensión finita, cada operador (positivo) es una clase de traza y esta definición de traza de coincide con la definición de la traza de una matriz . Si es compleja, entonces es siempre autoadjunta (es decir ) aunque lo inverso no es necesariamente cierto. ^[5] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=A^{*}=|A|}$

Formulaciones equivalentes

Dado un operador lineal acotado , cada una de las siguientes afirmaciones es equivalente a estar en la clase de seguimiento: ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle T}$

• ${\textstyle \operatorname {Tr} (|T|)=\sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$es finito para cada base ortonormal de H . ^[2] ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$
• T es un operador nuclear ^{[6] [7]}

Existen dos sucesiones ortogonales y en y números reales positivos en tales que y ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}<\infty }$

${\displaystyle x\mapsto T(x)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i},\quad \forall x\in H,}$

donde son los valores singulares de T (o, equivalentemente, los valores propios de ), y cada valor se repite con tanta frecuencia como su multiplicidad. ^[8] ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle |T|}$

• T es un operador compacto con ${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty .}$

Si T es una clase traza entonces ^[9]

${\displaystyle \|T\|_{1}=\sup \left\{|\operatorname {Tr} (CT)|:\|C\|\leq 1{\text{ and }}C:H\to H{\text{ is a compact operator }}\right\}.}$

• T es un operador integral . ^[10]
• T es igual a la composición de dos operadores de Hilbert-Schmidt . ^[11]
• ${\textstyle {\sqrt {|T|}}}$es un operador de Hilbert-Schmidt . ^[11]

Ejemplos

Teorema espectral

Sea un operador autoadjunto acotado en un espacio de Hilbert. Entonces es una clase de traza si y solo si tiene un espectro de puntos puros con valores propios tales que ^[12] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left\{\lambda _{i}(T)\right\}_{i=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T^{2})=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}(T^{2})<\infty .}$

Teorema de Mercer

El teorema de Mercer proporciona otro ejemplo de un operador de clase de traza. Es decir, supongamos que es un núcleo positivo definido simétrico continuo en , definido como ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

entonces el operador integral de Hilbert-Schmidt asociado es la clase traza, es decir, ${\displaystyle T_{K}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.}$

Operadores de rango finito

Todo operador de rango finito es un operador de clase traza. Además, el espacio de todos los operadores de rango finito es un subespacio denso de (cuando está dotado de la norma de traza). ^[9] ${\displaystyle B_{1}(H)}$

Dado cualquier operador definido por Entonces es un operador lineal continuo de rango 1 y, por lo tanto, es de clase traza; además, para cualquier operador lineal acotado A en H (y en H ), ^[9] ${\displaystyle x,y\in H,}$ ${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$ ${\displaystyle (x\otimes y)(z):=\langle z,y\rangle x.}$ ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A(x\otimes y))=\langle Ax,y\rangle .}$

