Operador positivo (espacio de Hilbert)

En matemáticas (específicamente álgebra lineal , teoría de operadores y análisis funcional ), así como en física , un operador lineal que actúa sobre un espacio producto interno se llama positivo-semidefinido (o no negativo ) si, para cada y , ¿dónde está el dominio? de . Los operadores semidefinidos positivos se denotan como . Se dice que el operador es positivo-definido y está escrito , si es para todos . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in \mathop {\text{Dom}} (A)}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\geq 0}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle >0,}$ ${\displaystyle x\in \mathop {\mathrm {Dom} } (A)\setminus \{0\}}$

Muchos autores definen un operador positivo como un operador no negativo autoadjunto (o al menos simétrico). A continuación mostramos que para un espacio de Hilbert complejo la autoadjunción se deriva automáticamente de la no negatividad. Para un espacio de Hilbert real, la no negatividad no implica autoadjunción. ${\displaystyle A}$

En física (específicamente en mecánica cuántica ), dichos operadores representan estados cuánticos , a través del formalismo de la matriz de densidad .

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Considere que el producto interno es antilineal en el primer argumento y lineal en el segundo y supongamos que es positivo y simétrico, lo último significa que . Entonces la no negatividad de ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A(\lambda x+\mu y),\lambda x+\mu y\rangle =|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}\langle Ay,x\rangle +|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \\[1mm]=|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}(\langle Ax,y\rangle )^{*}+|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \end{aligned}}}$

para todo complejo y muestra que ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \left|\langle Ax,y\rangle \right|^{2}\leq \langle Ax,x\rangle \langle Ay,y\rangle .}$

De ello se deduce que If está definido en todas partes, y luego ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A\perp \mathop {\text{Ker}} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =0,}$ ${\displaystyle Ax=0.}$

En un espacio de Hilbert complejo, si un operador no es negativo entonces es simétrico

Por la identidad de polarización ${\displaystyle x,y\in \mathop {\text{Dom}} A,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle Ax,y\rangle ={\frac {1}{4}}({}&\langle A(x+y),x+y\rangle -\langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm]&{}-i\langle A(x+iy),x+iy\rangle +i\langle A(x-iy),x-iy\rangle )\end{aligned}}}$

y el hecho de que para operadores positivos, demuestre que so es simétrico. ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,}$ ${\displaystyle A}$

En contraste con el caso complejo, un operador semidefinido positivo en un espacio de Hilbert real puede no ser simétrico. Como contraejemplo, definamos que es un operador de rotación en un ángulo agudo. Entonces, pero no es simétrico. ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \varphi \in (-\pi /2,\pi /2).}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\|Ax\|\|x\|\cos \varphi >0,}$ ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}\neq A,}$ ${\displaystyle A}$

Si un operador no es negativo y está definido en todo el espacio de Hilbert, entonces es autoadjunto y acotado.

La simetría de implica que y Para ser autoadjunto, es necesario que En nuestro caso, la igualdad de dominios se mantenga porque de hecho so es autoadjunto. El hecho de que sea acotado ahora se deriva del teorema de Hellinger-Toeplitz . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} A\subseteq \mathop {\text{Dom}} A^{*}}$ ${\displaystyle A=A^{*}|_{\mathop {\text{Dom}} (A)}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Dom}} A=\mathop {\text{Dom}} A^{*}.}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\mathop {\text{Dom}} A\subseteq \mathop {\text{Dom}} A^{*},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Esta propiedad no se mantiene ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }.}$

Orden parcial de operadores autoadjuntos

Un ordenamiento parcial natural de los operadores autoadjuntos surge de la definición de operadores positivos. Defina si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle B\geq A}$

1. ${\displaystyle A}$y son autoadjuntos ${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle B-A\geq 0}$

Se puede ver que un resultado similar al del teorema de convergencia monótona es válido para operadores monótonos crecientes , acotados y autoadjuntos en espacios de Hilbert. ^[2]

Aplicación a la física: estados cuánticos

La definición de un sistema cuántico incluye un espacio de Hilbert complejo separable y un conjunto de operadores de clases de trazas positivas para los cuales el conjunto es el conjunto de estados . Cada se llama operador de estado o de densidad . Porque donde el operador de proyección sobre el tramo de se llama estado puro . (Dado que cada estado puro es identificable con un vector unitario, algunas fuentes definen los estados puros como elementos unitarios; los estados que no son puros se denominan mixtos . ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Trace}} \rho =1.}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \rho \in {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \psi \in H_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle \|\psi \|=1,}$ ${\displaystyle P_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \in H_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }).}$

Referencias

1. Romano 2008, pag. 250 §10
2. Eidelman, Yuli, Vitali D. Milman y Antonis Tsolomitis. 2004. Análisis funcional: una introducción. Providence (RI): Sociedad matemática estadounidense.

• Conway, John B. (1990), Análisis funcional: una introducción , Springer Verlag , ISBN 0-387-97245-5

• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5