Propiedades

1. Si es un operador autoadjunto no negativo , entonces es de clase traza si y solo si Por lo tanto, un operador autoadjunto es de clase traza si y solo si su parte positiva y su parte negativa son ambas de clase traza. (Las partes positiva y negativa de un operador autoadjunto se obtienen mediante el cálculo funcional continuo ). ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} A<\infty .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A^{-}}$
2. La traza es una función lineal sobre el espacio de operadores de la clase traza, es decir, la función bilineal es un producto interno sobre la clase traza; la norma correspondiente se denomina norma de Hilbert-Schmidt . La completitud de los operadores de la clase traza en la norma de Hilbert-Schmidt se denomina operadores de Hilbert-Schmidt. $${\displaystyle \operatorname {Tr} (aA+bB)=a\operatorname {Tr} (A)+b\operatorname {Tr} (B).}$$ $${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)}$$
3. ${\displaystyle \operatorname {Tr} :B_{1}(H)\to \mathbb {C} }$es una función lineal positiva tal que si es un operador de clase de traza que satisface entonces ^[11] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Tr} T=0,}$ ${\displaystyle T=0.}$
4. Si es una clase trace entonces también lo es y ^[11] ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle \|T\|_{1}=\left\|T^{*}\right\|_{1}.}$
5. Si es acotado, y es de clase traza, entonces y también son de clase traza (es decir, el espacio de operadores de clase traza en H es un ideal en el álgebra de operadores lineales acotados en H ), y ^{[11] [13]} Además, bajo la misma hipótesis, ^[11] y La última afirmación también se cumple bajo la hipótesis más débil de que A y T son de Hilbert-Schmidt. ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle AT}$ ${\displaystyle TA}$ $${\displaystyle \|AT\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AT|)\leq \|A\|\|T\|_{1},\quad \|TA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|TA|)\leq \|A\|\|T\|_{1}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} (AT)=\operatorname {Tr} (TA)}$$ ${\displaystyle |\operatorname {Tr} (AT)|\leq \|A\|\|T\|.}$
6. Si y son dos bases ortonormales de H y si T es clase traza entonces ^[9] ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$ ${\displaystyle \left(f_{k}\right)_{k}}$ ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle Te_{k},f_{k}\right\rangle \right|\leq \|T\|_{1}.}$
7. Si A es de clase traza, entonces se puede definir el determinante de Fredholm de : donde es el espectro de La condición de clase traza en garantiza que el producto infinito es finito: de hecho, También implica que si y solo si es invertible. ${\displaystyle I+A}$ $${\displaystyle \det(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)],}$$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \det(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}.}$$ ${\displaystyle \det(I+A)\neq 0}$ ${\displaystyle (I+A)}$
8. Si es una clase traza entonces para cualquier base ortonormal la suma de términos positivos es finita. ^[11] ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle A\,e_{k},e_{k}\right\rangle \right|}$
9. Si para algunos operadores de Hilbert-Schmidt y luego para cualquier vector normal se cumple. ^[11] ${\displaystyle A=B^{*}C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e\in H,}$ ${\textstyle |\langle Ae,e\rangle |={\frac {1}{2}}\left(\|Be\|^{2}+\|Ce\|^{2}\right)}$

Teorema de Lidski

Sea un operador de clase traza en un espacio de Hilbert separable y sean los valores propios de Supongamos que se enumeran teniendo en cuenta las multiplicidades algebraicas (es decir, si la multiplicidad algebraica de es entonces se repite veces en la lista ). El teorema de Lidskii (llamado así por Victor Borisovich Lidskii ) establece que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N\leq \infty }}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \lambda _{n}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots }$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)}$$

Nótese que la serie de la derecha converge absolutamente debido a la desigualdad de Weyl entre los valores propios y los valores singulares del operador compacto ^[14]. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left|\lambda _{n}(A)\right|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)}$$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle \{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}}$ ${\displaystyle A.}$

Relación entre clases comunes de operadores

Se pueden ver ciertas clases de operadores acotados como análogos no conmutativos de los espacios de secuencia clásicos , con operadores de clase traza como el análogo no conmutativo del espacio de secuencia. ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$

De hecho, es posible aplicar el teorema espectral para demostrar que cada operador de clase traza normal en un espacio de Hilbert separable puede realizarse de una determinada manera como una secuencia con respecto a alguna elección de un par de bases de Hilbert. En la misma línea, los operadores acotados son versiones no conmutativas de los operadores compactos que de (las secuencias convergentes a 0), los operadores de Hilbert-Schmidt corresponden a y los operadores de rango finito a (las secuencias que tienen solo un número finito de términos distintos de cero). Hasta cierto punto, las relaciones entre estas clases de operadores son similares a las relaciones entre sus contrapartes conmutativas. ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle c_{00}}$

Recordemos que todo operador compacto en un espacio de Hilbert adopta la siguiente forma canónica: existen bases ortonormales y y una sucesión de números no negativos con tales que Para hacer más precisos los comentarios heurísticos anteriores, tenemos que es de clase traza si y solo si la serie es convergente, es de Hilbert–Schmidt si y solo si es convergente, y es de rango finito si y solo si la sucesión tiene un número finito de términos distintos de cero. Esto permite relacionar estas clases de operadores. Las siguientes inclusiones se cumplen y son todas propias cuando es de dimensión infinita: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (u_{i})_{i}}$ ${\displaystyle (v_{i})_{i}}$ ${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\to 0}$ $${\displaystyle Tx=\sum _{i}\alpha _{i}\langle x,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\text{ for all }}x\in H.}$$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \{{\text{ finite rank }}\}\subseteq \{{\text{ trace class }}\}\subseteq \{{\text{ Hilbert--Schmidt }}\}\subseteq \{{\text{ compact }}\}.}$$

A los operadores de la clase traza se les da la norma de traza La norma correspondiente al producto interno de Hilbert-Schmidt es Además, la norma del operador habitual es Por desigualdades clásicas con respecto a secuencias, para ${\textstyle \|T\|_{1}=\operatorname {Tr} \left[\left(T^{*}T\right)^{1/2}\right]=\sum _{i}\alpha _{i}.}$ $${\displaystyle \|T\|_{2}=\left[\operatorname {Tr} \left(T^{*}T\right)\right]^{1/2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{1/2}.}$$ ${\textstyle \|T\|=\sup _{i}\left(\alpha _{i}\right).}$ $${\displaystyle \|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}}$$ ${\displaystyle T.}$

También está claro que los operadores de rango finito son densos tanto en la clase traza como en Hilbert-Schmidt en sus respectivas normas.

La clase Trace como dual de los operadores compactos

El espacio dual de es De manera similar, tenemos que el dual de operadores compactos, denotado por es el operador de la clase traza, denotado por El argumento, que ahora esbozamos, es reminiscente del de los espacios de secuencia correspondientes. Sea que nos identifiquemos con el operador definido por donde es el operador de rango uno dado por ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$ ${\displaystyle K(H)^{*},}$ ${\displaystyle B_{1}.}$ ${\displaystyle f\in K(H)^{*},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T_{f}}$ $${\displaystyle \langle T_{f}x,y\rangle =f\left(S_{x,y}\right),}$$ ${\displaystyle S_{x,y}}$ $${\displaystyle S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.}$$

Esta identificación funciona porque los operadores de rango finito son densos en normas en En el caso de que sea un operador positivo, para cualquier base ortonormal se tiene donde es el operador identidad: ${\displaystyle K(H).}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle u_{i},}$ $${\displaystyle \sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,}$$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.}$$

Pero esto significa que es una clase traza. Una apelación a la descomposición polar extiende esto al caso general, donde no es necesario que sea positivo. ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{f}}$

Un argumento limitante que utiliza operadores de rango finito muestra que, por lo tanto, es isométricamente isomorfo a ${\displaystyle \|T_{f}\|_{1}=\|f\|.}$ ${\displaystyle K(H)^{*}}$ ${\displaystyle B_{1}.}$

Como el predual de operadores acotados

Recordemos que el dual de es En el presente contexto, el dual de los operadores de la clase traza es el operador acotado Más precisamente, el conjunto es un ideal bilateral en Por lo tanto, dado cualquier operador, podemos definir un funcional lineal continuo en por Esta correspondencia entre operadores lineales acotados y elementos del espacio dual de es un isomorfismo isométrico . De ello se deduce que es el espacio dual de Esto se puede utilizar para definir la topología débil-* en ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ).}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle T\in B(H),}$ ${\displaystyle \varphi _{T}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{T}(A)=\operatorname {Tr} (AT).}$ ${\displaystyle \varphi _{T}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle B_{1}.}$ ${\displaystyle B(H).}$

Véase también

• Operador nuclear  – Operador lineal relacionado con los espacios vectoriales topológicos
• Operadores nucleares entre espacios de Banach  : operadores en espacios de Banach con propiedades similares a los operadores de dimensión finitaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Operador de rastreo

Referencias

1. Mittelstaedt 2009, págs. 389–390.
2. Conway 2000, pág. 86.
3. Reed y Simon 1980, pág. 206.
4. Reed y Simon 1980, pág. 196.
5. Reed y Simon 1980, pág. 195.
6. Trèves 2006, pág. 494.
7. Conway 2000, pág. 89.
8. Reed y Simon 1980, págs. 203–204, 209.
9. Conway 1990, pág. 268.
10. Trèves 2006, págs. 502–508.
11. Conway 1990, pág. 267.
12. Simon 2010, pág. 21.
13. Reed y Simon 1980, pág. 218.
14. Simon, B. (2005) Ideales de trazas y sus aplicaciones , Segunda edición, American Mathematical Society.

Bibliografía

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• Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9.OCLC 21195908  .
• Dixmier, J. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien . Gauthier-Villars.
• Mittelstaedt, Peter (2009). "Estado mixto". Compendio de física cuántica . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-540-70626-7_120. ISBN 978-3-540-70622-9.
• Reed, M. ; Simon, B. (1980). Métodos de física matemática moderna: vol. 1: Análisis funcional . Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
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